The present paper is related to the problem of approximating the exact solution to the magnetohydrodynamic equations (MHD). The behaviour of a viscous, incompressible and resistive fluid is exemined for a long period of time. Contents: 1 The magnetohydrodynamic equations 2 Notations and precise functional setting of the problem 3 Existence, uniqueness and regularity results 4 Statement and Proof of the main theorem 5 The approximate inertial manifold 6 Summary

Fundação de Apoio a Pesquisa e à Inovação Tecnológica do Estado de Sergipe - FAPITEC/SE / In this work, we study blow-up results in finite time for the solution (u, b)(·, t) (defined in [0, T∗)), as well as for their spacial derivatives, of the Magnetohydrodynamic (MHD) system. These results are obtained by extending some statements found in the literature for the classical Navier- Stokes equations. In order to cite an example, we prove that k(u, b)(·, t)kq explodes at a rate (T∗ − t)−q−3 2q , for all t ∈ [0, T∗) and 3 < q < ∞. In addition, we prove some sufficient conditions for the existence of global solution (in time) for the Navier-Stokes and MHD equations. Finally, we generalize some results established from the MHD equations, involving Sobolev Spaces Homogeneous, to the Magneto-micropolar system. More precisely, we show that if the solution (u,w, b)(·, t) presents blow-up in T∗ < ∞, then k(u,w, b)(·, t)k ˙H sk(u,w, b)(·, t)k 2s 1+2 −1 2 ≥ C(T∗ − t) s 1+2 , for all t ∈ [0, T∗), where δ ∈ (0, 1) and s ≥ 1 2 + δ. / Neste trabalho, discutimos inicialmente resultados de explos˜ao no tempo T∗ < ∞ para a solução (u, b)(·, t) (definida em [0, T∗)), como tamb´em para as suas derivadas, do sistema Magnetohidrodinâmico (MHD). Estes foram obtidos por uma extensão de resultados similares encontrados para as clássicas equações de Navier-Stokes. Em ordem a citarmos um exemplo, provamos que k(u, b)(·, t)kq explode a uma taxa (T∗ − t)−q−3 2q , para todo t ∈ [0, T∗) e 3 < q < ∞. Em seguida, avaliamos algumas condições suficientes para a existência de solução global no tempo para as equações de Navier-Stokes e MHD. Por fim, generalizamos observações de explosão, também em tempo finito, da solução das equações MHD, envolvendo espaços de Sobolev Homogêneos, para o sistema Magneto-micropolar. Mais precisamente, provamos que se a solução (u,w, b)(·, t) apresenta explosão em T∗ < ∞, então k(u,w, b)(·, t)k ˙Hsk(u,w, b)(·, t)k 2s1+2 −1 2 ´e limitado inferiormente por C(T∗ − t) s 1+2 , para todo t ∈ [0, T∗), se δ ∈ (0, 1) e s ≥ 1 2 + δ.