In order to implement privacy preservation for individuals, systems need to utilize privacy mechanisms that privatize sensitive data by randomization. The goal of privacy mechanism design is to find optimal tradeoffs between maximizing the utility of the privatized data while providing a strict sense of privacy defined by a chosen privacy measure. In this thesis, we explore this tradeoff for the pointwise maximal leakage measure. Pointwise maximal leakage (PML) was recently proposed as an operationally meaningful privacy measure that quantifies the guessing advantage of an adversary that is interested in a random function of the private data. Opposite to many other information-theoretic measures, PML considers the privacy loss for every outcome of the privatized view separately, thereby enabling more flexible privacy guarantees that move away from averaging over all outcomes. We start by using PML to analyze the prior distribution-dependent behavior of the established randomized response mechanism designed for local differential privacy. Then, we formulate a general optimization problem for the privacy-utility tradeoff with PML as a privacy measure and utility functions based on sub-linear functions. Using methods from convex optimization, we analyze the valid region of mechanisms satisfying a PML privacy guarantee and show that the optimization can be solved by a linear program. We arrive at extremal formulations that yield closed-form solutions for some important special cases: Binary mechanism, general high-privacy regions, i.e., regions in which the required level of privacy is high, and low-privacy mechanisms for equal priors. We further present an approximate solution for general priors in this setting. Finally, we analyze the loss of optimality of this construction for different prior distributions. / För att kunna implementera integritetsskydd för individer, så behöver system utnyttja integritetsmekanismer som privatiserar känslig data genom randomisering. Målet vid design av integritetsmekanismer är att hitta den optimala balansen mellan att användbarheten av privatiserad data maximeras, samtidigt som det tillhandahålls integritet i strikt mening. Detta definierat av något valt typ av integritetsmått. I den här avhandlingen, så undersöks detta utbyte specifikt med “pointwise maximal leakage”-måttet. Pointwise maximal leakage (PML) har nyligen föreslagits som ett operativt meningsfullt integritetsmått som kvantifierar en gissande motparts informationstillgång om denna är intresserad av en slumpmässig funktion av den privata datan. Till skillnad mot många andra informations-teoretiska mått, så tar PML i åtanke integritetsinskränkningen separat för varje utfall av den privata slumpmässiga variabeln. Därmed möjliggörs mer flexibla försäkringar av integriteten, som strävar bort från genomsnittet av alla utfall. Först, används PML för att analysera det ursprungsberoende beteendet av den etablerade “randomized response”-mekanismen designad för local differential privacy. Därefter formuleras ett generellt optimeringsproblem för integritets-användbarhets-kompromissen med PML som ett integritetsmått och användbarhetsfunktioner baserade på sublinjära funktioner. Genom att utnyttja metoder från konvex optimering, analyseras den giltiga regionen av mekanismer som tillfredsställer en PML-integritetsgaranti och det visas att optimeringen kan lösas av ett linjärt program. Det leder till extremala formuleringar som ger slutna lösningar för några viktiga specialfall: Binär mekanism, allmänna högintegritets-regioner (d.v.s. regioner där kravet på nivån av integritet är hög) och lågintegritets-mekanismer för ekvivalenta ursprungliga distributioner. Vidare presenteras en approximativ lösning för allmänna ursprungliga distributioner i denna miljö. Slutligen, analyseras förlusten av optimalitet hos denna konstruktion för olika ursprungliga distributioner.