On s’intéresse dans cette thèse à des systèmes couplés de type champ moyen en étudiant l’existence de l’état de synchronisation qui se caractérise par une distance uniformément bornée dans le temps entre chaque paire de composantes d’une solution. L’étude se base sur une méthode perturbative. Néanmoins les résultats obtenus ne sont pas évidents dans le cas non-perturbé. En outre dans le cas où le système couplé est périodique et grâce au Théorème du point fixe on montre l’existence d’une solution périodique sur le tore. L’étude de stabilité et de stabilité exponentielle est établie dans le cas linéaire et appliquée à ce type de systèmes couplés / We study in this thesis a class of a perturbed interconnected mean-field system, also known as a coupled systems. Under some assumptions we prove the existence of an invariant open set by the flow of the perturbed system ; in other word, we prove that the distance between the components of an orbit is uniformly bounded, this property is also called synchronization. We use the perturbation method to obtain the result. However the result is not trivial for the not perturbed system. We use the fixed point theorem to prove the existence of a periodic orbit in the torus. We study in addition the stability and the exponential stability of such systems by studying the stability of a linear systems.

Dans la première partie de cette thèse, motivée par le développement de la stimulation cérébrale profonde comme traitement des symptômes moteurs de la maladie de Parkinson, nous considérons le problème de réduire la synchronie d'une population neuronale par l'intermédiaire d'une stimulation électrique en boucle fermée. Ceci, sous les contraintes que seule la tension de membrane moyenne de l'ensemble est mesurée et qu'un seul signal de stimulation est disponible (retour du champ moyen). La population neuronale est modélisée comme un réseau d'oscillateurs de Landau-Stuart contrôlé par un dispositif de rétroaction mono-entrée mono-sortie. En nous basant sur la dynamique de phase associée au système, nous analysons l'existence et la robustesse des solutions à verrouillage de phase, modélisant l'état pathologique, et nous dérivons des conditions nécessaires à une désynchronisation efficace par retour du champ moyen. Des conditions suffisantes sont ensuite dérivées pour deux objectifs de contrôle: l'inhibition et la désynchronisation neuronale. Notre analyse suggère que, en fonction de l'intensité du gain de rétroaction, le retour du champ moyen peut soit bloquer l'oscillation collective (inhibition neuronale) soit désynchroniser l'ensemble.Dans la deuxième partie, nous explorons deux voies possibles pour l'analyse des problèmes similaires dans des modèles biologiquement plus plausibles. Dans la première, la population est modélisée comme une interconnexion d'opérateurs entrée-sortie non-linéaires et la synchronisation neuronale est analysée en s'appuyant sur une approche entré-sortie récemment développée. Dans la seconde, les propriétés d'excitabilité et de synchronisabilité des neurones sont analysées via les bifurcations sous-jacentes. En nous basant sur la théorie des formes normales, un nouveau modèle réduit est dérivé pour capturer les comportements d'une grande classe de neurones qui restent inexpliqués dans les modèles réduits existants. / In the first part of this thesis, motivated by the development of deep brain stimulation for Parkinson's disease, we consider the problem of reducing the synchrony of a neuronal population via a closed-loop electrical stimulation. This, under the constraints that only the mean membrane voltage of the ensemble is measured and that only one stimulation signal is available (mean-field feedback). The neuronal population is modeled as a network of interconnected Landau-Stuart oscillators controlled by a linear single-input single-output feedback device. Based on the associated phase dynamics, we analyze existence and robustness of phase-locked solutions, modeling the pathological state, and derive necessary conditions for an effective desynchronization via mean-field feedback. Sufficient conditions are then derived for two control objectives: neuronal inhibition and desynchronization. Our analysis suggests that, depending on the strength of feedback gain, a proportional mean-field feedback can either block the collective oscillation (neuronal inhibition) or desynchronize the ensemble.In the second part, we explore two possible ways to analyze related problems on more biologically sound models. In the first, the neuronal population is modeled as the interconnection of nonlinear input-output operators and neuronal synchronization is analyzed within a recently developed input-output approach. In the second, excitability and synchronizability properties of neurons are analyzed via the underlying bifurcations. Based on the theory of normal forms, a novel reduced model is derived to capture the behavior of a large class of neurons remaining unexplained in other existing reduced models.

Il est bien connu que la synchronisation de l’activité oscillatoire dans les réseaux de neurones joue un rôle important dans le fonctionnement du cerveau et pour le traitement des informations données pas les neurones. Cette thèse porte sur l’analyse de l’activité de synchronisation en utilisant des outils et des méthodes issues de la théorie du contrôle et de la théorie de la stabilité. En particulier, deux modèles ont été étudiés pour décrire l’activité oscillatoire des réseaux de neurones : le modèle de Kuramoto et le modèle de Hindmarsh-Rose. Une partie de ce manuscript est consacrée à l’étude du modèle de Kuramoto, qui est un des systèmes les plus simples utilisé pour modéliser un réseau de neurones, avec une connexion complète (all-to-all). Il s’agit d’un modèle classique qui est utilisé comme une version simplifiée d’un réseau de neurones. Nous construisons un système linéaire qui conserve les informations sur les fréquences naturelles et sur les gains d’interconnexion du modèle original de Kuramoto. Les propriétés de stabilité de ce modèle sont ensuite analysées et nous montrons que les solutions de ce nouveau système linéaire convergent vers un cycle limite périodique et stable. Finalement, nous montrons que contraint au cycle limite, les dynamiques du système linéaire coïncident avec le modèle de Kuramoto. Dans une seconde partie, nous avons considéré un modèle de réseau de neurones plus proche de la réalité d’un point de vue biologique, mais qui est plus complexe que le modèle de Kuramoto. Plus précisément, nous avons utilisé le modèle de Hindmarsh-Rose pour décrire la dynamique de chaque neurone que nous avons interconnecté par un couplage diffusif (c’est à dire linéaire). A partir des propriétés de semi-passivité du modèle de Hindmarsh- Rose, nous avons analysé les propriétés de stabilité d’un réseau hétérogène de Rindmarsh-Rose. Nous avons également montré que ce réseau est pratiquement synchronisé pour une valeur suffisamment grande du gain d’interconnexion. D’autre part, nous avons caractérisé le comportement limite des neurones synchronisés et avons établi une approximation de ce comportement par une moyenne des dynamiques de tous les neurones. / It is widely recognized that rhythmic oscillatory activity in networks of neurons plays an important role in the brain functionning and a key role in processing neural information. This thesis is devoted to the analysis of this synchronized activity by using tools and methods issued from automatic control and stability theory. Two models are used to describe oscillatory activity of neural networks : Kuramoto model and network of Hindmarsh-Rose neurons. First, we consider Kuramoto model with complete (all-to-all) coupling, which is one of the simplest systems used to model neural network. For this model we construct an auxiliary linear system that preserves information on the natural frequencies and interconnection gains of the original Kuramoto model. Next, stability properties of this model are analyzed and we show that the solutions of the new linear system converge to a stable periodic limit cycle. Finally, we show that constrained to the limit cycle, dynamics of the linear system coincide with the original Kuramoto model. Second, a model for the network (population) with a better behavior, with respect to the Kuramoto model, from a biological point of view but more complex is considered. Particularly, we consider a network of diffusively coupled neurons where we use a Hindmarsh-Rose model to describe the dynamics of each individual neuron. Based on semi-passivity of individual Hindmarsh-Rose neurons, we analyse stability properties of a heterogeneous network of such neurons and show that network is practically synchronized for sufficient large values of interconnection gains. Moreover, we characterize the limiting synchronized behavior by using an averaging of all neuron dynamics.