Les travaux de Killing et Cartan ont montré la correspondance entre les algèbres de Lie semi-simples complexes et les matrices de Cartan. Ces dernières sont des matrices sur les entiers satisfaisants certaines propriétés, parmi lesquelles une condition de positivité. Si cette condition est omise, on obtient une matrice de Cartan généralisée. On peut y étendre la présentation de Serre pour les algèbre de Lie semi-simples et obtenir les algèbres de Kac-Moody. L'intérêt de l'étude des algèbres de Lie semi-simples réside dans le fait qu'elles induisent la plupart des groupes simples finis, comme le montre la construction de Chevalley. Il se fait que cette construction se généralise aux algèbres de Kac-Moody. L'ingrédient principal de cette construction est l'utilisation d'un système de sous-groupes dans un groupe de Kac-Moody, ceux-ci étant indicés par les racines du système de Coxeter associé à la matrice de Cartan généralisée. Tits a réalisé l'axiomatique de ce système de sous-groupes, une donnée radicielle jumelée, pour un système de Coxeter quelconque. Par définition, les groupes de Kac-Moody sur un corps commutatif admettent une donnée radicielle jumelée. En réalité les notions de donnée radicielle jumelée et d'immeuble jumelé de Moufang sont essentiellement équivalentes. Au vu de la classification des immeubles sphériques et des polygones de Moufang, on obtient une classification complète des données radicielles sphériques irréductibles de rang au moins 2. Il se trouve qu'elles sont toutes d'origine algébrique (i.e. obtenues par constructions algébriques à partir de groupes de Chevalley). Dans le cas sphérique, la situation est différente. D'une part, des résultats de Mühlherr semblent indiquer que les données radicielles jumelées 2-sphériques seraient d'origine algébrique. D'autre part Rémy et Ronan ont construit des exemples exotiques à angles droits pour lesquels l'adjectif "d'origine algébrique" est inapproprié. Néanmoins ces exemples sont toujours relativement proches d'une construction algébrique. On ne peut donc rien conclure sur les données radicielles jumelées. Afin de répondre à cette question, on peut essayer de prouver des théorèmes structurels sur les données radicielles jumelées ou en donner des constructions permettant plus de flexibilité. Les principaux résultats de cette thèse sont motivés par ces lignes directrices: - nous prouvons un critère d'existence général pour les données radicielles jumelées; - nous donnons une réponse affirmative à une question sur les automorphismes des groupes de Kac-Moody laissée ouverte dans un article de Caprace; - nous proposons une définition d'une donnée radicielle jumelée sur un corps commutatif de caractéristique p.

Les travaux de Killing et Cartan ont montré la correspondance entre les algèbres de Lie semi-simples complexes et les matrices de Cartan. Ces dernières sont des matrices sur les entiers satisfaisants certaines propriétés, parmi lesquelles une condition de positivité. Si cette condition est omise, on obtient une matrice de Cartan généralisée. On peut y étendre la présentation de Serre pour les algèbre de Lie semi-simples et obtenir les algèbres de Kac-Moody. <p>L'intérêt de l'étude des algèbres de Lie semi-simples réside dans le fait qu'elles induisent la plupart des groupes simples finis, comme le montre la construction de Chevalley. Il se fait que cette construction se généralise aux algèbres de Kac-Moody.<p><p>L'ingrédient principal de cette construction est l'utilisation d'un système de sous-groupes dans un groupe de Kac-Moody, ceux-ci étant indicés par les racines du système de Coxeter associé à la matrice de Cartan généralisée. Tits a réalisé l'axiomatique de ce système de sous-groupes, une donnée radicielle jumelée, pour un système de Coxeter quelconque. Par définition, les groupes de Kac-Moody sur un corps commutatif admettent une donnée radicielle jumelée.<p><p>En réalité les notions de donnée radicielle jumelée et d'immeuble jumelé de Moufang sont essentiellement équivalentes.<p>Au vu de la classification des immeubles sphériques et des polygones de Moufang, on obtient une classification complète des données radicielles sphériques irréductibles de rang au moins 2. Il se trouve qu'elles sont toutes d'origine algébrique (i.e. obtenues par constructions algébriques à partir de groupes de Chevalley).<p><p>Dans le cas sphérique, la situation est différente. D'une part, des résultats de Mühlherr semblent indiquer que les données radicielles jumelées 2-sphériques seraient d'origine algébrique. D'autre part Rémy et Ronan ont construit des exemples exotiques à angles droits pour lesquels l'adjectif "d'origine algébrique" est inapproprié.