Dans ce travail, on s'intéresse à l'étude mathématique des phénomènes de charge des satellites dans les orbites basses (Low Earth Orbit, LEO).Aprės un rappel du contexte physique, nous dérivons un modėle de type bi-fluide pour le plasma entourant le satellite. En effet, en orbite LEO, le plasma peut être considéré fortement collisionnel comparativement au cas par exemple des orbites polaires ( Polar Earth Orbit, PEO). Le modėle utilisé est composé des équations d'Euler pour la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie ainsi que de l'équation de Poisson pour le potentiel électrostatique et est obtenu dans le cas tri-dimensionnel.Pour l'étude mathématique du modėle nous nous concentrons sur le cas uni-dimensionnel afin de mettre en évidence les principales difficultés.Nous considérons d'abord les équations d'Euler stationnaires couplées à l'équation de Poisson. La dynamique de charge du satellite est alors contenue dans les conditions limites qui font apparaître la dérivée en temps du potentiel. Nous donnons des résultats d'existence et d'unicité de solution ainsi que des simulations numériques. Ici nous utilisons uniquement des conditions limites de Dirichlet pour les quantités macroscopiques. Elles peuvent être loin de celles qui sont physiquement intéressantes et que nous ne connaissons qu'au niveau microscopique.C'est pourquoi, nous proposons ensuite une solution numérique permettant d'utiliser dans la simulation des équations évolutives d'Euler des conditions limites venant d'une modélisation microscopique au travers d'un régime où le libre parcours moyen est petit. La condition limite vient d'une analyse de couche limite qui s'explique par le fait que le flux cinétique peut être loin de l'équilibre thermodynamique. / In this work we are concerned with a mathematical study of the spacecraft charging phenomena of Low Earth Orbit (LEO).After recalling the physical context, we derive a two-fluid type model for the plasma around the spacecraft. Indeed in LEO, the plasma can be considered highly colisional compared with the case for example of Polar Earth Orbit (PEO). The model used here consist in the Euler equations for the conservation of mass, momentum and energy plus a Poisson equation for the electrostatic potentiel and is derived in the three dimensionnal case.For the mathematical study of the model, we concentrate our attention on the one dimensionnal case to point out the main difficulties.We first consider the stationnary Euler equations coupled to the Poisson equation. The charging dynamics is then embodied into the boundary conditions where the time derivative of the potentiel appears. We present rigourous existence and unicity results together with numerical simulations. Here we only use some Dirichlet boundary conditions for the macroscopic quantities. They can be far from the ones of physical interest wich we only know at a kinetic level.That's why we next propose a numerical solution to incorporate in the simulation of the evolutive Euler equations boundary condition that come from a microscopic modeling in the small mean free path regime. THe boundary condition relies on the analysis of boundary layers formation that accounts from the fact that the incoming kinetic flux might be far from the equilibrium.

Les systèmes en interaction à longue portée sont connus pour avoir des propriétés statistiques et dynamiques particulières. Pour décrire leur évolution dynamique, on utilise des équations cinétiques décrivant leur densité dans l'espace des phases. Ce manuscrit est divisé en deux parties indépendantes. La première traite de notre collaboration avec une équipe expérimentale sur un Piège Magnéto-Optique. Ce dispositif à grand nombre d'atomes présente des interactions coulombiennes effectives provenant de la rediffusion des photons. Nous avons proposé des tests expérimentaux pour mettre en évidence l'analogue d'une longueur de Debye, et son influence sur la réponse du système. Les expériences réalisées ne permettent pour l'instant pas de conclure de façon définitive. Dans la deuxième partie, nous avons analysé les modèles cinétiques de Vlasov et de Kuramoto. Pour étudier leur dynamique de dimension infinie, nous avons examiné les bifurcations autour des états stationnaires instables, l'objectif étant d'obtenir des équations réduites décrivant la dynamique de ces états. Nous avons réalisé des développements en variété instable sur cinq systèmes différents. Ces réductions sont parsemées de singularités, mais prédisent correctement la nature de la bifurcation, que nous avons testée numériquement. Nous avons conjecturé une réduction exacte (obtenue via la forme normale Triple Zero) autour des états inhomogènes de l'équation de Vlasov. Ces résultats génériques pourraient être pertinents dans un contexte astrophysique. Les autres résultats s'appliquent aux phénomènes de synchronisation du modèle de Kuramoto pour les oscillateurs avec inertie et/ou interactions retardées. / Long-range interacting systems are known to display particular statistical and dynamical properties.To describe their dynamical evolution, we can use kinetic equations describing their density in the phase space. This PhD thesis is divided into two distinct parts. The first part concerns our collaboration with an experimental team on a Magneto-Optical Trap. The physics of this widely-used device, operating with a large number of atoms, is supposed to display effective Coulomb interactions coming from photon rescattering. We have proposed experimental tests to highlight the analog of a Debye length, and its influence on the system response. The experimental realizations do not allow yet a definitive conclusion. In the second part, we analyzed the Vlasov and Kuramoto kinetic models. To study their infinite dimensional dynamics, we looked at bifurcations around unstable steady states. The goal was to obtain reduced equations describing the dynamical evolution. We performed unstable manifold expansions on five different kinetic systems. These reductions are in general not exact and plagued by singularities, yet they predict correctly the nature and scaling of the bifurcation, which we tested numerically. We conjectured an exact dimensional reduction (obtained using the Triple Zero normal form) around the inhomogeneous states of the Vlasov equation. These results are expected to be very generic and could be relevant in an astrophysical context. Other results apply to synchronization phenomena through the Kuramoto model for oscillators with inertia and/or delayed interactions.