Appliquer un champ électrique ou un gradient de température à une solution colloïdale implique la migration des particules (soluté) en suspension. Ce déplacement n’est pas la conséquence de forces de volume comme dans le cas de la sédimentation mais de forces interfaciales agissant sur la double couche électrique présente à la surface des particules colloïdales chargées. Ces forces induisent un écoulement de surface qui à son tour engendre un champ de vitesse du fluide en 1/r³ autour des particules dans la direction opposée à leurs déplacements, où r distance au centre des particules. Dans ce travail on considère une situation différente où la suspension est confinée dans un demi-espace infini limité par une paroi rigide. Un colloïde, sous l’action d’un champ extérieur, se dépose le long de la surface rigide. Bien qu’immobile le colloïde continue de pomper le fluide environnant. Il apparaît alors un écoulement latéral le long du mur et en direction du colloïde. D’autres colloïdes insérés dans un tel écoulement subissent une force hydrodynamique de trainée à l’origine de la formation d’agrégats. De tels agrégats ont été observés aussi bien lors de déposition électrophorétique que plus récemment lors de déposition thermophorétique pour des particules micrométriques en solution aqueuse. Le champ de vitesse confiné prend une forme plus complexe que dans le cas infini : il doit satisfaire à la fois la condition limite fixée à la surface de la particule et sur le mur. Deux méthodes perturbatives, la méthode des réflexions et la méthode d’Oseen, sont utilisées pour résoudre l’équation de Stokes et trouver une solution exacte pour l’écoulement autour du colloïde confiné en puissance de e = a/h rapport du rayon de la particule sur sa distance au mur. La solution usuelle à l’ordre zéro en e donne de pauvres résultats alors que les corrections suivantes donnent de meilleurs conclusions en accord avec les récentes mesures expérimentales de potentiel hydrodynamique de paire entre colloïdes sous champ confinés le long d’un mur. / Applying a steady electric field or a constant thermal gradient to a colloidal suspension induces a finite velocity of the dispersed particles. The motion of particles is not due to a net body force like in sedimentation but to interfacial forces acting on the electric double layer at their surface. These forces involve a surface flow, which, in turn, results in a velocity field of the surrounding fluid in 1/r³ in the opposite direction of the particle displacement, with r the distance from the centre of the particle. In this work we consider a somewhat different situation, where the suspension is confined to a semi-infinite half space. The particle, under the action of the applied field, is trapped against the solid interface. Still, the creep flow remains; more precisely the particle continues to pump the fluid in the opposite direction. As a consequence there arises a lateral flow along the solid surface towards the particle. Thus others particles inserting themselves in this flow undergo drag forces and form clusters. Particles aggregation has been observed in Electrophoresis deposition and more recently in Thermophoresis deposition for micron sized polystyrene beads in aqueous solution. The total velocity field takes a form significantly more complicated than in the above mentioned unbounded cases; it must satisfy boundary conditions both at the particle surface and at the confining wall. Using the perturbative method of reflections or Oseen method based on Fourier transform we resolve the Stokes equation and find an analytic solution for the drag flow along the interface in powers of the ratio e=a/h of particle radius and wall distance. The usual solution at the zero order induces poor approximation, when following corrections in e involves better results in agreement with experimental measurements of hydrodynamic pair potential between two particles along a wall.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation et l'analyse mathématique de certains problèmes liés aux écoulements en suspension.Le premier chapitre concerne la justification du modèle de type transport-Stokes pour la sédimentation de particules sphériques dans un fluide de Stokes où l'inertie des particules est négligée et leur rotation est prise en compte. Ce travail est une extension des résultats antérieurs pour un ensemble plus général de configurations de particules.Le deuxième chapitre concerne la sédimentation d'une distribution d'amas de paires de particules dans un fluide de Stokes. Le modèle dérivé est une équation de transport-Stokes décrivant l'évolution de la position et l'orientation des amas. Nous nous intéressons par la suite au cas où l'orientation des amas est initialement corrélée aux positions. Un résultat d'existence locale et d'unicité pour le modèle dérivé est présenté.Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à la dérivation d'un modèle de type fluide-cinétique pour l'évolution d'un aérosol dans les voies respiratoires. Ce modèle prend en compte la variation du rayon des particules et leur température due à l'échange d'humidité entre l'aérosol et l'air ambiant. Les équations décrivant le mouvement de l'aérosol est une équation de type Vlasov-Navier Stokes couplée avec des équations d'advection diffusion pour l'évolution de la température et la vapeur d'eau dans l'air ambiant.Le dernier chapitre traite de l'analyse mathématique de l'équation de transport-Stokes dérivée au premier chapitre. Nous présentons un résultat d'existence et d'unicité globale pour des densités initiales de type $L^1 cap L^infty$ ayant un moment d'ordre un fini. Nous nous intéressons ensuite à des densités initiales de type fonction caractéristique d'une gouttelette et montrons un résultat d'existence locale et d'unicité d'une paramétrisation régulière de la surface de la gouttelette. Enfin nous présentons des simulations numériques montrant l'aspect instable de la gouttelette. / This thesis is devoted to the modelling and mathematical analysis of some aspects of suspension flows.The first chapter concerns the justification of the transport-Stokes equation describing the sedimentation of spherical rigid particles in a Stokes flow where particles rotation is taken into account and inertia is neglected. This work is an extension of former results for a more general set of particles configurations.The second chapter is dedicated to the sedimentation of clusters of particle pairs in a Stokes flow. The derived model is a transport-Stokes equation describing the time evolution of the position and orientation of the cluster. We also investigate the case where the orientation of the cluster is initially correlated to its position. A local existence and uniqueness result for the limit model is provided.In the third chapter, we propose a coupled fluid-kinetic model taking into accountthe radius growth of aerosol particles due to humidity in the respiratorysystem. We aim to numerically investigate the impact of hygroscopic effects onthe particle behaviour. The air flow is described by the incompressibleNavier-Stokes equations, and the aerosol by a Vlasov-type equation involving the air humidity and temperature, both quantities satisfying a convection-diffusion equation with a source term.The last chapter is dedicated to the analysis of the transport-Stokes equation derived in the first chapter. First we present a global existence and uniqueness result for $L^1cap L^infty$ initial densities with finite first moment. Secondly, we consider the case where the initial data is the characteristic function of a droplet. We present a local existence and uniqueness result for a regular parametrization of the droplet surface. Finally, we provide some numerical computations that show the regularity breakup of the droplet.

Cette thèse aborde deux thématiques différentes. On s’intéresse d’abord au développement et à l’analyse de méthodes pour le sens électrique appliqué à la robotique. On considère en particulier la méthode des réflexions permettant, à l’image de la méthode de Schwarz, de résoudre des problèmes linéaires à partir de sous-problèmes plus simples. Ces deniers sont obtenus par décomposition des frontières du problème de départ. Nous en présentons des preuves de convergence et des applications. Dans le but d’implémenter un simulateur du problème direct d’électrolocation dans un robot autonome, on s’intéresse également à une méthode de bases réduites pour obtenir des algorithmes peu coûteux en temps et en place mémoire. La seconde thématique traite d’un problème inverse dans le domaine de la chimie quantique. Nous cherchons ici à déterminer les caractéristiques d’un système quantique. Celui-ci est éclairé par un champ laser connu et fixé. Dans ce cadre, les données du problème inverse sont les états avant et après éclairage. Un résultat d’existence locale est présenté, ainsi que des méthodes de résolution numériques. / This thesis tackle two different topics.We first design and analyze algorithms related to the electrical sense for applications in robotics. We consider in particular the method of reflections, which allows, like the Schwartz method, to solve linear problems using simpler sub-problems. These ones are obtained by decomposing the boundaries of the original problem. We give proofs of convergence and applications. In order to implement an electrolocation simulator of the direct problem in an autonomous robot, we build a reduced basis method devoted to electrolocation problems. In this way, we obtain algorithms which satisfy the constraints of limited memory and time resources. The second topic is an inverse problem in quantum chemistry. Here, we want to determine some features of a quantum system. To this aim, the system is ligthed by a known and fixed Laser field. In this framework, the data of the inverse problem are the states before and after the Laser lighting. A local existence result is given, together with numerical methods for the solving.