Dans cet ouvrage nous allons résumer nos activités de recherche depuis l'obtention du titre de docteur à l'Université du Québec à Montréal. Ces recherches ont eu lieu auprès de et ont été possibles grâce à de nombreuses institutions que nous remercions : le BRICS à l'Université de Aarhus, le PIMS et le Département d'Informatique de l'Université de Calgary, le LaBRI de Bordeaux et, enfin, le Laboratoire d'Informatiqu Fondamentale de Marseille et l'Université de Provence. Nous souhaitons illustrer comment la notion de structure, algébrique et d'ordre, peut être un guide fructueux dans l'étude de sujets importants de l'informatique tels que les processus concurrents et les logiques modales et temporales pour la vérification des systèmes informatiques.

Description de mes activités de recherche réalisées depuis plus de 20 ans.

L'objet de cette thèse est d'étudier les capacités du système Coq à mélanger démonstrations et programmes en pratique en essayant d'y implémenter une part du programme Kenzo, un outil de calcul formel en algèbre homologique. À cet effet, nous travaillons sous trois contrainte: nous voulons essayer de lire le programme comme une démonstration avec un contenu calculatoire, ces démonstrations doivent calculer efficacement et nous cherchons à éviter de dupliquer des morceaux de démonstration. Nous montrons dans un premier temps comment le soucis d'efficacité conduit à reconsidérer certains aspects des mathématiques traditionnelle. Nous proposons une abstraction catégorielle adaptée, qui répond à la fois à un soucis de clareté et au besoin de partager les démonstration quand c'est possible. Cette abstraction, bien que différente des propositions traditionnelles, permet de formuler les notions d'algèbre homologique dans un style proche de celui de Kenzo. Nous proposons par ailleurs des modifications au programme de Coq pour rendre les démonstrations plus confortables, et pour permettre d'écrire des programmes plus efficaces. La première modification permet d'utiliser des tactiques plus fines, souvent nécessaire quand l'utilisation des types dépendents se fait commune. La seconde permet d'utiliser les capacité du processeur pour faire des calculs plus efficaces sur des entiers. Pour finir nous proposons quelques pistes pour améliorer le partage et la clareté du code. Malheureusement, nous nous heurtons aux limites du système. Nous montrons ainsi que Coq ne tiens pas forcément ses promesses et qu'il y aura besoin de travaux théoriques pour comprendre comment lever ces limites.

Les systèmes pédagogiques sont apparus récemment à propos des calculs propositionnels (jusqu'à l'ordre supérieur), et consistent à donner systématiquement des exemples des notions (hypothèses) introduites. Formellement, cela signifie que pour mettre un ensemble Delta de formules en hypothèse, il est requis de donner une substitution sigma telle que les instances de formules sigma(Delta) soient démontrables. Cette nécessité d'exemplification ayant été pointée du doigt par Poincaré (1913) comme relevant du bon sens: une définition d'un objet par postulat n'ayant d'intérêt que si un tel objet peut être construit. Cette restriction appliquée à des systèmes formels intuitionnistes rejoint l'idée des mathématiques sans négation défendues par Griss (1946) au milieu du siècle dernier, et présentées comme une version approfondie de l'intuitionnisme. À travers l'isomorphisme de Curry-Howard (1980), la contrepartie calculatoire est l'utilité des programmes définis dans les systèmes fonctionnels correspondants: toute fonction peut être appliquée à un argument clos. Les premiers résultats concernant les calculs propositionnels jusqu'au second ordre ont été publiés récemment par Colson et Michel (2007, 2008, 2009). Nous exposons dans cette thèse une tentative d'uniformisation et d'extension au Calcul des Constructions (CC) des précédents résultats. Tout d'abord une définition formelle et précise de sous-système pédagogique du Calcul des Constructions est introduite, puis différents tels sous-systèmes sont déclinés en exemple.

Cette thèse présente une formalisation des nombres algébriques et de leur théorie. Elle apporte deux nouvelles contributions importantes à la formalisation de résultats mathématiques dans des assistants à la preuve, ici Coq : la construction intuitionniste des nombres algébriques réels et la preuve qu'ils constituent un corps réel clos, ainsi que la programmation et la certification de procédures d'élimination des quantificateurs pour les théories des corps algébriquement clos et des corps réels clos. Pour atteindre ces résultats, nous avons apporté des contributions aux outils et aux méthodologies de preuves et de formalisation des mathématiques en Coq. En particulier, nous fournissons pour Coq/SSReflect un cadre pour travailler avec des types quotients. Nous fournissons une bibliothèque complète sur les structures algébriques de nombres ordonnés et normés. Nous avons réalisé une courte implémentation des réels de Cauchy accompagnée de tactiques pour effectuer facilement des raisonnements comportant des affirmations de la forme "soit n un entier suffisamment grand", couramment utilisés dans les preuves mathématiques sur papier. Nous avons également développé une petite bibliothèque d'analyse de base sur les polynômes à coefficients dans un corps réel clos. Une grande partie de nos résultats s'intègrent dans la formalisation de la preuve du théorème de Feit-Thompson et ont aussi pour objectif d'aider à certifier des procédures plus efficace d'élimination des quantificateurs sur les réels.

