On étudie certaines propriétés d'une classe de processus aléatoires réels à temps continu, les marches aléatoires multifractales. Une particularité remarquable de ces processus tient en leur propriété d'autosimilarité : la loi du processus à petite échelle est identique à celle à grande échelle moyennant un facteur aléatoire multiplicatif indépendant du processus. La première partie de la thèse se consacre à la question de la convergence du moment empirique de l'accroissement du processus dans une asymptotique assez générale, où le pas de l'accroissement peut tendre vers zéro en même temps que l'horizon d'observation tend vers l'infini. La deuxième partie propose une famille de tests non-paramétriques qui distinguent entre marches aléatoires multifractales et semi-martingales d'Itô. Après avoir montré la consistance de ces tests, on étudie leur comportement sur des données simulées. On construit dans la troisième partie un processus de marche aléatoire multifractale asymétrique tel que l'accroissement passé soit négativement corrélé avec le carré de l'accroissement futur. Ce type d'effet levier est notamment observé sur les prix d'actions et d'indices financiers. On compare les propriétés empiriques du processus obtenu avec des données réelles. La quatrième partie concerne l'estimation des paramètres du processus. On commence par montrer que sous certaines conditions, deux des trois paramètres ne peuvent être estimés. On étudie ensuite les performances théoriques et empiriques de différents estimateurs du troisième paramètre, le coefficient d'intermittence, dans un cas gaussien / We study some properties of a class of real-valued, continuous-time random processes, namely multifractal random walks. A striking feature of these processes lie in their scaling property : the distribution of the process at small scale is the same as the distribution at large scale, given some random multiplicative factor independent of the process. The first part of the dissertation deals with the convergence of the empirical moment of the increment of the process in a rather general asymptotic setting where the step of the increment may go to zero while the observation horizon may also go to infinity. In the second part, we propose a family of nonparametric tests that separate multifractal random walks from Itô semi-martingales. After showing the consistency of these tests, we study their behavior on simulations.In the third part, we build a skewed multifractal random walk process, such that the past increment is negatively correlated with the future squared increment. Such a "leverage effect" is notably seen on financial stock and index prices. We compare the empirical properties of this process with real data. The fourth part deals with the parametric estimation of the process. We first show that under certain conditions, one can not estimate two of the three parameters, even if the sample path is continuously observed on some interval. We next study the theoretical and empirical performances of some estimators of the third parameter, the intermittency coefficient, in a Gaussian case

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés d'une part à la théorie du chaos multiplicatif Gaussien introduite par Kahane en 1985 et d'autre part à la théorie des matrices aléatoires dont les pionniers sont Wigner, Wishart et Dyson. La première partie de ce manuscrit contient une brève introduction à ces deux théories ainsi que les contributions personnelles de ce manuscrit expliquées rapidement. Les parties suivantes contiennent les textes des articles publiés [1], [2], [3], [4], [5] et pré-publiés [6], [7], [8] sur ces résultats dans lesquels le lecteur pourra trouver des développements plus détaillés / In this thesis, we are interested on the one hand in the theory of Gaussian multiplicative chaos introduced by Kahane in 1985 and on the other hand in random matrix theory whose pioneers are Wigner, Wishart and Dyson. The first part of this manuscript constitutes a brief introduction to those two theories and also contains the personal contributions of this work rapidly explained. The following parts contain the texts of the published articles [1], [2], [3], [4], [5] and pre-prints [6], [7], [8] on those results where the reader can find more detailed developments

L'invariance d'échelle constitue un paradigme souvent avancé pour l'analyse et la modélisation de données expérimentales issues d'applications de natures différentes. L'analyse multifractale fournit un cadre conceptuel pour ses études théorique et pratique. Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse réside dans l'apport à l'analyse multifractale, de l'utilisation des coefficients d'ondelettes dominants, d'une part, et des techniques statistiques de type bootstrap, d'autre part. Dans la première partie de ce travail, les propriétés et performances statistiques de procédures d'analyse multifractale construites à partir de coefficients dominants sont étudiées et caractérisées. Il est notamment montré qu'elles se comparent favorablement à celles obtenues à partir de coefficients d'ondelettes. De plus, une extension aux signaux bidimensionnels (images) est proposée et validée. En complément sont étudiées plusieurs difficultés théoriques, d'importance cruciale pour une réelle mise en œuvre pratique de l'analyse multifractale : régularité minimale et espaces fonctionnels, effet de linéarisation, robustesse vis-à-vis d'éventuelles quantifications des données. La deuxième partie de ce travail de thèse s'intéresse à la construction, pour les attributs multifractals, d'intervalles de confiance et de tests d'hypothèse, à partir de techniques 'bootstrap'. L'originalité de notre approche réside dans la mise en œuvre du bootstrap par construction de blocs temps-échelle dans le plan des coefficients d'ondelettes. Cette procédure, validée par simulations numériques, permet d'obtenir des intervalles de confiance et d'effectuer des tests d'hypothèses à partir d'une seule observation des données, de longueur finie. Une étude précise des structures de dépendance des coefficients d'ondelettes et coefficients dominants complète ce travail. Elle montre notamment que l'augmentation du nombre de moments nuls de l'ondelette d'analyse, qui, pour le mouvement brownien fractionnaire, permet de réduire la portée de la structure de dépendance de longue à courte, est inopérante pour les cascades multiplicatives multifractales : si l'augmentation du nombre de moments nuls décorrèle effectivement les coefficients d'ondelette, elle échoue à faire disparaître la dépendance longue. Enfin, les procédures d'analyse multifractale par coefficients dominants et bootstrap sont illustrées sur deux applications : la turbulence hydrodynamique et la classification de texture d'images.

