Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Este trabalho à um estudo sobre as origens da LÃgica MatemÃtica e os limites da sua aplicabilidade ao desenvolvimento formal da MatemÃtica. Primeiramente, à apresentada a teoria aritmÃtica de Dedekind, a primeira teoria a fornecer uma definiÃÃo precisa para os nÃmeros naturais e com base nela demonstrar todos os fatos comumente conhecidos a seu respeito. à tambÃm apresentada a axiomatizaÃÃo da AritmÃtica feita por Peano, que de certa forma simplificou a teoria de Dedekind. Em seguida, à apresentada a ome{german}{Begriffsschrift} de Frege, a linguagem formal que deu origem à LÃgica moderna, e nela sÃo representadas as definiÃÃes bÃsicas de Frege a respeito da noÃÃo de nÃmero. Posteriormente, à apresentado um resumo de questÃes importantes em fundamentos da MatemÃtica durante as primeiras trÃs dÃcadas do sÃculo XX, iniciando com os paradoxos na Teoria dos Conjuntos e terminando com a doutrina formalista de Hilbert. Por fim, sÃo apresentados, em linhas gerais, os teoremas de incompletude de GÃdel e o conceito de computabilidade de Turing, que apresentaram respostas precisas Ãs duas mais importantes questÃes do programa de Hilbert, a saber, uma prova direta de consistÃncia para a AritmÃtica e o problema da decisÃo, respectivamente. / This work is a study about the origins of Mathematical Logic and the limits of its applicability to the formal development of Mathematics. Firstly, Dedekindâs arithmetical theory is presented, which was the first theory to provide a precise definition for natural numbers and to demonstrate relying on it all facts commonly known about them. Peanoâs axiomatization for Arithmetic is also presented, which in a sense simplified Dedekindâs theory. Then, Fregeâs Begriffsschrift is presented, the formal language from which modern Logic originated, and in it are represented Fregeâs basic definitions concerning the notion of number. Afterwards, a summary of important topics on the foundations of Mathematics from the first three decades of the twentieth century is presented, beginning with the paradoxes in Set Theory and ending with Hilbertâs formalist doctrine. At last, are presented, in general terms, GÃdelâs incompleteness. theorems and Turingâs computability concept, which provided precise answers to the two most important points in Hilbertâs program, to wit, a direct proof of consistency for Arithmetic and the decision problem, respectively. Keywords: 1. Mathematical Logic 2. Foundations of Mathematics 3. GÃdelâs incompleteness theorems