La vérification automatique est aujourd'hui devenue un domaine central de recherche en informatique. Depuis plus de 25 ans, une riche théorie a été développée menant à de nombreux outils, à la fois académiques et industriels, permettant la vérification de propriétés booléennes -- celles qui peuvent être soit vraies soit fausses. Les besoins actuels évoluent vers une analyse plus fine, c'est-à-dire plus quantitative. L'extension des techniques de vérification aux domaines quantitatifs a débuté depuis 15 ans avec les systèmes probabilistes. Cependant, de nombreuses autres propriétés quantitatives existent, telles que la durée de vie d'un équipement, la consommation énergétique d'une application, la fiabilité d'un programme, ou le nombre de résultats d'une requête dans une base de données. Exprimer ces propriétés requiert de nouveaux langages de spécification, ainsi que des algorithmes vérifiant ces propriétés sur une structure donnée. Cette thèse a pour objectif l'étude de plusieurs formalismes permettant de spécifier de telles propriétés, qu'ils soient dénotationnels -- expressions régulières, logiques monadiques ou logiques temporelles -- ou davantage opérationnels, comme des automates pondérés, éventuellement étendus avec des jetons. Un premier objectif de ce manuscript est l'étude de résultats d'expressivité comparant ces formalismes. En particulier, on donne des traductions efficaces des formalismes dénotationnels vers celui opérationnel. Ces objets, ainsi que les résultats associés, sont présentés dans un cadre unifié de structures de graphes. Ils peuvent, entre autres, s'appliquer aux mots et arbres finis, aux mots emboîtés (nested words), aux images ou aux traces de Mazurkiewicz. Par conséquent, la vérification de propriétés quantitatives de traces de programmes (potentiellement récursifs, ou concurrents), les requêtes sur des documents XML (modélisant par exemple des bases de données), ou le traitement des langues naturelles sont des applications possibles. On s'intéresse ensuite aux questions algorithmiques que soulèvent naturellement ces résultats, tels que l'évaluation, la satisfaction et le model checking. En particulier, on étudie la décidabilité et la complexité de certains de ces problèmes, en fonction du semi-anneau sous-jacent et des structures considérées (mots, arbres...). Finalement, on considère des restrictions intéressantes des formalismes précédents. Certaines permettent d'étendre l'ensemble des semi-anneau sur lesquels on peut spécifier des propriétés quantitatives. Une autre est dédiée à l'étude du cas spécial de spécifications probabilistes : on étudie en particulier des fragments syntaxiques de nos formalismes génériques de spécification générant uniquement des comportements probabilistes.

Le raisonnement assisté par ordinateur joue un rôle crucial en informatique et en logique mathématique, de la programmation logique à la déduction automatique, en passant par les assistants à la démonstration. Le but de cette thèse est la conception d'un cadre général où différentes techniques de raisonnement assisté par ordinateur peuvent être implémentées, pour que ces dernières puissent collaborer, être généralisées, et être implémentées de manière plus sûre. Le cadre que je propose est un calcul des séquents appelé LKp(T), qui généralise un système de la littérature à la présence d'une théorie pour laquelle nous avons une procédure de décision, comme l'arithmétique linéaire. Cette thèse développe la méta-théorie de LKp(T), avec par exemple la propriété de complétude logique. Nous montrons ensuite comment le système spécifie une procédure de recherche de preuve qui émule une technique connue du domaine de la Satisfiabilité-modulo-théories appelée DPLL(T). Enfin, les tableaux de clauses et les tableaux de connexions sont d'autres techniques populaires en déduction automatique, d'une nature relativement différente de DPLL. Cette thèse décrit donc également comment ces techniques de tableaux peuvent être décrites en termes de recherche de preuve dans LKp(T). La simulation est donnée à la fois pour la logique propositionnelle et la logique du premier ordre, ce qui ouvre de nouvelles perspectives de généralisation et de collaboration entre les techniques de tableaux et DPLL, même en présence d'une théorie.

