Magíster en Gestión de Operaciones / Uno de los desafíos importantes que enfrenta un grupo de defensores corresponde a su coordinación con el objetivo de poder brindar una mayor protección al sistema que defienden. En este trabajo, se estudia el desarrollo de algoritmos eficientes y garantías de optimalidad para un modelo de juego de seguridad de Stackelberg que resuelve la coordinación de múltiples recursos defensivos descentralizados. Este modelo asume la presencia de incertidumbre en las acciones efectuadas por cada recurso defensor y la ausencia de comunicación entre ellos. En específico, el modelo de juego de seguridad de este trabajo consiste en resolver un número pequeño de problemas de programación lineal, que se pueden resolver mediante un esquema de generación de columnas. El subproblema de dicha generación de columnas corresponde a la resolución de un problema de decisión markoviana descentralizado. Estos problemas de decisión markoviana descentralizados son de difícil solución; sin embargo, es posible resolver estos subproblemas mediante heurísticas, dando como resultado un enfoque capaz de obtener soluciones subóptimas para el modelo de juego de seguridad. Se presentan diversas heurísticas para la resolución de dicho subproblema, y se realiza un estudio para evaluar su uso dentro del esquema de generación de columnas. Este estudio consiste en la simulación de instancias de prueba aleatorias para evaluar el desempeño, tanto en el valor del resultado obtenido como en el tiempo de resolución de cada heurística. Se presenta una cota para el valor óptimo de un problema de decisión markoviana descentralizado que se obtiene al resolver un problema de optimización entero relacionado. Nuestros estudios computacionales muestran que esta cota es menor a un 10% del valor óptimo. Se presentan además, variantes del enfoque de generación de columnas, buscando reducir los tiempos de solución sin sacrificar calidad de la respuesta. Estos enfoques también están basados en generación de columnas y otorgan una solución subóptima al problema planteado. Con el objetivo de evaluar el comportamiento de los enfoques presentados, se recurre a la simulación de instancias aleatorias y una instancia inspirada en parte de la red de metro de Santiago. Además, con el objetivo de poder evaluar las soluciones subóptimas otorgadas por dichos enfoques, se desarrolla un método que permite obtener garantías para la solución del problema de generación de columnas. En específico, el algoritmo desarrollado permite resolver el problema de patrullar descentralizadamente una red conformada por 16 estaciones de metro, durante 12 períodos de tiempo y utilizando 6 recursos. Esta solución se obtiene, en promedio, en un tiempo de 400 [s] y con una garantía del 20%. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por CONICYT-PCHA/Magíster Nacional/2015 - 22152053 Powered@NLHPC: Esta investigación fue parcialmente apoyada por la infraestructura de supercómputo del NLHPC (ECM-02)

Magíster en Gestión de Operaciones / Ingeniero Civil Matemático / El problema de la evasión del pago del pasaje en el transporte público es transversal a distintos sistemas de transporte a lo largo del mundo, causando pérdidas a las empresas operadoras y al Estado. Ya que la instalación de barreras físicas y torniquetes no siempre es posible o deseable, diversos sistemas recurren al control del pago del pasaje a bordo. En esta tesis se modela el fenómeno de la evasión como un juego de Stackelberg sobre un grafo dirigido en el que interactúan dos jugadores: un inspector (el líder) y un evasor (el seguidor). Para controlar la evasión, el líder se ubica aleatoriamente sobre a lo más un arco de la red. Para ello, su estrategia consiste en fijar una distribución de probabilidad de inspección sobre los arcos del grafo. El seguidor, quien desea viajar entre dos nodos fijos sin pagar el pasaje, reacciona escogiendo como estrategia un camino, y lo recorre de manera que si atraviesa el arco donde se encuentra el inspector, deberá pagar una multa antes de continuar su viaje. Dependiendo de su comportamiento después de pagar la multa, se hace la distinción entre un seguidor no adaptativo, que continúa su viaje por el camino escogido previamente sin modificar su ruta, y uno adaptativo, que continúa su trayecto a través de un camino mínimo con respecto a las distancias. Dada una distribución de probabilidad de inspección, los tiempos de viaje y el valor de la multa, el objetivo del seguidor es encontrar un camino de costo esperado mínimo. Mientras que para el seguidor no adaptativo este problema se reduce a encontrar un camino mínimo con respecto a una versión modificada de las distancias, la pregunta por la complejidad del problema del seguidor adaptativo queda abierta. En esta tesis se diseñan algoritmos pseudopolinomiales para este último problema en grafos acíclicos y en grafos generales, además de un algoritmo fuertemente polinomial en grafos generales para el caso en que la distribución de inspección es uniforme sobre los arcos. Por último, se presenta un esquema de aproximación a tiempo totalmente polinomial (FPTAS) en grafos generales, y se amplía un resultado previo de Correa et al., donde se muestra que el cuociente entre los valores óptimos de los problemas no adaptativo y adaptativo es a lo más 4/3, mostrando un ejemplo donde la cota es ajustada. El líder, por su parte, es modelado de acuerdo a dos variantes. En la primera de ellas, su objetivo es maximizar el costo esperado del seguidor. Se prueba que cuando el seguidor es no adaptativo, este problema se puede resolver en tiempo polinomial, mientras que para el seguidor adaptativo se diseña un FPTAS. En la segunda variante, el líder busca maximizar el valor esperado de la multa recolectada. En el caso del seguidor no adaptativo, se demuestra que el problema de decisión asociado es NP-completo, mientras que para el seguidor adaptativo la pregunta por la complejidad se deja abierta.