Nous étudions la transition de phase survenant dans le gaz de Bose pour des systèmes sans invariance par translation. Bien qu'il soit prouvé depuis les années 60 que la condensation de Bose Einstein (CBE) est absente des systèmes invariants par translation en dimension 1 ou 2, on peut néanmoins déclencher cette transition de phase dans des gaz de Bose en faible dimension en ajoutant un potentiel externe approprié (et par conséquent, en perdant l'invariance par translation). Cependant, le condensat ainsi obtenu se trouve dans des états localisés, alors que la CBE est généralement comprise comme l'occupation macroscopique d'états cinétiques étendus. Il n'est pas à priori évident que cette transition de phase obtenue grace à la localisation est de la même nature que celle reliée au concept habituel de CBE. Dans cette thèse, nous considérons deux classes de systèmes localisés. La première est une famille de modèles aléatoires, pour lesquels le gaz de Bose est contenu dans un milieu désordonné, ce que nous modélisons par un potentiel externe aléatoire. La deuxième est constituée de modèles incluant un potentiel externe faible (d'échelle). Nous commençons par un rappel des conditions nécessaires sur ces potentiels pour obtenir une condensation dans les états localisés. Nous montrons sous certaines hypothèses très générales que dans ces modèles, la CBE au sens habituel est aussi présente, dans un sens généralisé. Cela signifie que les particules sont condensées dans des états cinétiques ayant une énergie arbitrairement faible. Pour le gaz de Bose sans interactions, nous pouvons en plus prouver que les densités des deux condensats sont en fait égales. Nous approfondissons ensuite notre étude de la CBE, en demandant si il est possible d'obtenir une condensation sur un seul état cinétique. Nous montrons qu'en dépit de l'existence à la fois d'une transition de phase et de la CBE généralisée, aucune condensation ne survient sur un seul état cinétique. En particulier, la fameuse condensation sur l'état fondamental est absente pour ces modèles localisés. Finalement, nous établissons une généralisation possible de l'approximation de nombres complexes de Bogoliubov pour prendre en compte les propriétés très particulières de la CBE en présence de localisation, et nous discutons la faon d'interpréter le resultat du problème variationnel correspondant.

Dans cette thèse je présente les travaux effectués lors de mon doctorat à l'Institut de Physique Théorique (IPhT) du CEA de Saclay, sous la direction de Iosif Bena. Ceux-ci ont pour cadre la théorie des cordes, et plus précisément la supergravité à dix et onze dimensions, comme limite de basse énergie de la théorie des cordes. La première partie concerne l'étude des trous noirs et microétats de trous noirs supersymétriques à trois charges. En utilisant une D-brane supersymétrique appelée supertube, nous avons effectué une approche test et montré que cette approche capture dans tous les cas connus les propriétés physiques de la solution complête de supergravité. Nous avons aussi prouvé que le supertube, quand il est placé dans un fond ayant des charges magnétiques, voit son entropie augmentée par rapport à celle qu'il a en espace plat. Les solutions de supergravité sourcées par des supertubes étant régulières et sans horizon, elles peuvent être vues, dans le contexte du “fuzzball proposal”, comme des microétats de trous noirs. Cette entropie augmentée pourrait donc contribuer pour une large part dans le cadre d'un comptage microscopique de l'entropie de trou noir, . Dans la deuxième partie de la thèse, je présente une nouvelle classe de solutions non supersymétriques de supergravité `a onze dimensions, appelées solutions “à branes flottantes”. Les équations donnant ces nouvelles solutions généralisent les équations BPS, et ont, comme ces dernières, l'énorme avantage d'être partiellement du premier ordre et linéaires. Les équations BPS, et donc toutes les solutions supersymétriques, se retrouvent comme une sous-famille des équations à branes flottantes. Certaines de ces nouvelles solutions ont un horizon et sont donc des trous noirs – avec des topologies d'horizon variées – mais certaines sont complètement régulières et sans horizons et correspondraient à des microétats de trous noirs non extrémaux.

