En orthodontie, le diagnostic et la planification d'un traitement reposent sur la connaissance de l'architecture dentaire du patient relevée, entre autre, par un moulage en plâtre. Aujourd'hui, des logiciels permettent de manipuler des modèles numériques des arcades dentaires obtenus après numérisation des moulages. Afin d'observer l'engrènement des dents, il est nécessaire de mettre en occlusion les deux arcades numérisées séparément. Cette étape est actuellement manuelle et l'objet de ces travaux de thèse est de proposer une chaîne robuste de traitements permettant un recalage automatique des deux arcades guidé par plusieurs photos "en bouche" du patient. L'approche proposée consiste à définir trois types de points singuliers et à mettre en place des méthodes robustes de détection automatique à la fois sur les modèles 3D et les images couleur s'appuyant sur la courbure et la texture. Une fois mis en correspondance, ces points homologues 2D/3D permettent d'estimer les matrices de projection puis la transformation rigide (6ddl) pour positionner au mieux la mandibule par rapport au maxillaire en minimisant les erreurs de reprojection dans plusieurs vues. Afin de s'affranchir du bruit de détection, les positions 2D et/ou 3D des points sont améliorées au cours du processus d'optimisation. De nombreux tests sur des données virtuelles et réelles valident l'approche choisie. L'occlusion finale obtenue par recalage automatique est proche de la référence de l'expert. Les résultats sont encourageants pour fournir une alternative automatique à intégrer dans un outil d'aide au diagnostic.

En orthodontie, le diagnostic et la planification d'un traitement reposent sur la connaissance de l'architecture dentaire du patient relevée, entre autre, par un moulage en plâtre. Aujourd’hui, des logiciels permettent de manipuler des modèles numériques des arcades dentaires obtenus après numérisation des moulages. Afin d’observer l’engrènement des dents, il est nécessaire de mettre en occlusion les deux arcades numérisées séparément. Cette étape est actuellement manuelle et l’objet de ces travaux de thèse est de proposer une chaîne robuste de traitements permettant un recalage automatique des deux arcades guidé par plusieurs photos "en bouche" du patient. L'approche proposée consiste à définir trois types de points singuliers et à mettre en place des méthodes robustes de détection automatique à la fois sur les modèles 3D et les images couleur s’appuyant sur la courbure et la texture. Une fois mis en correspondance, ces points homologues 2D/3D permettent d'estimer les matrices de projection puis la transformation rigide (6ddl) pour positionner au mieux la mandibule par rapport au maxillaire en minimisant les erreurs de reprojection dans plusieurs vues. Afin de s’affranchir du bruit de détection, les positions 2D et/ou 3D des points sont améliorées au cours du processus d’optimisation. De nombreux tests sur des données virtuelles et réelles valident l'approche choisie. L’occlusion finale obtenue par recalage automatique est proche de la référence de l’expert. Les résultats sont encourageants pour fournir une alternative automatique à intégrer dans un outil d'aide au diagnostic. / In orthodontics, the diagnosis and the planning of a treatment rest on the knowledge of the dental architecture of the patient using, among others, a dental cast in plaster. Today, dedicated software allow to manipulate digital models of the dental arches obtained after digitalization of the casts. To observe the contact of teeth, it is necessary to register both arches scanned separately. This stage is at present manual and the object of this thesis research is to propose a robust chain processing allowing an automatic registration of both arches guided by several photos of the patient mouth. The proposed approach consists in defining three types of singular points and in setting up strong methods of automatic detection at the same time on the 3D models and the color images leaning on the curvature and the texture. Once put in correspondence, these 2D / 3D equivalent points allow to estimate the projection matrices then the rigid transformation (6ddl) to position at best the mandible in relation to the maxillary by minimizing the reprojection errors in several views. To free itself from the noise of detection, the 2D and/or 3D positions of the singular points are improved during the optimization process. Numerous tests on virtual and real data validate the proposed approach. The final occlusion obtained on the real data by automatic registration is close to the reference of the expert. These are encouraging results to supply an automatic alternative to be integrated into a help tool for the diagnosis.

