This thesis deals with the following question: are there more eigenfunctions, other than the already known eigenfunctions, of the spin chain with elliptic interactions known as the Inozemtsev spin chain? The Inozemtsev spin chain interpolates between two quantum integrable spin chains, theHeisenberg spin chain and the Haldane-Shastry spin chain. Therefore it is interesting to explore eigenfunctions of the Inozemtsev spin chain in greater detail. Moreover, there exists connections between spin chains and their corresponding spinless continuum model, namely theCalogero-Sutherland models; a derivation of the connection between the Haldane-Shastry spin chain and the trigonometric interacting Calogero-Sutherland model is presented in this thesis. These connections state that the eigenfunctions of the Calogero-Sutherland model are also eigenfunctionsof the corresponding spin chain. An established connection between the Inozemtsev spin chain and the elliptic interacting Calogero-Sutherland model yields exact eigenfunctions with simple poles at coinciding arguments of the Inozemtsev spin chain. However, there are eigenfunctions of theelliptic Calogero-Sutherland model with second order zeros instead of simple poles at coinciding arguments. It is therefore interesting to see if a connection exists that relates the eigenfunctions of the elliptic Calogero-Sutherland model with second order zeros to eigenfunctionsof the Inozemtsev spin chain also with second order zeros. The main goal of this thesis is to explore eigenfunctions of the Inozemtsev spin chain with second order zeros for two magnons. This thesis uses analytical methods for finding these eigenfunctions and numerical methods have beenresorted to in the end. The numerical results indicate that the functions explored in this thesis fail to parametrise the eigenfunctions of the Inozemtsev spin chain, except for a few special cases. / Den här avhandlingen behandlar följande frågeställning: finns det fler egenfunktioner än de redan kända till spinnkedjan med elliptisk växelverkan känd som Inozemtsevs spinnkedja? Inozemtsevs spinnkedja interpolerar mellan Heisenbergs spinnkedja och Haldane-Shastrys spinnkedja som båda ärkvant-integrerbara. Därför är det intressant att vidare utforska egenfunktionerna hos Inozemtsevs spinnkedja. Det finns kopplingar mellan spinnkedjor och spinnfria en-dimensionella kontinuumsystem, nämligen Calogero-Sutherlands system; en sådan koppling mellan Haldane-Shastrysspinnkedja och Calogero-Sutherlands modell med trigonometrisk växelverkan härleds i denna avhandling. Dessa kopplingar konstaterar att egenfunktionerna för Calogero-Sutherland systemet är egenfunktioner för spinnkedjan också. En koppling existerar mellan Calogero-Sutherland modellen med elliptisk växelverkan och Inozemtsevs spinnkedja vilket ger exakta egenfunktioner hos Inozemtsevs modell med enkla poler vid sammanfallande argument. Däremot existerar det egenfunktioner till Calogero-Sutherland modellen med elliptisk växelverkan med andra ordningens nollor vid sammanfallande argument istället för enkla poler. Det är därför intressant att undersöka om det existerar en koppling mellan dessa två system med egenfunktioner med andra ordningens nollor; det här skulle då ge exakta egenfunktioner till Inozemtsevs spinnkedja med andra ordningens nollor. Detta är huvudsyftet med avhandlingen. Egenfunktioner med andra ordningens nollor för två magnoner undersöks. Avhandlingen använder sig av analytisk metod och har prövats med numeriska metoder. De numeriska resultaten indikerar att de undersökta funktionerna i denna avhandling misslyckas med att parametrisera egenfunktionerna till Inozemtsevs spinnkedja förutom vissa specifika fall.

The Gross-Neveu model is a quantum field theory of interacting N-flavor fermions in 1+1dimensions, with interaction term $(\bar{\psi}_f\psi_f )^2$. This model is studied using the property offactorized scattering. The spectrum of bound states including the kinks are discussed andthe thermodynamic state equations are derived using the thermodynamic Bethe ansatz.The full particle-particle integral kernel and corresponding S-matrix is derived startingfrom the Gross-Neveu version of the Y -system introduced by Zamolodchikov. / Gross-Neveu-modellen är en kvantfältteori som beskriver N identiska versioner av fundamentala fermioner i 1 + 1 dimensioner, växelverkande med potentialen $(\bar{\psi}_f\psi_f )^2$. Modellen studeras med utgångspunkt i partiklarnas så kallade faktoriserade spridning. Samtligafysikaliska bundna tillstånd inklusive solitonerna diskuteras och de termodynamiska tillståndsekvationerna härleds med hjälp av Bethe-ansatsen. Alla integralkärnor och motsvarande S-matriselement beräknas på sluten form utifrån Y-systemet som först beskrevs av Zamolodchikov.

The work of this Ph.D. thesis in mathematics concerns the problem of determining existence, uniqueness, and structure of zero-energy states in supersymmetric matrix models, which arise from a quantum mechanical description of the physics of relativistic membranes, reduced Yang-Mills gauge theory, and of nonperturbative features of string theory, respectively M-theory. Several new approaches to this problem are introduced and considered in the course of seven scientific papers, including: construction by recursive methods (Papers A and D), deformations and alternative models (Papers B and C), averaging with respect to symmetries (Paper E), and weighted supersymmetry and index theory (Papers F and G). The mathematical tools used and developed for these approaches include Clifford algebras and associated representation theory, structure of supersymmetric quantum mechanics, as well as spectral theory of (matrix-) Schrödinger operators. / QC20100629

