Svenska skolan digitaliseras allt mer och det medför ett behov av ytterligare forskning kring området. En aspekt som hittills fått ett litet utrymme är lärares roll i sammanhanget. Den här fallstudien vilar därför på tre intervjuade lärares berättelser om hur de använder digitala spel i matematikundervisningen. Syftet med studien är att genom att studera hur kompetensen hos lärare kan ta sig uttryck, ge andra lärare inspiration till att använda digitala spel i sin undervisning. Två perspektiv har antagits för att synliggöra kompetensen inom området. Den ena utgångspunkten är spelen och hur de används. Den andra utgångspunkten är undervisningen och hur den har påverkats. Resultaten visar att en stor del av användandet är ren färdighetsträning, men lärarna hittar även sätt som tar undervisningen ett steg längre och därmed rättfärdigar användandet av digitala spel i deras verksamhet. / Swedish school becomes increasingly digitized and that causes a need for further research on the subject. One aspect that so far has received little attention is the teacher's role. This case study is therefor based on three interviewed teachers’ stories telling how they use digital games in the mathematics education. The purpose of the study is that by studying how the teachers’ competence can appear, give inspiration for other teachers to use digital games in their teaching.Two perspectives have been adopted to detect their competencies in the field. One point of view has been the games and how they are used. The other point of view has been the education and how it has been influenced. Results show that a large part of the usage is pure routine exercises, but the teachers can also find ways to take education one step further and thus justifies the use of digital games in their practice.

Syftet med den här studien är att sammanställa och problematisera forskning kring hur eye-tracking som metod kan användas för att synliggöra elevers förståelse för matematik. Eye-tracking är en metod där människors ögonrörelser studeras för att undersöka den visuella uppmärksamheten utifrån fixeringar och sackader. En eye-tracker är en apparat som används för att mäta ögonrörelser.  Studiernas undersökningar utgår från en hypotes om att det finns ett samband mellan ögonrörelser och kognitiva processer. Sammanställningen har sitt ursprung i en litteraturstudie där artiklar har funnits genom sökningar i olika databaser. Tolv vetenskapliga studier valdes ut baserat på inklusions- och exklusionskriterier, och analyserades i detalj. Dessa studier pekar på att eye-tracking kan visa skillnader mellan vilka strategier eleverna använder, skillnader mellan hög- och lågpresterande elever samt skillnader i kognitiv belastning. Studierna visar också att det finns flera möjligheter med eye-tracking som metod men lyfter också fram begränsningar. En möjlighet är att eye-tracking i vissa fall är mer objektiv än andra metoder och en annan är att eye-tracking kan visa strategier som eleven själv inte kan verbalisera. Begränsningar är att den kognitiva uppmärksamheten inte alltid stämmer överens med deltagarens visuella fokus samt att resultatet kan vara svårt att urskilja vid emotionella reaktioner.  Eye-tracking jämförs ofta med olika sorters intervjuer och flera studier förespråkar att kombinera eye-tracking med andra metoder för att samla in kompletterande data. I slutet av texten lyfts de etiska dilemman fram som kan uppstå vid eye-tracking.

Denna litteraturstudie redogör för undervisningsmetoder i matematik på yrkesförberedande program. Undervisningsmetoderna diskuteras dels utifrån hinder i relation till metoderna och dels utifrån grad av generaliserbarhet och således möjlighet att direkt tillämpa dem på olika yrkesförberedande program. De undervisningsmetoder vilka lokaliseras ur forskningslitteratur utgörs av icke-ämnesintegrerade metoder och ämnesintegrerade metoder. De icke-ämnesintegrerade metoderna utgörs bland annat av individuellt arbete i matematikbok med generella uppgifter samt undervisning via digitala läromedel där integrering mellan matematik och yrkesämnen har liten eller ingen roll. De ämnesintegrerade undervisningsmetoderna utgörs av matematikuppgifter med yrkeskontext, yrkeslektioner med matematiska inslag, arbete med matematikuppgifter vid praktik, undervisning av matematik i karaktärsinriktad miljö, yrkesautentiska uppgifter samt ämnesövergripande undervisning.   I relation till dessa undervisningsmetoder återges fyra större hinder. Dessa hinder är motivationshämmande val av undervisningsmetod, kompetensbrist hos yrkes- eller matematiklärare i matematik- respektive yrkesämnet, bristande lärarsamarbete samt resursbegränsningar / This literature study describes teaching methods in mathematics in vocational education. The teaching methods are discussed partly based on obstacles in relation to the methods, and partly on the degree of generalizability and thus the possibility of directly applying them onto different vocational education programs. The teaching methods which can be found in research literature consist of non-subject integrated methods and subject integrated methods. The non-subject integrated methods are for example individual work in a mathematics book with general tasks and teaching via digital teaching materials where integration between mathematics and vocational subjects has little or no role. The subject integrated methods are mathematical tasks with vocational context, vocational lessons with mathematical elements, work on mathematical tasks in internship, teaching of mathematics in vocational-oriented environment, vocational authentic tasks and interdisciplinary teaching.   In relation to these teaching methods, four major obstacles are presented. These obstacles are motivation-inhibiting choice of teaching method, vocational or mathematics teachers lack competence in either mathematics or vocational subjects, lack of teacher collaboration and resource limitations.