<p><p>Néanmoins ces exemples sont toujours relativement proches d'une construction algébrique. On ne peut donc rien conclure sur les données radicielles jumelées. Afin de répondre à cette question, on peut essayer de prouver des théorèmes structurels sur les données radicielles jumelées ou en donner des constructions permettant plus de flexibilité.<p><p>Les principaux résultats de cette thèse sont motivés par ces lignes directrices:<p>- nous prouvons un critère d'existence général pour les données radicielles jumelées;<p>- nous donnons une réponse affirmative à une question sur les automorphismes des groupes de Kac-Moody laissée ouverte dans un article de Caprace;<p>- nous proposons une définition d'une donnée radicielle jumelée sur un corps commutatif de caractéristique p.<p><p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Les masures ont été introduites en 2008 par Gaussent et Rousseau afin d’étudier les groupes de Kac-Moody sur les corps locaux. Elles généralisent les immeubles de Bruhat-Tits. Dans cette thèse, j’étudie d’une part les propriétés des masures et d’autre part leurs applications en arithmétique et en théorie des représentations. Rousseau a donné une définition axiomatique des masures, inspirée par la définition de Tits des immeubles de Bruhat-Tits. Je propose une axiomatique plus simple et plus agréable à manipuler et je montre que mon axiomatique est équivalente à celle de Rousseau.Nous étudions (en collaboration avec Ramla Abdellatif) les algèbres de Hecke sphériques et d’Iwahori-Hecke introduites par Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau. Nous démontrons que contrairement au cas réductif, le centre de leur algèbre d’Iwahori-Hecke est quasiment trivial, et n’est en particulier pas isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons donc une algèbre d’Iwahori-Hecke complétée, dont le centre est isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous associons aussi des algèbres de Hecke à des faces sphériques comprises entre 0 et l’alcôve fondamentale de la masure,généralisant la construction de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau de l’algèbre d’Iwahori-Hecke.La formule de Gindikin-Karpelevich est une formule importante dans la théorie des groupes réductifs sur les corps locaux. Récemment, Braverman,Garland, Kazhdan, et Patnaik ont généralisé cette formule au cas des groupes de Kac-Moody affines. Une partie importante de leur preuve consiste à montrer que cette formule est bien définie, c’est à dire que les nombres intervenants dans cette formule, qui sont les cardinaux de certains sous groupes de quotients du groupe étudié sont bien finis. Je démontre cette finitude dans le cas des groupes de Kac-Moody généraux. J’étudie aussi les distances sur une masure. Je montre qu’on ne peux pas avoir de distance ayant les mêmes propriétés que dans le cas réductif. Je construis des distances ayant des propriétés moins forte mais qui semblent intéressantes. / Masures were introduced in 2008 by Gaussent and Rousseau in order to study Kac-Moody groups over local fields. They generalize Bruhat-Tits buildings. In this thesis, I study the properties of masures and the application of the theory of masures in arithmetic and representation theory. Rousseau gave an axiomatic of masures, inspired by the definition by Tits of Bruhat-Tits buildings. I propose an axiomatic, which is simpler and easyer to handle and I prove that my axiomatic is equivalent to the one of Rousseau. We study (in collaboration with Ramla Abdellatif) the spherical and Iwahori-Hecke algebras introduced by Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau. We prove that on the contrary to the reductive case, the center of the Iwahori-Hecke algebra is almost trivial and is in particular not isomorphic to the spherical Hecke algebra. We thus introduce a completed Iwahori-Hecke algebra, whose center is isomorphic to the spherical Hecke algebra. We also associate Hecke algebras to spherical faces between 0 and the fundamental alcove of the masure, generalizing the construction of Bardy-Panse, Gaussent and Rousseau of the Iwahori-Hecke algebra.The Gindikin-Karpelevich formula is an important formula in the theory of reductive groups over local fields. Recently, Braverman, Garland, Kazhdanand Patnaik generalized this formula to the case of affine Kac-Moody groups. An important par of their prove consists in proving that this formula iswell-defined, which means that the numbers involved in this formula, which are the cardinals of certain subgroup of quotients of the studied subgroupare finite. I prove this finiteness in the case of general Kac-Moody groups.I also study distances on a masure. I prove that there is no distance having the same properties as in the reductive case. I construct distances having weaker properties, but which seem interesting.