We consider integrable boundary states in the Heisenberg model. We begin by reviewing the algebraic Bethe Ansatz as well as integrable boundary states in spin chains. Then a new class of integrable states that was introduced last year by Caetano and Komatsu is described and expanded. We call these states the crosscap states. In these states each spin is entangled with its antipodal spin. We present a novel proof of the integrability of both a crosscap state that is known in the literature and one that is not previously known. We then use the machinery of the algebraic Bethe Ansatz to derive the overlaps between the crosscap states and off-shell Bethe states in terms of scalar products and other known overlaps. / Vi undersöker integrable gränstillstånd i Heisenbergmodellen. Vi börjar med att gå igenom den algebraiska Betheansatsen och integrabla gränstillstånd i spinnkedjor. Sedan beskrivs och expanderas en ny klass av integrabla tillstånd som introducerades förra året av Caetano och Komatsu. Vi kallar dessa tillstånd crosscap-tillstånd. I dessa tillstånd är varje spinn intrasslat med sin antipodala motsvarighet. Vidare presenterar vi ett nytt bevis av integrerbarheten hos både ett tidigare känt och ett nytt crosscap-tillstånd. Sedan använder vi den algebraiska Betheansatsens maskineri för att härleda överlappen mellan crosscap-tillstånden och off-shell Bethe tillstånd i termer av skalärprodukter och andra kända överlapp.

The Standard Model of Elementary Particle Physics (SM) is the present theoryfor the elementary particles and their interactions and is a well-established theorywithin the physics community. The SM is a combination of Quantum Chromodynamics(QCD) and the Glashow{Weinberg{Salam (GWS) electroweak model. QCDis a theory for the strong force, whereas the GWS electroweak model is a theoryfor the weak and electromagnetic forces. This means that the SM describes allfundamental forces in Nature, except for the gravitational force. However, the SMis not a nal theory and some of its problems will be discussed in this thesis.In the rst part of this thesis, several properties of baryons are studied suchas spin structure, spin polarizations, magnetic moments, weak form factors, andnucleon quark sea isospin asymmetries, using the chiral quark model (QM). TheQM is an eective chiral eld theory developed to describe low energy phenomena of baryons, since perturbative QCD is not applicable at low energies. The resultsof the QM are in good agreement with experimental data.The second part of the thesis is devoted to the concept of quantum mechanicalneutrino oscillations. Neutrino oscillations can, however, not occur within the GWSelectroweak model. Thus, this model has to be extended in some way. All studiesincluding neutrino oscillation are done within three avor neutrino oscillationmodels. Both vacuum and matter neutrino oscillations are considered. Especially,global ts to all data of candidates for neutrino oscillations are presented and alsoan analytical formalism for matter enhanced three avor neutrino oscillations usingtime evolution operators is derived. Furthermore, investigations of matter eectswhen neutrinos traverse the Earth are included.The thesis begins with an introductory review of the QM and neutrino oscillationsand ends with the research results, which are given in the nine accompanyingscientic articles. / QC 20100616

The discoveries in applications of chirality in various areas of science seem to never cease to emerge. Chirality, being the property that some objects are geometrically distinguishable from their mirror image, is a tiny difference of vast importance. The fact that multiple biological structures are chiral is what permits life on Earth and its discovery had a severe impact on medical development. When the concept of quantum chirality was introduced, the connection between the chiral symmetry and the quantum states and operators that characterize quantum chirality was not particularly clear. It was shown that closed spin chains of an odd number of spins naturally had chiral states as eigenstates of a Hamiltonian describing Heisenberg and Dzyaloshinsky-Moriya (DM) interactions, and the symmetry of the system in direct relation to the chiral symmetry of the eigenstates quickly became of interest. The aim of this thesis is therefore to explore how quantum chirality is a chiral symmetry and to develop a scheme to create chiral states from systems that lack the required symmetry. The investigation showed that discretized probability current gives a good explanation to why the chiral states follow a chiral nature, but further examination is required in order to generalize a deeper connection between the probability current and the chiral states of spin chains. The results also indicated that it was possible to force open spin chains into purely chiral states, and into superpositions thereof, by time evolution. The scheme is still in its early stage and physical implementation and applications are yet to be explored. / Upptäckterna av tillämpningar av kiralitet inom ett flertal områden verkar ständigt öka i omfattning. Kiralitet är fenomenet att vissa objekt geometriskt kan särskiljas från sin spegelbild, vilket är en ringa skillnad men med väsentlig innebörd. Det faktum att flertalet biologiska strukturer är kirala är en förutsättning för liv på jorden och upptäckten av detta har haft en omfattande betydelse för medicinsk utveckling. När konceptet kvantkiralitet introducerades, var kopplingen mellan den kirala symmetrin och de kvantmekaniska tillstånden och operatorerna som utgör kvantkiralitet, inte trivial. Tidigare studier har visat att stängda spinnkedjor av ett udda antal spinn naturligt har kirala tillstånd som egentillstånd till en Hamiltonian beskrivande Heisenberg- och Dzyaloshinsky-Moriyainteraktioner. Att systemets symmetri stod i direkt relation till den kirala symmetrin av egentillstånden blev tidigt av intresse att undersöka. Syftet med denna kandidatuppsats är således att utforska en djupare förståelse till hur kvantkiralitet är en kiral symmetri samt utveckla en metod för hur kirala tillstånd kan drivas till att uppstå ur system som saknar den nödvändiga symmetrin. Resultaten visade att den diskretiserade sannolikhetsströmmen ger en god förklaring till varför de kirala tillstånden följer en kiral natur, men vidare efterforskning behövs för att kunna generalisera en djupare koppling mellan sannolikhetsströmmen och de kirala tillstånden hos spinnkedjor. Undersökningen indikerade också att det var möjligt att forcera en öppen spinnkedja till ett kiralt tillstånd, och till superpositioner därav, genom tidsutveckling. Metoden är fortfarande i sin tidiga utveckling och fysisk implementering samt tillämpningar väntar ännu på att upptäckas.