Vi innfører klassen av kvasikonforme avbildninger i det komplekse planet, og viser en rekke fundamentale egenskaper ved disse. Herunder den målbare avbildningssatsen. Heretter anvendes disse resultatene til å vise klassifikasjonssetningen for fikserte fatoukomponenter i sin optimale form. Det vil si, vi viser riktigheten av Fatous formodning om vandrende komponenter, og eksistens av siegeldisker og hermanringer. Fokus i bevisførelsen er på anvendelser av kvasikonforme avbildninger.

Oppgaven handler om fouriertransformasjon av generaliserte funksjoner, med spesiell vekt på fouriertransformasjon av hyperfunksjoner. Transformasjonen på hyperfunksjoner er deretter sammenlignet med Carlemans fouriertransform, som er en av de tidlige generaliseringene av den klassiske fouriertransformen. Det er vist at begge transformene er symmetriske, det vil si at invers fouriertransform er også definert på samme rom. Videre vises det at begge transformene generaliserer både den klassiske fouriertransformen og Schwartz' fouriertransform av distribusjoner med kompakt support.

Vi har i denne masteroppgaven sett på Koszul-algebraer. Vi har definert Koszul-algebraer som graderte algebraer hvor de simple modulene har en lineær gradert projektiv oppløsning, og vi har bevist forskjellige karakteriseringer av Koszul-algebraer. Vi har bevist at alle Koszul-algebraer er kvadratiske algebraer, og at Yoneda-algebraen til en Koszul-algebra selv er en Koszul-algebra. Vi har sett at alle monomielle kvadratiske algebraer er Koszul-algebraer, og at en algebra som har en kvadratisk Gröbnerbasis er en Koszul-algebra. Tilslutt har vi sett at algebraer på formen kQ/(f), hvor f er kvadratisk, vil være Koszul-algebraer. Vi har for to klasser av kvadratiske algebraer talt hvor mange av algebraene som var Koszul-algebraer. Det ene klassen av algebraer besto av bare Koszul-algebraer, mens for den andre klassen av algebraer så vi at ca 25% algebraene ikke var Koszul-algebraer.

Masteroppgaven er innen algebra, nærmere bestemt Koszul-teori for algebraer. Koszul-algebraer, ble først definert av Priddy, har en sentral rolle innen algebra, geometri og topologi. Projektive moduler er viktige for å finne invarianter av moduler og ringer, både for kommutative og ikke-kommutative ringer. Over Koszul-algebraer er det en stor klasse av moduler som har projektive oppløsninger med en fin lineær struktur. I tillegg er det kjent at alle Koszul-algebraer er kvadratiske algebraer, men det er ikke kjent en metode for å avgjøre når en kvadratisk algebra er Koszul eller ikke. Denne masteroppgaven vil gi en innføring i teorien for Koszul-algebraer, og spesielt undersøke kvadratiske algebraer over endelige kropper. Over endelige kropper så finnes det bare endelig mange kvadratiske algebraer. For konkrete eksempler så ønsker en å finne hvor mange av de kvadratiske algebraer som er Koszul og i tillegg undersøke isomorfi-klassene av disse.

Del 1 er en innføring i kommutative og ikke-kommutative Gröbnerbasiser. Sentrale resultater og noen anvendelser. Del 2 handler om algoritmer. For kommutative Gröbnerbasiser ser vi på forbedringer av Buchbergers algoritme, samt F4 og F5. Vi gjør ikke-kommutative "oversettelser" av de to første.I del 3 ser vi på Polly Cracker-kryptosystemer, som er offentlig nøkkel-kryptosystemer basert på Gröbnerbasiser. Vi tar for oss flere av de kommutative variantene og den ikke-kommutative versjonen hvis sikkerhet bygger på idealer med uendelig Gröbnerbasis.

This thesis will give an introduction to the concepts of cellular automata and higher order cellular automata, and go through several examples of both. Cellular automata are discrete systems of cells in an n-dimensional grid. The cells interact with each other through the use of a rule depending only on local characteristics, which lead to some global behaviour. Higher order cellular automata are hierarchical structures of cellular automata with added possibilities for dynamic local interaction. We first give an introduction for non-mathematicians. A mathematical definition of cellular automata follows, and we illustrate the many possibilities with a few examples. Higher order cellular automata are introduced and defined, and we look at the consequences higher order cellular automata has on optimization of computer implementations. Finally we apply higher order structures to some of the examples, and study the effects.

.

Let R be a connected selfinjective Artin algebra. We prove that any almost split sequence ending at an Omega-perfect R-module of finite complexity has at most four non-projective summands in a chosen decomposition of the middle term into indecomposable modules. Moreover, we show that a chosen decomposition into indecomposable modules of the middle term of an almost split sequence ending at an R-module of complexity 1 lying in a regular component of the Auslander-Reiten quiver has at most two summands. Furthermore, we prove that the regular component is of type ZA_{infinity} or ZA_{infinity}/<tau^n>. We use this to study modules with eventually constant and eventually periodic Betti numbers.

We have in this thesis looked at possible improvements with respect to security for the Norwegian Internet voting protocol. We have made a new protocol with independent secret keys, where all the encryptions of the votes are done by the voter's computer. We have also made two Special-Honest-Verifier-Zero-Knowledge Arguments of Knowledge for proving permutation and decryption of ElGamal ciphertexts, useful for the decryption service.

We show how to find quotients of path algebras isomorphic to tensor products, triangular matrix algebras and trivial extensions.