Orientador: Marcelo Messias / Banca: Cristiane Nespoli Morelato França / Banca: Paulo Ricardo da Silva / Resumo: Em um artigo publicado em maio de 2008 na revista Nature [17], um grupo de pesquisadores da Hewllet-Packard Company (HP) anunciou a fabricação de um componente eletrônico chamado memristor, uma contração para "memory resistor". A existência teórica dos memristores havia sido prevista em 1971, pelo Engenheiro da Universidade da Califórnia em Berkeley, Leon Chua, com base em propriedades de simetria de certos circuitos elétricos, porém até 2008 sua existência física não havia sido comprovada. Tal componente é considerado o quarto componente eletrônico fundamental, ao lado do resistor, do capacitor e do indutor, pois possui propriedades que não podem ser duplicadas por nenhuma combinação desses três outros componentes. A construção física do memristor atraiu grande interesse no mundo todo, devido ao grande potencial de aplicações deste componente. No presente trabalho fazemos um estudo das bifurcações que ocorrem em um sistema de equações diferenciais ordinárias, que serve como modelo matemático de um circuito elétrico formado pelos quatro elementos fundamentais: um memristor, um capacitor, um indutor e um resistor. O circuito estudado foi proposto por Itoh e Chua em [9]... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: In the present work we make a bifurcation analysis of a system of ordinary differential equations, which serves as a mathematical model of an electric circuit formed by the four fundamental elements: one memristor, one capacitor, one inductor and one resistor. The studied circuit was proposed by Itoh and Chua in [9] and was constructed based on the well-known Chua's oscillators. The studied model is given by a discontinuous piecewise-linear system, defined on three zones in R^3, determined by the following inequalities: |z|<1 (called central zone) and |z|>1 (called external zones). The z-axis is composed by equilibrium points of the system. The local normal stability of these equilibira in each zone is analyzed. We show that, due to the existence of this line of equilibria, the phase space R^3 is foliated by invariant planes transversal to the z-axis and parallel to each other, in each zone. The solutions of the system are contained in a combination of three of these invariant planes: one of them in the central zone and the other two in the external zones. We also show that the system may present nonlinear oscillations due to the existence of periodic orbits passing through two of the three zones or passing by three zones. The analysis developed here has analytical and numerical parts. The analytical part was developed based on the study of planar piecewise-linear systems with three zones presented by Freire et al. in [5]... (Complete abstract click electronic access below) / Mestre

Orientador: José Francisco Gomes / Banca: Galen Mihaylov Sotkov / Banca: Abraham Hirsz Zimerman / Banca: Paulo Teotônio Sobrinho / Banca: Márcio José Martins / Resumo: Nesta fase construísmo e estudamos uma nova classe de modelos integráveis (relativístico e não relativístico) em duas dimensões, associados à álgebra afim 'A IND.3 POT.(1)'. Estes modelos apresentam sólitons tipológicos os quais portam duas cargas elétricas U(1) X U(1). O modelo de Toda afim (relativístico) é construído a partir do modelo WZNW mediante a calibração da ação Swznw e corresponde ao primeiro membro de grau negativo q = -1 de uma hierarquia de modelos cKP do tipo dyon. O modelo mais simples não relativístico dentro desta hierarquia corresponde ao grau q = 2 positivo. As soluções de 1-sóliton para ambos modelos foram construídas e relações explícitas entre ambas soluções (assim como entre as cargas conservadas) foram encontradas. Outro modelo integrável com simetrias não abelianas locais SL(2) X U(1) é introduzido. Numa aproximação à integrabilidade em espaços não-comutativos estudamos generalizações não comutativas no plano dos modelos integráveis bidimensionais sine-, sinh-Gordon e U(N) Quiral Principal. Calculando a amplitude de espalhamento à nível de árvore de um processo de produção de partículas provamos que a versão não-comutativa do modelo de sinh-Gordon que se obtém mediante a deformação Moyal da respectiva ação não é integrável. Por outro lado, a incorporação de vínculos adicionais que são obtidos a partir da generalização da condição de curvatura nula, tornam o modelo integrável. O modelo Quiral Principal generalizado a partir da deformação Moyal da ação, preserva a sua integrabilidade, ao contrário dos modelos sinh-Gordon e sine-Gordon. / Abstract: In this thesis we have constructed and studied a new class of two-dimensional integrable models (relativistic and nonrelativistic), related to the affine algebra 'A IND.3 POT.(1)'. These models admit U(1) X U(1) charged topological solitons. The affine Toda relativistic model is constructed from the gauged WZNW action and corresponds to the first negative grade q = -1 member of a dyonic hierarchy of cKP models. The simplest nonrelativistic model corresponds to the positive grade q = 2 of this hierarchy. The 1-soliton solutions for both models were constructed and explicit relations between them (and the conserved charges as well) were found. Another integrable model with local nonabelian SL(2) X U(1) simetries is introduced. In the context of integrability on noncommutative spaces, we have studied noncommutative generalizations on the plane of the two-dimensional integrable models sine-, sinh-Gordon and U(N) Principal Quiral. By computing for the sinh-Gordon model, the tree-level amplitude of a process of production of particles, we proved that the noncommutative generalization of this model that it is obtained by the Moyal deformation of the corresponding action is not integrable. On the other hand, the addition of extra constraints, obtained by the generalization of the zero-curvature method, renders the integrability of the model. The generalization of the Principal Quiral model by the Moyal deformation of the action preserves the integrability, contrary to the previous case / Doutor

