La simulation numérique de systèmes d’équations différentielles raides ordinaires ou algébriques est devenue partie intégrante dans le processus de conception des systèmes mécaniques à dynamiques complexes. L’objet de ce travail est de développer des méthodes numériques pour réduire les temps de calcul par le parallélisme en suivant deux axes : interne à l’intégrateur numérique, et au niveau de la décomposition de l’intervalle de temps. Nous montrons l’efficacité limitée au nombre d’étapes de la parallélisation à travers les méthodes de Runge-Kutta et DIMSIM. Nous développons alors une méthodologie pour appliquer le complément de Schur sur le système linéarisé intervenant dans les intégrateurs par l’introduction d’un masque de dépendance construit automatiquement lors de la mise en équations du modèle. Finalement, nous étendons le complément de Schur aux méthodes de type "Krylov Matrix Free". La décomposition en temps est d’abord vue par la résolution globale des pas de temps dont nous traitons la parallélisation du solveur non-linéaire (point fixe, Newton-Krylov et accélération de Steffensen). Nous introduisons les méthodes de tirs à deux niveaux, comme Parareal et Pita dont nous redéfinissons les finesses de grilles pour résoudre les problèmes raides pour lesquels leur efficacité parallèle est limitée. Les estimateurs de l’erreur globale, nous permettent de construire une extension parallèle de l’extrapolation de Richardson pour remplacer le premier niveau de calcul. Et nous proposons une parallélisation de la méthode de correction du résidu. / This PhD Thesis deals with the development of parallel numerical methods for solving Ordinary and Algebraic Differential Equations. ODE and DAE are commonly arising when modeling complex dynamical phenomena. We first show that the parallelization across the method is limited by the number of stages of the RK method or DIMSIM. We introduce the Schur complement into the linearised linear system of time integrators. An automatic framework is given to build a mask defining the relationships between the variables. Then the Schur complement is coupled with Jacobian Free Newton-Krylov methods. As time decomposition, global time steps resolutions can be solved by parallel nonlinear solvers (such as fixed point, Newton and Steffensen acceleration). Two steps time decomposition (Parareal, Pita,...) are developed with a new definition of their grids to solved stiff problems. Global error estimates, especially the Richardson extrapolation, are used to compute a good approximation for the second grid. Finally we propose a parallel deferred correction

La simulation numérique de systèmes d'équations différentielles raides ordinaires ou algébriques est devenue partie intégrante dans le processus de conception des systèmes mécaniques à dynamiques complexes. L'objet de ce travail est de développer des méthodes numériques pour réduire les temps de calcul par le parallélisme en suivant deux axes : interne à l'intégrateur numérique, et au niveau de la décomposition de l'intervalle de temps. Nous montrons l'efficacité limitée au nombre d'étapes de la parallélisation à travers les méthodes de Runge-Kutta et DIMSIM. Nous développons alors une méthodologie pour appliquer le complément de Schur sur le système linéarisé intervenant dans les intégrateurs par l'introduction d'un masque de dépendance construit automatiquement lors de la mise en équations du modèle. Finalement, nous étendons le complément de Schur aux méthodes de type "Krylov Matrix Free". La décomposition en temps est d'abord vue par la résolution globale des pas de temps dont nous traitons la parallélisation du solveur non-linéaire (point fixe, Newton-Krylov et accélération de Steffensen). Nous introduisons les méthodes de tirs à deux niveaux, comme Parareal et Pita dont nous redéfinissons les finesses de grilles pour résoudre les problèmes raides pour lesquels leur efficacité parallèle est limitée. Les estimateurs de l'erreur globale, nous permettent de construire une extension parallèle de l'extrapolation de Richardson pour remplacer le premier niveau de calcul. Et nous proposons une parallélisation de la méthode de correction du résidu.

Sea ice plays a key role in the global climate system. Indeed, through the albedo effect it reflects significant solar radiation away from the oceans, while it also plays a key role in the momentum and heat transfer between the atmosphere and ocean by acting as an insulating layer between the two. Furthermore, as more sea ice melts due to climate change, additional fresh water is released into the upper oceans, affecting the global circulation of the ocean as a whole. While there has been significant effort in recent decades, the ability to simulate sea ice has lagged behind other components of the climate system and most Earth System Models fail to capture the observed losses of Arctic sea ice, which is largely attributed to our inability to resolve sea ice dynamics. The most widely accepted model for sea ice dynamics is the Viscous- Plastic (VP) rheology, which leads to a very non-linear set of partial differential equations that are known to be intrinsically difficult to solve numerically. This work builds on recent advances in solving these equations with a Jacobian-Free Newton- Krylov (JFNK) solver. We present an improved JFNK solver, where a fully second order discretization is achieved via the Crank Nicolson scheme and consistency is improved via a novel approach to the rheology term. More importantly, we present a significant improvement to the Jacobian approximation used in the Newton iterations, and partially form the action of the matrix by expressing the linear and nearly linear terms in closed form and approximating the remaining highly non-linear term with a second order approximation of its Gateaux derivative. This is in contrast with the previous approach which used a first order approximation for the Gateaux derivative of the whole functional. Numerical tests on synthetic equations confirm the theoretical convergence rate and demonstrate the drastic improvements seen by using a second order approximation in the Gateaux derivative. To produce a fast and efficient solver for VP sea ice dynamics, the improved JFNK solver is then coupled with a non- oscillatory, central differencing scheme for transporting sea ice as well as a novel method for tracking the ice domain using a level set method. Two idealized test cases are then presented and simulation results discussed, demonstrating the solver’s ability to efficiently produce Viscous-Plastic, physically motivated solutions. / Graduate

[pt] Neste trabalho focamos sobre alguns modelos matemáticos na área do petróleo, com o objetivo de propor um modelo inicial de simulador numérico de reservatórios. Inicialmente apresentamos uma EDP do calor não-linear com um termo fonte de calor constante, estudada para o domínio sendo uma placa plana quadrada homogênea e heterogênea, onde aplicamos soluções numéricas utilizando o método das diferenças finitas implícito. Abordamos o problema de refinamento da malha no entorno dos poços utilizando o método JFNK (Jacobian-Free Newton-Krylov), que aumenta a eficiência computacional através de uma aproximação para a matriz Jacobiana. Por fim resolvemos um sistema de EDPs não-lineares que representam o escoamento bifásico de água e óleo, constituído por equações de transporte em termos da pressão e da saturação. Fizemos simulações numéricas de alguns casos conhecidos e os resultados mostraram uma boa qualidade no nosso método. / [en] In this work we focus on the numerical approximation of some mathematical models in the oil field. First, we present a non-linear heat equation with a constant heat source term, studied for the domain of a homogeneous and heterogeneous square domain, where we apply numerical solutions using an implicit finite difference method. We approach the problem of mesh refinement around the wells using the JFNK (Jacobian- Free Newton-Krylov) method, which improves the computational efficiency through an approximation to the Jacobian matrix. Finally, we solve a system of non-linear EDPs that represent the two-phase flow of water and oil, consisting of equations of transport in terms of pressure and saturation. Numerical simulations for some known cases showed accurate approximation of our method.