Detta arbete undersöker hur elever ställer sig till teoriavsnitt i tryckt respektive inspelat format. Vad väljer de helst och vet lärare vad eleverna föredrar? Dessa frågor har besvarats med hjälp av en enkätundersökning för 161 elever och åtta lärare från två kommunala skolor. Dessutom analyseras ekvationslösningsavsnitten i några av de läromedel, som används av eleverna, för att jämföra elevönskemål med didaktisk forskning. Analysen utgår ifrån ett ramverk centrerat kring tre framgångsfaktorer för lärande − språk, representationsformer och verklighetsanknytning. Resultaten visar att eleverna föredrar inspelade föreläsningar i matematik framför teoriavsnitt i läroböcker. Anledningar som anges är många. Vissa ser fördelen med att få en andra “lärarledd” genomgång, medan andra upplever att filmerna erbjuder omväxling, stöttar personer med läs- eller koncentrationssvårigheter och använder bilder på ett förtjänstfullt sätt. Majoriteten av lärarna antog att eleverna föredrog inspelade föreläsningar. Skillnader mellan teoriavsnitt i text och inspelade föreläsningar kunde identifieras för samtliga framgångsfaktorer som nämns i den tidigare forskningen. Språk och representationsformer var dock faktorerna som utgjorde den gemensamma nämnaren för didaktikforskningen och elevönskemålen. För att eleverna lättare ska hitta material av hög kvalitet, bör den undervisande läraren rekommendera lämpliga filmklipp, så att elevers självstudier kan underlättas och få bättre effekt.

We study aspects of the multivalued complex root function and considerthree different ways to construct topological spaces where it becomes singlevalued.For each topological space created, we show that there exists homeomorphismsto the unit sphere. A generalisation is given (Theorem 6.1.4)which can be used to create new domains to multivalued inverses for continuousfunctions. We compare the different ways to create the domains astopological spaces together with their single-valued functions.