<p>Conformal field theories (CFT) constitute an interesting class of twodimensionalquantum field theories, with applications in string theoryas well as condensed matter physics. The symmetries of a CFT can beencoded in the mathematical structure of a conformal vertex algebra.The rational CFT’s are distinguished by the property that the categoryof representations of the vertex algebra is a modular tensor category.The solution of a rational CFT can be split off into two separate tasks, apurely complex analytic and a purely algebraic part.</p><p>The TFT-construction gives a solution to the second part of the problem.This construction gets its name from one of the crucial ingredients,a three-dimensional topological field theory (TFT). The correlators obtainedby the TFT-construction satisfy all consistency conditions of thetheory. Among them are the factorization constraints, whose implicationsfor boundary conditions are the main topic of this thesis.</p><p>The main result reviewed in this thesis is that the factorization constraintsgive rise to a semisimple commutative associative complex algebrawhose irreducible representations are the so-called reflection coefficients.The reflection coefficients capture essential information aboutboundary conditions, such as ground-state degeneracies and Ramond-Ramond charges of string compactifications. We also show that the annuluspartition function can be derived fromthis classifying algebra andits representation theory.</p>

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique et numérique du modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) pour les systèmes quantiques attractifs, qui est abondamment utilisé en physique nucléaire. Après avoir présenté le modèle et ses principales caractéristiques, nous expliquons comment le discrétiser et nous montrons des résultats de convergence. Nous examinons tout particulièrement l'algorithme de point fixe (parfois appelé Roothaan) et montrons qu'il converge ou alors oscille entre deux états dont aucun n'est solution du problème. Ceci généralise au cadre HFB des résultats de Cancès et Le Bris pour le modèle plus simple de Hartree-Fock dans le cas répulsif. Suivant ces mêmes auteurs, nous proposons un algorithme basé sur la contrainte relâchée et pour lequel la convergence est garantie. Dans la dernière partie de la thèse, nous illustrons le comportement de ces algorithmes par des simulations numériques pour plusieurs modèles. Dans un premier temps nous considérons un système purement gravitationnel où les particules interagissent avec le potentiel de Newton. Nos simulations montrent que la matrice d'appariement est toujours non nulle, un fait qui n'a pas encore pu être démontré rigoureusement. Nous étudions ensuite un modèle très simplifié pour la description de protons et neutrons dans le noyau atomique.

L'application des problèmes inverses de diffraction à la détection de fissures via l'utilisation d'ondes acoustiques, électromagnétiques ou élastiques s'élargit dans de nombreux domaines. Des exemples d'application incluent le contrôle non destructif, la prospection géophysique... Cette thèse a pour objectif d'identifier des fissures en utilisant des méthodes d'échantillonnage bien connues. Dans ce travail, nous utilisons la Linear Sampling Method et la méthode de Factorisation pour reconstruire la géométrie de fissures à partir de plusieurs données statiques de champs lointains dans le cas de conditions d'impédance sur les deux bords de la fissure se trouvant dans un domaine homogène. Par ailleurs, une application de la méthode de la Reciprocity Gap Linear Sampling Method est proposée pour la reconstruction de la géométrie de fissures dans un domaine hétérogène avec les mêmes conditions au bord. Dans le but d'élargir l'application de cette dernière méthode, une méthode de complétion de données pour le problème de Cauchy associé à l'équation de Helmholtz a été proposée. La performance des méthodes proposées est montrée à travers de tests numériques pour différentes formes de fissures et pour différentes valeurs de l'impédance.

Conformal field theories (CFT) constitute an interesting class of twodimensionalquantum field theories, with applications in string theoryas well as condensed matter physics. The symmetries of a CFT can beencoded in the mathematical structure of a conformal vertex algebra.The rational CFT’s are distinguished by the property that the categoryof representations of the vertex algebra is a modular tensor category.The solution of a rational CFT can be split off into two separate tasks, apurely complex analytic and a purely algebraic part. The TFT-construction gives a solution to the second part of the problem.This construction gets its name from one of the crucial ingredients,a three-dimensional topological field theory (TFT). The correlators obtainedby the TFT-construction satisfy all consistency conditions of thetheory. Among them are the factorization constraints, whose implicationsfor boundary conditions are the main topic of this thesis. The main result reviewed in this thesis is that the factorization constraintsgive rise to a semisimple commutative associative complex algebrawhose irreducible representations are the so-called reflection coefficients.The reflection coefficients capture essential information aboutboundary conditions, such as ground-state degeneracies and Ramond-Ramond charges of string compactifications. We also show that the annuluspartition function can be derived fromthis classifying algebra andits representation theory.

In this thesis we study the relativistic multipole moments for stationary asymptotically flat spacetimes as introduced by Geroch and Hansen. These multipole moments give an asymptotic description of the gravitational field in a coordinate independent way. Due to this good description of the spacetimes, it is natural to try to construct a spacetime from only the set of multipole moments. Here we present a simple method to do this for the static axisymmetric case. We also give explicit solutions for the cases where the number of non-zero multipole moments are finite. In addition, for the general stationary axisymmetric case, we present methods to generate solutions. It has been a long standing conjecture that the multipole moments give a complete characterization of the stationary spacetimes. Much progress toward a proof has been made over the years. However, there is one remaining difficult task: to prove that a spacetime exists with an a-priori given arbitrary set of multipole moments subject to some given condition. Here we present such a condition for the axisymmetric case, and prove that it is both necessary and sufficient. We also extend this condition to the general case without axisymmetry, but in this case we only prove the necessity of our condition.

