Teste de propriedades em grafos consiste no estudo de algoritmos aleatórios sublineares que determinam se um grafo $G$ de entrada com $n$ vértices satisfaz uma dada propriedade ou se é necessário adicionar ou remover mais do que $\\epsilon{n \\choose 2}$ arestas para fazer $G$ satisfazê-la, para algum parâmetro $\\epsilon$ de erro fixo. Uma propriedade de grafos $P$ é dita testável se, para todo $\\epsilon > 0$, existe um tal algoritmo para $P$ cujo tempo de execução é independente de $n$. Um dos resultados de maior importância nesta área, provado por Alon e Shapira, afirma que toda propriedade hereditária de grafos é testável. Neste trabalho, apresentamos resultados análogos para torneios --- grafos completos nos quais são dadas orientações para cada aresta. / Graph property testing is the study of randomized sublinear algorithms which decide if an input graph $G$ with $n$ vertices satisfies a given property or if it is necessary to add or remove more than $\\epsilon{n \\choose 2}$ edges to make $G$ satisfy it, for some fixed error parameter $\\epsilon$ . A graph property $P$ is called testable if, for every $\\epsilon > 0$, there is such an algorithm for $P$ whose run time is independent of $n$. One of the most important results in this area is due to Alon and Shapira, who showed that every hereditary graph property is testable. In this work, we show analogous results for tournaments --- complete graphs in which every edge is given an orientation.

Teste de propriedades em grafos consiste no estudo de algoritmos aleatórios sublineares que determinam se um grafo $G$ de entrada com $n$ vértices satisfaz uma dada propriedade ou se é necessário adicionar ou remover mais do que $\\epsilon{n \\choose 2}$ arestas para fazer $G$ satisfazê-la, para algum parâmetro $\\epsilon$ de erro fixo. Uma propriedade de grafos $P$ é dita testável se, para todo $\\epsilon > 0$, existe um tal algoritmo para $P$ cujo tempo de execução é independente de $n$. Um dos resultados de maior importância nesta área, provado por Alon e Shapira, afirma que toda propriedade hereditária de grafos é testável. Neste trabalho, apresentamos resultados análogos para torneios --- grafos completos nos quais são dadas orientações para cada aresta. / Graph property testing is the study of randomized sublinear algorithms which decide if an input graph $G$ with $n$ vertices satisfies a given property or if it is necessary to add or remove more than $\\epsilon{n \\choose 2}$ edges to make $G$ satisfy it, for some fixed error parameter $\\epsilon$ . A graph property $P$ is called testable if, for every $\\epsilon > 0$, there is such an algorithm for $P$ whose run time is independent of $n$. One of the most important results in this area is due to Alon and Shapira, who showed that every hereditary graph property is testable. In this work, we show analogous results for tournaments --- complete graphs in which every edge is given an orientation.

Nesta tese, introduzimos o conceito de sequência convergente de permutações e provamos a existência de um objeto limite para tais sequências. Introduzimos ainda um novo modelo de permutação aleatória baseado em tais objetos e introduzimos um conceito novo de distância entre permutações. Provamos então que sequências de permutações aleatórias são convergentes e provamos a equivalência entre esta noção de convergência e convergência nesta nova distância. Obtemos ainda resultados de amostragem e quase-aleatoriedade para permutações. Provamos também uma caracterização para parâmetros testáveis de permutações. / We introduce the concept of convergent sequence of permutations and we prove the existence of a limit object for these sequences. We also introduce a new and more general model of random permutation based on these limit objects and we introduce a new metric for permutations. We also prove that sequences of random permutations are convergent and we prove the equivalence between this notion of convergence and convergence in this new metric. We also show some applications for samplig and quasirandomness. We also prove a characterization for testable parameters of permutations.

Nesta tese, introduzimos o conceito de sequência convergente de permutações e provamos a existência de um objeto limite para tais sequências. Introduzimos ainda um novo modelo de permutação aleatória baseado em tais objetos e introduzimos um conceito novo de distância entre permutações. Provamos então que sequências de permutações aleatórias são convergentes e provamos a equivalência entre esta noção de convergência e convergência nesta nova distância. Obtemos ainda resultados de amostragem e quase-aleatoriedade para permutações. Provamos também uma caracterização para parâmetros testáveis de permutações. / We introduce the concept of convergent sequence of permutations and we prove the existence of a limit object for these sequences. We also introduce a new and more general model of random permutation based on these limit objects and we introduce a new metric for permutations. We also prove that sequences of random permutations are convergent and we prove the equivalence between this notion of convergence and convergence in this new metric. We also show some applications for samplig and quasirandomness. We also prove a characterization for testable parameters of permutations.

[pt] Consideramos, nesta dissertação, a questão de determinar se um grafo tem uma propriedade P, tal como G é livre de triângulos ou G é 4- colorível. Em particular, consideramos para quais propriedades P existe um algoritmo aleatório com probabilidades de erro constantes que aceita grafos que satisfazem P e rejeita grafos que são epsilon-longe de qualquer grafo que o satisfaça. Se, além disso, o algoritmo tiver complexidade independente do tamanho do grafo, a propriedade é dita testável. Discutiremos os resultados de Alon, Fischer, Newman e Shapira que obtiveram uma caracterização combinatória de propriedades testáveis de grafos, resolvendo um problema em aberto levantado em 1996. Essa caracterização diz informalmente que uma propriedade P de um grafo é testável se e somente se testar P pode ser reduzido a testar a propriedade de satisfazer uma das finitas partições Szemerédi. / [en] We consider, in this thesis, the question of determining if a graph has a property P such as G is triangle-free or G is 4-colorable. In particular, we consider for which properties P there exists a random algorithm with constant error probabilities that accept graphs that satisfy P and reject graphs that are epsilon-far from any graph that satisfies it. If, in addition, the algorithm has complexity independent of the size of the graph, the property is called testable. We will discuss the results of Alon, Fischer, Newman, and Shapira that obtained a combinatorial characterization of testable graph properties, solving an open problem raised in 1996. This characterization informally says that a graph property P is testable if and only if testing P can be reduced to testing the property of satisfying one of finitely many Szemerédi-partitions.