La 1re partie de cette thèse présente une étude de la géométrie de surfaces rugueuses obtenues en laboratoire par fracturation de blocs de granite et de grès. Ces surfaces sont enregistrées à l'aide d'un rugosimètre à mesure mécanique et optique, développé pour cet usage. Les enregistrements sont bien décrits par un modèle auto-affine isotrope. La persistance des corrélations spatiales est sensiblement moins importante pour le grès que pour le granite. Dans un 2e partie, on étudie comment l'écoulement à travers une fracture ouverte est influencé par la rugosité de ses parois, lorsque les effets inertiels peuvent être négligés. Une étude expérimentale met en évidence une sensibilité importante de la perméabilité de la fracture vis-à-vis de l'orientation du gradient de pression effectif. Un modèle numérique confirme ces observations, et permet d'interpréter cette anisotropie hydraulique en termes de chenalisation de l'écoulement. La chenalisation est contrôlée par les hétérogénéités de grande échelle du champ des ouvertures, dont l'importance dépend grandement de l'ajustement entre les deux surfaces aux grandes échelles. Dans une 3e partie, une fracture remplie de gouge est modélisée comme un milieu poreux bidimensionnel composé d'une mono-couche de billes de verre. On étudie expérimentalement le déplacement d'un fluide mouillant par de l'air, de haut en bas, dans ce milieu. En ajustant la vitesse de filtration, c.-à-d. l'intensité des forces visqueuses, on étudie systématiquement la transition d'un régime d'écoulement stabilisé par la gravité, vers un régime d'écoulement où la rugosité de l'interface entre les deux fluides croît indéfiniment. Les effets capillaires, inhomogènes dans le milieu poreux, pilotent la dynamique locale du déplacement. En utilisant la théorie de la percolation, on prédit le seuil de l'instabilité et une loi d'échelle pour la largeur du front en déplacement stable. Ces prédictions sont vérifiées expérimentalement.

La géométrie fractale, développée par Mandelbrot dans les années 70, a connu un essor considérable ces 20 dernières années. Dans cette thèse, je m'intéresse à la génération de signaux dits fractals et multifractals. J'étudie en particulier 2 modèles, dont leur point commun est leur structure d'arbre de branchement sous jacente.<br />Le premier modèle est une généralisation des Systèmes de fonctions Itérés ou IFS, introduits par Hutchinson dans les années 80. Les IFS constituent un moyen simple et efficace pour produire des ensembles et des processus fractals en itérant un nombre fixed d'opérateurs. L'idée est d'autoriser un nombre aléatoire d'opérateurs aléatoires à chaque itération de l'algorithme. Nous donnons des conditions simples et faciles à vérifier sous lesquelles l'IFS admet un point fixe. Quelques propriétés du point fixe sont également étudiées. Le deuxième modèle, que nous appellons Multifractal Embedded Branching Process (MEBP), s'obtient à l'aide d'un changement de temps multifractal d'un processus à invariance d'échelle discrète, le processus EBP Canonique (CEBP). Nous donnons un algorithm efficace de simulation "on-line" de ces processus, permettant de générer X(n + 1) à partir de X(n) en O(log n) opérations. Nous obtenons également un borne supérieure pour le spectre multifractal du changement de temps et confirmons les résultats théoriques à l'aide de simulations. Les mouvements Browniens en temps multifractal sont des cas particuliers des processus MEBP, ce qui suggère une application potentielle des processus MEBP en finance. Enfin, nous proposons d'imiter un mouvement Brownien fractionnaire à l'aide d'un processus MEBP.