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Weber Flavio Pereira / Banca: Marcelo Messias / Resumo: Consideramos dois casos principais de bifurcação de órbitas periódicas não hiperbólicas que dão origem a ciclos limite. Nosso estudo é feito para sistemas lineares por partes com três zonas em sua fórmula mais geral, que inclui situações sem simetria. Obtemos estimativas tanto para a amplitude como para o período do ciclo limite e apresentamos uma aplicação de interesse em engenharia: sistemas de controle. / Abstract: We consider two main cases of bifurcation of non hyperbolic periodic orbits that give rise to limit cycles. Our study is done concerning piecewise linear systems with three zones in the more general formula that includes situations without symmetry. We obtain estimates for both the amplitude and the period of limit cycles and we present a applications of interest in engineering: control systems. / Mestre

Orientador: Luci Any Francisco Roberto / Coorientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Ana Cristina Mereu / Banca: Claudio Gomes Pessoa / Resumo: Neste trabalho temos como objetivo estudar o número e a distribuição de ciclos limites em sistemas diferenciais lineares por partes. Em particular estudamos o número de ciclos limites do sistema diferencial linear por partes planar ˙x = −y − ε φ ( x) , ˙y = x, onde ε 6= 0 é um parâmetro pequeno e φ é uma função periódica linear por partes ímpar de período 4 . Provamos que dado um inteiro arbitário positivo n, o sistema acima possui exatamente n ciclos limites na faixa |x| ≤ 2 (n + 1 ). Consequentemente, existem sistemas diferenciais lineares por partes contendo uma infinidade de ciclos limites no plano real. Inicialmente obtemos uma quota inferior par a o número destes ciclos limites na faixa | x| ≤ 2 (n + 1 ) via Teoria do Averaging . Em seguida , utilizando a Teoria de Campos de Vetores Rodados, verificamos que o sistema acima tem exatamente n ciclos limites na faixa | x| ≤ 2 (n + 1 ) / Abstract: The main goal of this work aim to study the number and distribution of limit cycles in piecewise linear differential systems. In particular we consider the planar piecewise linear differential system ˙x = −y − ε φ ( x) , ˙y = x, where ε 6= 0 is a small parameter and φ is an odd piecewise linear periodic function of period 4 . We prove that given an arbitrary positive integer n, the system above has exactly n limit cycles in the strip | x| ≤ 2 (n + 1 ) . Consequently, there are piecewise differential systems containing an infinite number of limit cycles in the real plane. First we get a lower bound on the number of limit cycles in the strip |x| ≤ 2 (n + 1 ) via Averaging Theory. In the following , using the Theory of Rotated Vector Fields, we see that above system has exactly n limit cycles in the strip | x| ≤ 2 (n + 1 ) / Mestre

Orientador: Parham Salehyan / Banca: Eduardo de Sequeira Esteves / Banca: Jéfferson Luiz Rocha Bastos / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é estudar o Teorema de Riemann-Roch, um dos resultados fundamentais na teoria de curvas algébricas, e apresentar algumas de suas aplicações. Este teorema é uma importante ferramenta para a classificação das curvas algébricas, pois relaciona propriedades algébricas e topológicas. Daremos uma descrição das curvas algébricas de gênero g, 1≤ g ≤ 5, e faremos um breve estudo dos pontos de inflexão de um sistema linear sobre uma curva algébrica / Abstract: The main purpose of this work is to discuss The Riemann-Roch Theorem, wich is one of the most important results of the theory algebraic curves, and to present some applications. This theorem is an important tool of the classification of algebraic curves, sinces relates algebraic and topological properties. We will describle the algebraic curves of genus g, 1≤ g ≤ 5, and also study inflection points of a linear system on an algebraic curve / Mestre