Ces dernières années ont vu l'émergence d'assistants interactifs de preuves riches en fonctionnalités et d'une grande maturité d'implémentation, ce qui a permis l'essor des grosses formalisations de résultats papier et la résolution de conjectures célèbres. Mais autant d'assistants de preuves reposent sur presque autant de logiques comme fondements théoriques. Cousineau et Dowek (2007) proposent le λΠ-calcul modulo comme un cadre universel cible pour tous ces environnement de démonstration. Nous montrons dans cette thèse comment ce formalisme particulièrement simple admet une implémentation d'un vérificateur de taille modeste mais pour autant modulaire et efficace, à la correction de laquelle on peut réduire la cohérence de systèmes tout entiers. <p> Un nombre croissant de preuves dépendent de calculs intensifs comme dans la preuve du théorème des quatre couleurs de Gonthier (2007). Les méthodologies telles que SSReflect et les outils attenants privilégient les preuves contenant de nombreux petits calculs plutôt que les preuves purement déductives. L'encodage de preuves provenant d'autres systèmes dans le λΠ-calcul modulo introduit d'autres calculs encore. Nous montrons comment gérer la taille de ces calculs en interprétant les preuves tout entières comme des programmes fonctionnels, que l'on peut compiler vers du code machine à l'aide de compilateurs standards et clé-en-main. Nous employons pour cela une variante non typée de la normalisation par évaluation (NbE), et montrons comment optimiser de précédentes formulation de celle-ci. <p> Au travers d'une seule petite modification à l'interprétation des termes de preuves, nous arrivons aussi à une représentation des preuves en syntaxe abstraite d'ordre supérieur (HOAS), qui admet naturellement un algorithme de typage sans aucun contexte de typage explicite. Nous généralisons cet algorithme à tous les systèmes de types purs (PTS). Nous observons que cet algorithme est une extension à un cadre avec types dépendants de l'algorithme de typage des assistants de preuves de la famille HOL. Cette observation nous amène à développer une architecture à la LCF pour une large classe de PTS, c'est à dire une architecture où tous les termes de preuves sont corrects par construction, a priori donc, et n'ont ainsi pas besoin d'être vérifié a posteriori. Nous prouvons formellement en Coq un théorème de correspondance entre les système de types sans contexte et leur pendant standard avec contexte explicite. Ces travaux jettent un pont entre deux lignées historiques d'assistants de preuves : la lignée issue de LCF à qui nous empruntons l'architecture du noyau, et celle issue de Automath, dont nous héritons la notion de types dépendants. <p> Les algorithmes présentés dans cette thèse sont au coeur d'un nouveau vérificateur de preuves appelé Dedukti et ont aussi été transférés vers un système plus mature : Coq. En collaboration avec Dénès, nous montrons comment étendre la NbE non typée pour gérer la syntaxe et les règles de réduction du calcul des constructions inductives (CIC). En collaboration avec Burel, nous généralisons des travaux précédents de Cousineau et Dowek (2007) sur l'encodage dans le λΠ-calcul modulo d'une large classe de PTS à des PTS avec types inductifs, motifs de filtrage et opérateurs de point fixe.

Cette thèse s'intéresse à l'usage des formalismes d'inférence profonde comme fondement des interprétations calculatoires des systèmes de preuve, en suivant les deux approches principales: celle des preuves comme programmes et celle de la recherche de preuve comme calcul. La première contribution est le développement d'une famille de systèmes de preuve pour la logique intuitionniste dans le calcul des structures et dans les séquents imbriqués. pour lesquels des procédures de normalisation internes sont fournies. L'une de ces procédures est alors interprétée en termes calculatoires, comme un raffinement de la correspondance de Curry-Howard permettant d'introduire une forme de partage ainsi que des opérateurs de communication dans un lambda-calcul avec substitution explicite. Du coté de la recherche de preuve, la notion de preuve focalisée en logique linéaire est transférée du calcul des séquents au calcul des structures, où elle induit une forme incrémentale de focalisation, dotée d'une preuve de complétude très simple. Enfin, une autre interprétation de la recherche de preuve est donnée par l'encodage de la réduction d'un lambda-calcul avec substitution explicite dans les règles d'inférence d'un sous-système de la logique intuitionniste dans le calcul des structures.

Cette thèse présente des avancées dans l'utilisation des Structures Canoniques, un mécanisme du langage de programmation de l'assistant de preuve Coq, équivalent à la notion de classes de types. Elle fournit un nouveau modèle pour le développement de hiérarchies mathématiques à l'aide d'enregistrements dépendants, et, en guise d'illustration, fournit une reformulation de la preuve formelle de correction du cryptosystème RSA, offrant des méthodes de raisonnement algébrique ainsi que la représentation en théorie des types des notions mathématiques nécessaires (incluant les groupes cycliques, les groupes d'automorphisme, les isomorphismes de groupe). Nous produisons une extension du mécanisme d'inférence de Structures Canoniques à l'aide de types fantômes, et l'appliquons au traitement de fonctions partielles. Ensuite, nous considérons un traitement générique de plusieurs formes de définitions de sous-groupes rencontrées au long de la preuve du théorème de Feit-Thomspon, une large librairie d'algèbre formelle développée au sein de l'équipe Mathematical Components au laboratoire commun MSR-INRIA. Nous montrons qu'un traitement unifié de ces 16 sous-groupes nous permet de raccourcir la preuve de leur propriétés élémentaires, et d'obtenir des définitions offrant une meilleure compositionnalité. Nous formalisons une correspondance entre l'étude de ces fonctorielles, et des propriété de théorie des groupes usuelles, telles que représentées par la classe des groupes qui les vérifie. Nous concluons en explorant les possibilités d'analyse de la fonctorialité de ces définitions par l'inspection de leur type, et suggérons une voie d'approche vers l'obtention d'instances d'un résultat de paramétricité en Coq.