Les propriétés physiques d'un système de particules homogène à l'équilibre thermodynamique sont caractérisées par son équation d'état : une relation entre différentes grandeurs thermodynamiques. Le gaz de Bose bi-dimensionnel est un système particulier de ce point de vue car son équation d'état est invariante par changement d'échelle en présence d'interactions atomiques répulsives faibles. Une autre caractéristique remarquable du gaz de Bose 2D est l'existence d'une transition de phase vers un état superfluide à basse température. Dans ce manuscrit de thèse, je présente une mesure de l'équation d'état du gaz de Bose homogène pour trois grandeurs thermodynamiques : la pression réduite, la densité dans l'espace des phases et l'entropie par particule. Je présente également une mesure de l'énergie d'interaction d'un gaz 2D piégé dans un potentiel harmonique. Cette mesure a permis de mettre en évidence l'existence d'une phase précédant la phase superfluide où les fluctuations de densité sont fortement réduites. Cette phase constitue une étape essentielle dans l'établissement de la transition superfluide. Enfin, je décris l'observation de signatures de vortex dans des gaz de Bose 2D. Ces vortex constituent l'ingrédient clé du mécanisme microscopique de la transition superfluide à deux dimensions.

Dans cette thèse, nous étudions le comportement à longue distance des membranes polymérisées en utilisant une approche de groupe de renormalization non-perturbative (NPRG). Après une présentation du NPRG, nous introduisons les membranes. Dans notre travail, nous nous concentrons sur différents types de membranes polymérisées: homogène, anisotrope et avec du désordre gelé́. De plus, nous avons aussi étudié les points de Lifshitz dans les systèmes magnétiques. Nos résultats, aussi bien pour les membranes que pour Lifshitz, se comparent bien aux résultats perturbatifs dans les différents cas limites: couplages faibles, basse température et large-d (ou large-n pour Lifshitz). Mais, en utilisant le NPRG, nous pouvons aller au de-là̀ de ces cas limites et atteindre les cas qui sont physiquement intéressants. La question de l'ordre de la transition entre la phase froissé et la phase plate dans les membranes homogènes est depuis longtemps sans une réponse définitive. Malgré̀ que nos résultats ne permettent pas encore de lever cette question, ils semblent indiquer que la transition est du premier ordre en accord avec des simulations récentes. Une propriété́ importante des membranes polymérisées est l'existence d'une phase plate à basse température avec un comportement non-trivial. Cette phase décrit correctement le comportement du graphène malgré̀ que les dégrées de liberté́ électroniques ne soient pas pris en compte

Ce travail est dédié à l'étude de la rupture du manteau neigeux, conduisant<br />aux avalanches de plaques de neige.<br />La détermination expérimentale de la ténacité de la neige, qui caractérise sa résistance à la propagation d'une fissure, nous a donné des résultats originaux que nous interprétons en tenant compte de la structure particulière de ce matériau.<br />Une étude statistique basée sur les données de La Plagne et de Tignes nous a permis de montrer pour la première fois que les distributions des tailles d'avalanches sont invariantes d'échelle. Aucun modèle ne reproduisant correctement ces statistiques de terrain, nous avons créé un automate cellulaire à deux seuils, piloté en contrainte,<br />qui reproduit le comportement statistique des avalanches mais aussi celui d'autres aléas gravitaires naturels à l'aide du réglage d'un unique paramètre reflétant l'anisotropie de cohésion du matériau. Cette approche peut être considérée comme une alternative<br />à la Criticalité Auto Organisée pour les ruptures gravitaires.

Les propriétés physiques d'un système homogène à l'équilibre thermodynamique sont fortement contraintes par sa dimensionnalité. Le gaz de Bose à deux dimensions est un système particulier de ce point de vue : bien que l'établissement d'un ordre à longue portée soit impossible à température non-nulle, il existe néanmoins une transition de phase vers un état superfluide à basse température. De plus, la dimensionalité réduite du système rend son équation d'état invariante par changement d'échalle pour de faibles interactions atomiques répulsives. Dans ce manuscrit de thèse, nous présentons une étude expérimentale du gaz de Bose à deux dimensions. Nous mesurons son équation d'état de deux methodes différentes, et trouvons un résultat en bon accord avec les prédictions analytiques et numériques. Ces résultats ont également permis de confirmer l'invariance d'échelle du système. De plus, l'une des méthodes ne nécessite qu'un seul paramètre ajustable pour la mesure de l'équation d'état. Nous présentons ensuite une mesure locale du caractère superfluide du gaz. À cet effet, nous avons mis en évidence l'absence de dissipation lors de la perturbation du système par un obstacle en mouvement. Enfin, nous effectuons une analyse des fluctuations du gaz de Bose 2D, qui a permis de confirmer la suppression des fluctuations de densité dans la phase superfluide, ainsi que le rôle dominant joué par les phonons dans les fluctuations de phase.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés d'une part à la théorie du chaos multiplicatif Gaussien introduite par Kahane en 1985 et d'autre part à la théorie des matrices aléatoires dont les pionniers sont Wigner, Wishart et Dyson. La première partie de ce manuscrit contient une brève introduction à ces deux théories ainsi que les contributions personnelles de ce manuscrit expliquées rapidement. Les parties suivantes contiennent les textes des articles publiés [1], [2], [3], [4], [5] et pré-publiés [6], [7], [8] sur ces résultats dans lesquels le lecteur pourra trouver des développements plus détaillés