Ålö AB is a global company specialized in the manufacturing of front loaders for tractors with over 50 horsepower. Ålö is world-leading in their sector with factories in four countries on three continents with eleven sales companies around the globe. Even though it is an extremely global company with a presence on a majority of continents they employ less than 1,000 people. This results in limited resources to maintain very large international supply chains that typically are managed by companies several times the size of Ålö. Today Ålö is using a service called third party logistics which means they have outsourced their warehousing to an external company called Logex. Ålö pays Logex a monthly fee to maintain the warehouse and to have suppliers deliver directly to them. Logex then ships only the material needed in production three times a day to Ålö’s factory located in Brännland just outside of Umeå. Now, Ålö has identified a potential cost-saving opportunity by insourcing the warehouse to the factory. Although, to be able to complete the insourcing, Ålö must reduce and optimize the warehouse size because there is limited floor space inside the factory. The purpose of this master’s thesis is to create a simulation model and apply a new formula for safety stock calculations. With the help of the simulation model, changes to safety stock levels can be evaluated and ensure they do not negatively impact the production. The simulation model will simulate the production of the new Quicke Series loader model. The model is coded in Visual Basic for Applications and executed in Excel. To make the model as accurate as possible, data on the number of loaders created, variation of models, deliveries, wrong deliveries, delays, production errors, quality errors and standard deviations on demand and deliveries have been collected and compiled. All of the variables above and those unlisted, can be adjusted to alter the results of the simulation. The purpose for this is so that the model can be used in the future, and that radical changes can be simulated and evaluated to help inform production change decisions. The results from the simulation show great potential for warehouse reduction. When results from the simulation are compared to the historic data of stock levels for various articles, some articles indicate up to a 90% level stock reduction without impact on production. The simulation model also show where stock levels should be increased. For articles that are plagued with delivery and production problems from a supplier, the simulation indicates that higher stock levels are needed. Overall the results from the simulation shows an average stock level reduction of 51%. / Ålö AB är ett globalt företag inom tillverkning av frontlastare till traktorer med mer än 50 hästkrafter. Det är världsledande inom sin bransch med fabriker i fyra länder på tre kontinenter samt elva säljföretag över hela världen. Trots detta har Ålö mindre än 1000 anställda inom hela koncernen. Detta medför att det finns begränsade resurser att tillhandahålla stora leveransflöden som sträcker sig över hela världen och som vanligtvis används av företag flera gånger större än Ålö i storlek. Ålö använder sig i dag av ett externt företag som sköter deras lagerhållning en bit ifrån fabriken i Brännland utanför Umeå. Nu har Ålö identifierat en potentiell kostnadsbesparing genom att inscourcea lagerhållning till fabriken i Brännland. Men för att göra detta kommer det krävas att se över lagernivåerna då det råder begränsad yta att lagerhålla material vid fabriken. Syftet med det här examensarbetet är att skapa en simuleringsmodell som kan simulera produktionen i fabriken och ta fram en ny formel för säkerhetslager. Med hjälp av denna modell ska formeln för säkerhetslager valideras och utvärderas samt att lagernivåerna ska reduceras utan att påverka produktionen negativt. Den simuleringsmodell som är framtagen inom examensarbetets ram simulerar produktionen av den nya lastarmodellen Quicke Series. Modellen är skriven i Visual Basic for Applications och exekveras i Excel. I simuleringen ska produktionen efterliknas på bästa möjliga sätt. Med det menas att antalet lastare, variationer på modeller, leveranser, förseningar, fellevererat, produktionsfel, kvalitetsfel och standardavvikelser på efterfrågan samt ledtider ska vara så lik verkligheten som möjligt. Tanken med simuleringsmodellen är att man ska kunna utvärdera hur en förändring av olika slag kan påverka produktionen och se utfallet av en förändring även om flertalet parametrar förändras. En förändring av en parameter kan vara allt från leverantörsbyten, förändring av säkerhetslagernivåer, förändring av ledtider eller införandet av nya lastarmodeller. Resultatet visar att det finns en stor potential att kunna minska nuvarande lager. Om resultatet från modellen jämförs med det historiska lagersaldot för olika artiklar är det möjligt att minska lagret med upp till 90%. Resultat från simuleringsmodellen visar att även för de så kallade problemartiklarna som leverantörer har problem att leverera till Ålö så ska lagernivåerna ökas, vilket validerar modellens tillförlitlighet.

A semigroup of sets is a family of sets closed under finite unions. This thesis focuses on the search of semigroups of sets in finite dimensional Euclidean spaces Rn, n ≥ 1, which elements do not possess the Baire property, and on the study of their properties. Recall that the family of sets having the Baire property in the real line R, is a σ-algebra of sets, which includes both meager and open subsets of R. However, there are subsets of R which do not belong to the algebra. For example, each classical Vitali set on R does not have the Baire property. It has been shown by Chatyrko that the family of all finite unions of Vitali sets on the real line, as well as its natural extensions by the collection of meager sets, are (invariant under translations of R) semigroups of sets which elements do not possess the Baire property. Using analogues of Vitali sets, when the group 𝒬 of rationals in the Vitali construction is replaced by any countable dense subgroup 𝒬 of reals, (we call the sets Vitali 𝒬-selectors of R) and Chatyrko’s method, we produce semigroups of sets on R related to 𝒬, which consist of sets without the Baire property and which are invariant under translations of R. Furthermore, we study the relationship in the sense of inclusion between the semigroups related to different 𝒬. From here, we define a supersemigroup of sets based on all Vitali selectors of R. The defined supersemigroup also consists of sets without the Baire property and is invariant under translations of R. Then we extend and generalize the results from the real line to the finite-dimensional Euclidean spaces Rn, n ≥ 2, and indicate the difference between the cases n = 1 and n ≥ 2. Additionally, we show how the covering dimension can be used in defining diverse semigroups of sets without the Baire property.

