Thesis (Ph. D.)--University of Wisconsin--Madison, 1983. / Typescript. Vita. eContent provider-neutral record in process. Description based on print version record. Includes bibliographical references (leaves 93-96).

Ce travail est consacré à certaines classes de systèmes dynamiques ergodiques, munis d'une mesure invariante infinie, telles que des applications de l'intervalle avec un point fixe neutre ou des marches aléatoires. Le comportement asymptotique des sommes de Birkhoff d'observables d'intégrale non nulle est assez bien connu, pour peu que le système ait une certaine forme d'hyperbolicité. Une situation particulièrement intéressante est celle des tours au-dessus d'une application Gibbs-Markov. Nous cherchons dans ce contexte à étudier le cas d'observables d'intégrale nulle. Nous obtenons ainsi une forme de théorème central limite pour des systèmes dynamiques munis d'une mesure infinie. Après avoir introduit l'ensemble des notions nécessaires, nous adaptons des résultats de E. Csáki et A. Földes sur les marches aléatoires au cas des applications Gibbs-Markov. Les théorèmes d'indépendance asymptotique qui en découlent forment le cœur de cette thèse, et permettent de démontrer un théorème central limite généralisé. Quelques variations sur l'énoncé de ce théorème sont obtenues. Ensuite, nous abordons les processus en temps continu, tels que des semi-flots et des flots. Un premier travail consiste à étudier les propriété en temps grand du temps de premier retour et du temps local pour des extensions de systèmes dynamiques, ce qui se fait par des méthodes spectrales. Enfin, par réductions successives, nous pouvons obtenir une version du théorème central limite pour des flots périodiques, et en particulier le flot géodésique sur le fibré tangent unitaire de certaines variétés périodiques hyperboliques. / This work is focused on some classes of ergodic dynamical systems endowed with an infinite invariant measure, such as transformations of the interval with a neutral fixed point or random walks. The asymptotic behavior of the Birkhoff sums of observables with a non-zero integral is well known, as long as the system shows some kind of hyperbolicity. The towers over a Gibbs-Markov map are especially interesting. In this context, we aim to study the case of observables whose integral is zero. We get the equivalent of a central limit theorem for some dynamical systems endowed with an infinite measure. After we introduce the necessary definitions, we adapt some results by E. Csáki and A. Földes on random walks to the case of Gibbs-Markov maps. We derive a theorem on the asymptotic independence of Birhoff sums, which is the core of this thesis, and from this point we work out a generalised central limit theorem. We also prove a few variations on this generalised central limit theorem. Then, we study dynamical systems in continuous time, such as semi-flows and flows. We first work on the asymptotic properties of the first return time and the local time for extensions of dynamical systems; this is done by spectral methods. Finally, step by step, we extend our generalised central limit theorem to cover some periodic flows, and in particular the geodesic flow on the unitary tangent bundle of some hyperbolic periodic manifolds.

Le théorème ergodique de Birkhoff nous renseigne sur la convergence de suites de fonctions. Nous nous intéressons alors à étudier la convergence en moyenne et presque partout de ces suites, mais dans le cas où la suite est une suite strictement croissante de nombres entiers positifs. C’est alors que nous définirons les suites uniformes et étudierons la convergence presque partout pour ces suites. Nous regarderons également s’il existe certaines suites pour lesquelles la convergence n’a pas lieu. Nous présenterons alors un résultat dû en partie à Alexandra Bellow qui dit que de telles suites existent. Finalement, nous démontrerons une équivalence entre la notion de transformatiuon fortement mélangeante et la convergence d'une certaine suite qui utilise des “poids” qui satisfont certaines propriétés. / Birkhoff’s ergodic theorem gives us information about the convergence of sequences of functions. We are then interested in studying the mean and pointwise convergence of these sequences, but in the case the sequence is a strictly increasing sequence of positive integers. With that goal in mind, we will define uniform sequences and study the pointwise convergence for these sequences. We will also explore the possibility that there exists some sequences for which the convergence of the sequence does not occur. We will present a result of Alexandra Bellow that says that such sequences exist. Finally, we will prove a result which establishes an equivalence between the notion of a strongly mixing transformation and the convergence of a sequence that uses “weights” which satisfies certain properties.

Le théorème ergodique de Birkhoff nous renseigne sur la convergence de suites de fonctions. Nous nous intéressons alors à étudier la convergence en moyenne et presque partout de ces suites, mais dans le cas où la suite est une suite strictement croissante de nombres entiers positifs. C’est alors que nous définirons les suites uniformes et étudierons la convergence presque partout pour ces suites. Nous regarderons également s’il existe certaines suites pour lesquelles la convergence n’a pas lieu. Nous présenterons alors un résultat dû en partie à Alexandra Bellow qui dit que de telles suites existent. Finalement, nous démontrerons une équivalence entre la notion de transformatiuon fortement mélangeante et la convergence d'une certaine suite qui utilise des “poids” qui satisfont certaines propriétés. / Birkhoff’s ergodic theorem gives us information about the convergence of sequences of functions. We are then interested in studying the mean and pointwise convergence of these sequences, but in the case the sequence is a strictly increasing sequence of positive integers. With that goal in mind, we will define uniform sequences and study the pointwise convergence for these sequences. We will also explore the possibility that there exists some sequences for which the convergence of the sequence does not occur. We will present a result of Alexandra Bellow that says that such sequences exist. Finally, we will prove a result which establishes an equivalence between the notion of a strongly mixing transformation and the convergence of a sequence that uses “weights” which satisfies certain properties.