Cette thèse présente des résultats obtenus dans deux domaines : la théorie des langages, et la théorie des graphes. En théorie des langages, on s’intéresse à des problèmes de caractérisation de classes de langages réguliers. Le problème générique consiste à déterminer si un langage régulier donné peut être défini dans un certain formalisme. Les méthodes actuelles font intervenir un problème plus général appelé séparation. On présente ici deux types de contributions : une généralisation d’un résultat de décidabilité au cadre des langages de mots infinis, ainsi que des bornes inférieures pour la complexité du problème de séparation. En théorie des graphes, on considère le problème classique de coloration de graphes, où on cherche à attribuer des couleurs aux sommets d’un graphe de sorte que les sommets adjacents reçoivent des couleurs différentes, le but étant d’utiliser le moins de couleurs possible. Dans le cas des graphes peu denses, la méthode de déchargement est un atout majeur. Elle a notamment joué un rôle décisif dans la preuve du théorème des quatre couleurs. Cette méthode peut être vue comme une construction non conventionnelle d’un schéma de preuve par induction, spécifique à la classe de graphes et à la propriété considérées, et où la validité du schéma est rarement immédiate. On utilise des variantes de la méthode de déchargement pour étudier deux types de problèmes de coloration. / In this thesis, we present results obtained in two fields: formal language theory and graph theory. In formal language theory, we consider some problems of characterization of classes of regular languages. The generic problem consists in determining whether a given regular language can be defined in a fixed formalism. The current approaches use a more general problem called separation. We present here two types of contributions: a generalization of a decidability result to the setting of infinite words, together with lower bounds for the complexity of the separation problem. In graph theory, we consider the classical problem of graph coloring, where we assign colors to vertices of a graph in such a way that two adjacent vertices receive different colors. The goal is to use the fewest colors. When the graphs are sparse, a crucial tool for this is the discharging method. It is most notably decisive in the proof of the Four-Color Theorem. This method can be seen as an unconventional construction of an inductive proof scheme, specific to the considered problem and graph class, where arguing the validity of the scheme is rarely immediate. We use variants of the discharging method to study two types of coloring problems.

Une tresse est une classe d'équivalence de mots de tresse. Diverses formes normales sur les tresses ont été décrites dans la littérature, c'est-à-dire, divers moyens de sélection, pour toute tresse, d'un mot de tresse distingué la représentant. Définie de façon naturelle sur les monoïdes de tresses de Birman-Ko-Lee (ou duaux), la forme normale tournante peut être étendue au groupe de tresses tout entier. Ici, nous donnons des contraintes de nature combinatoire satisfaites par cette nouvelle forme normale. Nous en obtenons ainsi une caractérisation et montrons que l'ensemble des formes normales tournantes des tresses duales constitue un langage régulier.<br /><br />Un résultat de P. Dehornoy (1992) affirme que toute tresse non triviale admet un représentant sigma-défini. Ce résultat est à la base de la construction de l'ordre des tresses. A l'aide de la forme normale tournante et de ses propriétés, nous montrons que toute tresse admet un représentant sigma-défini de longueur quasi-géodésique, ce qui résout une question ouverte depuis une quinzaine d'années. <br /><br />Un résultat de R. Laver montre que les monoïdes de Birman-Ko-Lee munis de l'ordre des tresses sont bien ordonnés mais laisse ouvert la détermination de leurs longueurs.<br />A l'aide de la forme normale tournante, nous obtenons une caractérisation de l'ordre des tresses sur le monoïde de Birman-ko-Lee à n brins à partir de sa restriction sur celui à (n-1) brins. Une conséquence de ce résultat est une nouvelle démonstration du résultat de R. Laver ainsi que la détermination de la longueur des monoïdes de tresses duaux munis de l'ordre des tresses.