Este trabalho é dedicado ao estudo da unitariedade em teoria de campos não comuta- tiva. Inicialmente, são apresentadas as ferramentas básicas para abordar o problema da unitariedade em teorias não comutativas, incluindo as regras de corte e uma introdução à não comutatividade. Em seguida, foi feita a análise do modelo Á3 não comutativo. Empregando o esquema perturbativo usual da teoria de campos, foi verificado que o modelo é unitário quando a não comutatividade envolve apenas o espaço. Por outro lado, quando a não comutatividade envolve o espaço e o tempo verificou-se uma violação da unitariedade, fato esse bem conhecido tratando-se de teorias não comutativas. Partimos então para uma abordagem proposta na literatura, em que a teoria de perturbação é adaptada para teorias não comutativas. Dentro desse esquema, o modelo Á3 foi estudado novamente verificando assim a unitariedade para um diagrama de um laço e segunda ordem na constante de acoplamento mesmo quando a não comutatividade envolve o espaço e o tempo. Baseado nesse método, estendemos a análise para uma teoria contendo além de um campo escalar um campo fermiônico, mais precisamente o modelo de Yukawa, no qual também foi verificada a unitariedade a um laço e segunda ordem na constante de acoplamento. / This work is dedicated to study unitarity in noncommutative field theory. Initially, the basic tools to handle the problem of unitarity in noncommutative theories are discussed, including the cutting rules and an introduction to noncommutativity. Then, we analised the noncommutative Á3 model. Using the usual perturbative framework of field theory, we verified that the model preserves unitarity when the noncommutativity is restrict to the spatial coordinates. On the other hand, when the noncommutativity includes both, space and time, we found a violation of the unitarity, a well known fact in noncommutative field theory. Next, we turn to an approach proposed in the literature, in wich perturbation theory is adapted for noncommutative field theory. Whitin this approach, the Á3 model was studied again and the unitarity was verified for one loop diagram and second order in the coupling constant even in the case when noncommutativity affects both space and time. Following this, we extended the analysis to a field theory with fermionic and scalar fields, namely, Yukawa\'s model, again verifing unitarity at one loop and second order in the coupling constant.

Este trabalho é dedicado ao estudo da unitariedade em teoria de campos não comuta- tiva. Inicialmente, são apresentadas as ferramentas básicas para abordar o problema da unitariedade em teorias não comutativas, incluindo as regras de corte e uma introdução à não comutatividade. Em seguida, foi feita a análise do modelo Á3 não comutativo. Empregando o esquema perturbativo usual da teoria de campos, foi verificado que o modelo é unitário quando a não comutatividade envolve apenas o espaço. Por outro lado, quando a não comutatividade envolve o espaço e o tempo verificou-se uma violação da unitariedade, fato esse bem conhecido tratando-se de teorias não comutativas. Partimos então para uma abordagem proposta na literatura, em que a teoria de perturbação é adaptada para teorias não comutativas. Dentro desse esquema, o modelo Á3 foi estudado novamente verificando assim a unitariedade para um diagrama de um laço e segunda ordem na constante de acoplamento mesmo quando a não comutatividade envolve o espaço e o tempo. Baseado nesse método, estendemos a análise para uma teoria contendo além de um campo escalar um campo fermiônico, mais precisamente o modelo de Yukawa, no qual também foi verificada a unitariedade a um laço e segunda ordem na constante de acoplamento. / This work is dedicated to study unitarity in noncommutative field theory. Initially, the basic tools to handle the problem of unitarity in noncommutative theories are discussed, including the cutting rules and an introduction to noncommutativity. Then, we analised the noncommutative Á3 model. Using the usual perturbative framework of field theory, we verified that the model preserves unitarity when the noncommutativity is restrict to the spatial coordinates. On the other hand, when the noncommutativity includes both, space and time, we found a violation of the unitarity, a well known fact in noncommutative field theory. Next, we turn to an approach proposed in the literature, in wich perturbation theory is adapted for noncommutative field theory. Whitin this approach, the Á3 model was studied again and the unitarity was verified for one loop diagram and second order in the coupling constant even in the case when noncommutativity affects both space and time. Following this, we extended the analysis to a field theory with fermionic and scalar fields, namely, Yukawa\'s model, again verifing unitarity at one loop and second order in the coupling constant.

This dissertation contains two parts: Commutative and Noncommutative Multidimensional ($d$-D) Linear Systems Theory. The first part focuses on the development of the interpolation theory to solve the $H^{\infty}$ control problem for $d$-D linear systems. We first review the classical discrete-time 1D linear system in the operator theoretical viewpoint followed by the formulations of the so-called Givone-Roesser and Fornasini-Marchesini models. Application of the $d$-variable $Z$-transform to the system of equations yields the transfer function which is a rational function of several complex variables, say $\mathbf{z} = (z_{1}, \dots, z_{d})$. We then consider the output feedback stabilization problem for a plant $P(\mathbf{z})$. By assuming that $P(\mathbf{z})$ admits a double coprime factorization, then a set of stabilizing controllers $K(\mathbf{z})$ can be parametrized by the Youla parameter $Q(\mathbf{z})$. By doing so, one can convert such a problem to the model matching problem with performance index $F(\mathbf{z})$, affine in $Q(\mathbf{z})$. Then, with $F(\mathbf{z})$ as the design parameter rather than $Q(\mathbf{z})$, one has an interpolation problem for $F(\mathbf{z})$. Incorporation of a tolerance level on $F(\mathbf{z})$ then leads to an interpolation problem of multivariable Nevanlinna-Pick type. We also give an operator-theoretic formulation of the model matching problem which lends itself to a solution via the commutant lifting theorem on the polydisk. The second part details a system whose time-axis is described by a free semigroup $\mathcal{F}_{d}$. Such a system can be represented by the so-called noncommutative Givone-Roesser, or noncommutative Fornasini-Marchesini models which are analogous to those in the first part. Application of a noncommutative $d$-variable $Z$-transform to the system of equations yields the transfer function expressed by a formal power series in several noncommuting indeterminants, say $T(z) = \sum_{v \in \mathcal{F}_{d}}T_{v}z^{v}$ where $z^{v} = z_{i_{n}} \dotsm z_{i_{1}}$ if $v = g_{i_{n}} \dotsm g_{i_{1}} \in \mathcal{F}_{d}$ and $z_{i}z_{j} \neq z_{j}z_{i}$ unless $i = j$. The concepts of reachability, controllability, observability, similarity, and stability are introduced by means of the state-space interpretation. Minimal realization problems for noncommutative Givone-Roesser or Fornasini-Marchesini systems are solved directly by a shift-realization procedure constructed from appropriate noncommutative Hankel matrices. This procedure adapts the ideas of Schützenberger and Fliess originally developed for "recognizable series" to our systems. / Ph. D.