Le présent travail sera consacré à l'étude de la contrôlabilité et l'observabilité de l'équation des ondes ainsi qu'à l'obtention de l'observabilité uniforme du système observable discrétisé. Dans un premier temps, les notions de bases ainsi que les résultats importants sur l'observabilité et la contrôlabilité de l'équation des ondes seront donnés pour l'équation des ondes aux conditions limites de Dirichlet. Par la suite, nous étudierons la semi-discrétisation du système observable par la méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Finalement, nous tenterons d'obtenir une observabilité uniforme par rapport à la dimension de l'espace d'approximation par une méthode de filtre sur cet espace.