Modern portfolio theory is about determining how to distribute capital among available securities such that, for a given level of risk, the expected return is maximized, or for a given level of return, the associated risk is minimized. In the pioneering work of Markowitz in 1952, variance was used as a measure of risk, which gave rise to the wellknown mean-variance portfolio optimization model. Although other mean-risk models have been proposed in the literature, the mean-variance model continues to be the backbone of modern portfolio theory and it is still commonly applied. The scope of this thesis is a solution technique for the mean-variance model in which eigendecomposition of the covariance matrix is performed. The first part of the thesis is a review of the mean-risk models that have been suggested in the literature. For each of them, the properties of the model are discussed and the solution methods are presented, as well as some insight into possible areas of future research. The second part of the thesis is two research papers. In the first of these, a solution technique for solving the mean-variance problem is proposed. This technique involves making an eigendecomposition of the covariance matrix and solving an approximate problem that includes only relatively few eigenvalues and corresponding eigenvectors. The method gives strong bounds on the exact solution in a reasonable amount of computing time, and can thus be used to solve large-scale mean-variance problems. The second paper studies the mean-variance model with cardinality constraints, that is, with a restricted number of securities included in the portfolio, and the solution technique from the first paper is extended to solve such problems. Near-optimal solutions to large-scale cardinality constrained mean-variance portfolio optimization problems are obtained within a reasonable amount of computing time, compared to the time required by a commercial general-purpose solver.

This thesis consists of two papers within two different areas of  combinatorics. Ramsey theory is a classic topic in graph theory, and Paper A deals with two of its most fundamental problems: to compute Ramsey numbers and to characterise critical graphs. More precisely, we study generalised Ramsey numbers for two sets Γ1 and Γ2 of cycles. We determine, in particular, all generalised Ramsey numbers R(Γ1, Γ2) such that Γ1 or Γ2 contains a cycle of length at most 6, or the shortest cycle in each set is even. This generalises previous results of Erdös, Faudree, Rosta, Rousseau, and Schelp. Furthermore, we give a conjecture for the general case. We also characterise many (Γ1, Γ2)-critical graphs. As special cases, we obtain complete characterisations of all (Cn,C3)-critical graphs for n ≥ 5, and all (Cn,C5)-critical graphs for n ≥ 6. In Paper B, we study the combinatorics of certain partially ordered sets. These posets are unions of conjugacy classes of involutions in the symmetric group Sn, with the order induced by the Bruhat order on Sn. We obtain a complete characterisation of the posets that are graded. In particular, we prove that the set of involutions with exactly one fixed point is graded, which settles a conjecture of Hultman in the affirmative. When the posets are graded, we give their rank functions. We also give a short, new proof of the EL-shellability of the set of fixed-point-free involutions, recently proved by Can, Cherniavsky, and Twelbeck.

Målet med den här studien har varit att genom en enkät och intervjuer undersöka verksamma lärares och en skolledares synsätt och uppfattningar kring arbetet med särskilt begåvade elever inom matematiken. Det skulle besvaras med hjälp av tre frågeställningar: Vilka sätt eleverna identifieras; Hur stöd och stimulering ges; Vilket organisatoriskt stöd lärarna får eller saknar. Resultatet har visat att informanterna arbetar relativt lika i arbetet med att identifiera och stimulera eleverna som är särskilt begåvade. En varierad undervisning är viktig för att identifiera eleverna, men även för att ge stöd och stimulera eleverna i deras utveckling. Med en varierad undervisning finns det fler möjligheter för eleverna att identifieras då de elever som upplever uppgifter med standardlösningar tråkiga får andra sätt att delta. Problemlösning är ett sätt att variera undervisningen, de uppgifterna går ofta att förändra efter elevernas nivå. Samarbete är en framgångsfaktor för att identifiera, ge stöd och stimulera eleverna. Att identifiera eleverna med hjälp av hemmet är positivt och ett samarbete med hemmen är viktiga i skolan. Om en lärare får information överlämnad från en annan lärare är det viktigt att hen inte endast tittar på den informationen utan även gör en egen bedömning av elevernas förmåga. Nivågruppering är positivt, eleverna i denna studie har även möjlighet att gå till en annan klass och några informanter använder sig av flexibel skola. Mycket av det stöd som informanterna beskriver är organisatoriskt stöd, t.ex. att schemalägga lektioner samtidigt. Informanterna upplever att de får bra stöd från kollegor och ledning medan stöd från kommunen inte är lika bra. Det stöd som efterfrågas är stöd som kräver en större budget, något som den enskilda skolan inte kan påverka speciellt mycket.