This thesis concerns two types of quantum many-body systems in one dimension exactly solved by special functions: firstly, systems with interactions localised at points and solved by the (coordinate) Bethe ansatz; secondly, systems of Calogero-Sutherland type, as well as certain recently introduced deformations thereof, with eigenfunctions given by natural many-variable generalisations of classical (orthogonal) polynomials. The thesis is divided into two parts. The first provides background and a few complementary results, while the second presents the main results of this thesis in five appended scientific papers. In the first paper we consider two complementary quantum many-body systems with local interactions related to the root systems CN, one with delta-interactions, and the other with certain momentum dependent interactions commonly known as delta-prime interactions. We prove, by construction, that the former is exactly solvable by the Bethe ansatz in the general case of distinguishable particles, and that the latter is similarly solvable only in the case of bosons or fermions. We also establish a simple strong/weak coupling duality between the two models and elaborate on their physical interpretations. In the second paper we consider a well-known four-parameter family of local interactions in one dimension. In particular, we determine all such interactions leading to a quantum many-body system of distinguishable particles exactly solvable by the Bethe ansatz. We find that there are two families of such systems: the first is described by a one-parameter deformation of the delta-interaction model, while the second features a particular one-parameter combination of the delta and the delta-prime interactions. In papers 3-5 we construct and study particular series representations for the eigenfunctions of a family of Calogero-Sutherland models naturally associated with the classical (orthogonal) polynomials. In our construction, the eigenfunctions are given by linear combinations of certain symmetric polynomials generalising the so-called Schur polynomials, with explicit and rather simple coefficients. In paper 5 we also generalise certain of these results to the so-called deformed Calogero-Sutherland operators. / QC 20100712

A rigorous formalism for solving the Coulomb scattering problem is presented in this thesis. The approach is based on splitting the interaction potential into a finite-range part and a long-range tail part. In this representation the scattering problem can be reformulated to one which is suitable for applying exterior complex scaling. The scaled problem has zero boundary conditions at infinity and can be implemented numerically for finding scattering amplitudes. The systems under consideration may consist of two or three charged particles. The technique presented in this thesis is first developed for the case of a two body single channel Coulomb scattering problem. The method is mathematically validated for the partial wave formulation of the scattering problem. Integral and local representations for the partial wave scattering amplitudes have been derived. The partial wave results are summed up to obtain the scattering amplitude for the three dimensional scattering problem. The approach is generalized to allow the two body multichannel scattering problem to be solved. The theoretical results are illustrated with numerical calculations for a number of models. Finally, the potential splitting technique is further developed and validated for the three body Coulomb scattering problem. It is shown that only a part of the total interaction potential should be split to obtain the inhomogeneous equation required such that the method of exterior complex scaling can be applied. The final six-dimensional equation is reduced to a system of three dimensional equations using the full angular momentum representation. Such a system can be numerically implemented using the existing full angular momentum complex exterior scaling code (FAMCES). The code has been updated to solve the three body scattering problem. / At the time of the doctoral defense, the following papers were unpublished and had a status as follows: Paper 4: Submitted. Paper 5: Manuscript.

We study a number of local and global classification problems in generalized complex geometry. Generalized complex geometry is a relatively new type of geometry which has applications to string theory and mirror symmetry. Symplectic and complex geometry are special cases. In the first topic, we characterize the local structure of generalized complex manifolds by proving that a generalized complex structure near a complex point arises from a holomorphic Poisson structure. In the proof we use a smoothed Newton’s method along the lines of Nash, Moser and Conn. In the second topic, we consider whether a given regular Poisson structure and transverse complex structure come from a generalized complex structure. We give cohomological criteria, and we find some counterexamples and some unexpected examples, including a compact, regular generalized complex manifold for which nearby symplectic leaves are not symplectomorphic. In the third topic, we consider generalized complex structures with nondegenerate type change; we describe a generalized Calabi-Yau structure induced on the type change locus, and prove a local normal form theorem near this locus. Finally, in the fourth topic, we give a classification of generalized complex principal bundles satisfying a certain transversality condition; in this case, there is a generalized flat connection, and the classification involves a monodromy map to the Courant automorphism group.