Le but de cette thèse est d’étudier les structures obtenues à partir des groupes de réflexion finis. Ce travail consiste en quatre articles publiés, un article soumis et un article en préparation dont les résultats partiels constituent un chapitre de cette thèse. Dans le premier article, nous présentons une réduction des orbites des groupes de Coxeter finis vers leurs sous-groupes. Nous utilisons des matrices de projection, c’est-à-dire, des applications qui transforment les racines simples d’un groupe de réflexion en les racines simples du sous-groupe associé. Les résultats présentés dans ce papier se concentrent sur les groupes finis de réflexion non crystallographiques. De plus, nous utilisons les polytopes engendrés par le groupe non crystallographique H3 pour illustrer les lois de ramification (branching rules), c’est-à-dire une réduction des orbites des groupes finis de Coxeter. Dans le deuxième article, nous étudions les polytopes avec 60 sommets engendrés par le groupe non crystallographique H3. Nous utilisons la méthode de décoration des diagrammes de Coxeter–Dynkin pour décrire leurs structures en détails et décomposer les sommets en somme des orbits de symétries de dimension inférieure. Le troisième article compare deux notations utilisées pour décrire le polyèdre engendré par le groupe de réflexion. Il s’agit du symbole de Schläfli et de la notation des points dominants. Nous y présentons les avantages de chaque méthode, expliquons les deux approches et nous les illustrons par des exemples. Dans le quatrième article, nous nous concentrons sur le graphène, c’est-à-dire un pavement d’hexagones sur le plan, qui possède de remarquables propriétés quand les sommets sont modélisés par des atomes de carbone. Dans ce travail, nous présentons différentes méthodes pour obtenir du graphène à partir de réseaux (lattices) et des orbites de dimension 3 des groupes finis de réflexion. De plus, une technique de coloriage des hexagones au moyen d’un nombre fini de couleurs est donnée avec une méthode systématique pour raffiner le graphène. Dans le cinquième article, nous utilisons des v fonctions spéciales et les transformations de Fourier pour traiter les données échantillonnées sur un réseau de carrés du groupe de Lie SU(2)×SU(2), relié au groupe de symétrie A1×A1. / The goal of this thesis is to study structures obtained from finite reflection groups. The work is contained in four published papers, one submitted article and a research paper currently in preparation, with partial results presented as a chapter of this thesis. In the first article, we present a reduction of the orbits of finite Coxeter groups to their subgroups. We use projection matrices, that is, mappings that transform the simple roots of a reflection group to the simple roots of the appropriate subgroup. The results presented in this paper focus on non-crystallographic finite reflection groups. Moreover, we use polytopes generated by the non-crystallographic group H3 to illustrate the obtained branching rules, i.e., reductions of orbits of the finite Coxeter groups. In the second article, we study polytopes with 60 vertices, generated by the non-crystallographic group H3. We use a method of decoration of the Coxeter–Dynkin diagram to describe their structure in detail, and decompose their vertices into sums of orbits of lower-dimensional symmetries. The third article compares two notations used to describe polyhedra generated by reflection groups, namely the Schläfli symbol, and the dominant point notation. Here, we present the advantages of each method, we explain the two approaches, and we illustrate them through examples. In the fourth article, we focus on graphene, i.e., a hexagonal tiling of the plane that possesses remarkable properties when the vertices are modelled with carbon atoms. In this work, we present different methods to obtain graphene from lattices and three-dimensional orbits of finite reflection groups. Moreover, a technique to colour the hexagons by a finite number of colours is provided, along with a systematic method to refine the graphene. In the fifth article, we use special functions and Fourier transforms to process data sampled on a square lattice of the Lie group SU(2) × SU(2), related to the A1 × A1 symmetry group.