L'imagerie par résonance magnétique de diffusion (IRMD) est une technique d'imagerie qui teste les propriétés diffusives d'un échantillon en le soumettant aux impulsions d'un gradient de champ magnétique. Plus précisément, elle détecte le mouvement de l'eau dû à la diffusion et s'avère donc être un outil puissant pour obtenir des informations sur la microstructure des tissus. Le signal acquis par le scanner IRM est une mesure moyennée sur un volume physique appelé voxel, dont la taille, pour des raisons techniques, est bien plus grande que l'échelle de variations microscopiques de la structure cellulaire. Ceci implique que les composants microscopiques des tissus ne sont pas visibles à la résolution spatiale de l'IRM et que les caractéristiques géométriques se trouvent agréger dans le signal macroscopique provenant du voxel. Une importante quantité mesurée par l'IRMD dans chaque voxel est le Coefficient de Diffusion Apparent (CDA) dont la dépendance au temps de diffusion est actée par de nombreuses expériences d'imagerie effectuées in vivo. Il existe dans la littérature un nombre important de modèles macroscopiques décrivant le CDA allant du plus simple au plus complexe (modèles phénoménologiques, stochastiques, géométriques, fondés sur des EDP, etc.), chacun étant valide sous certaines hypothèses techniques bien précises. Le but de cette thèse est de construire des modèles simples, disposant d'une bonne validité applicative, en se fondant sur une modélisation de la diffusion à l'échelle microscopique à l'aide d'EDP et de techniques d'homogénéisation.Dans un article antérieur, le modèle homogénéisé FPK a été déduit de l’EDP de Bloch-Torrey sous l'hypothèse que la perméabilité de la membrane soit petite et le temps de diffusion long. Nous effectuons tout d'abord une analyse de ce modèle et établissons sa convergence vers le modèle classique de Kärger lorsque la durée des impulsions magnétiques tend vers 0. Notre analyse montre que le modèle FPK peut être vu comme une généralisation de celui de Kärger, permettant la prise en compte de durées d'impulsions magnétiques arbitraires. Nous donnons aussi une nouvelle définition, motivée par des raisons mathématiques, du temps de diffusion pour le modèle de Kärger (celle impliquant la plus grande vitesse de convergence).Le CDA du modèle FPK est indépendant du temps ce qui entre en contradiction avec nombreuses observations expérimentales. Par conséquent, notre objectif suivant est de corriger ce modèle pour de petites valeurs de ce que l'on appelle des b-valeurs afin que le CDA homogénéisé qui en résulte soit sensible à la fois à la durée des impulsions et à la fois au temps de diffusion. Pour atteindre cet objectif, nous utilisons une technique d'homogénéisation similaire à celle utilisée pour le FPK, tout en proposant un redimensionnement adapté de l'échelle de temps et de l'intensité du gradient pour la gamme de b-valeurs considérées. Nous montrons, à l'aide de simulations numériques, l'excellente qualité de l'approximation du signal IRMD par ce nouveau modèle asymptotique pour de faibles b-valeurs. Nous établissons aussi (grâce à des développements en temps court des potentiels de surface associés à l'équation de la chaleur ou grâce à une décomposition de sa solution selon les fonctions propres) des résultats analytiques d'approximation du modèle asymptotique qui fournissent des formules explicites de la dépendance temporelle du CDA. Nos résultats sont en accord avec les résultats classiques présents dans la littérature et nous améliorons certains d'entre eux grâce à la prise en compte de la durée des impulsions. Enfin nous étudions le problème inverse consistant en la détermination d'information qualitative se rapportant à la fraction volumique des cellules à partir de signaux IRMD mesurés. Si trouver la distribution de sphères semble possible à partir de la mesure du signal IRMD complet, il nous est apparu que la mesure du seul CDA ne serait pas suffisante. / Diffusion magnetic resonance imaging (dMRI) is an imaging modality that probes the diffusion characteristics of a sample via the application of magnetic field gradient pulses. More specifically, it encodes water displacement due to diffusion and is then a powerful tool to obtain information on the tissue microstructure. The signal measured by the MRI scanner is a mean-value measurement in a physical volume, called a voxel, whose size, due to technical reasons, is much larger than the scale of the microscopic variations of the cellular structure. It follows that the microscopic components of the tissues are not visible at the spatial resolution of dMRI. Rather, their geometric features are aggregated into the macroscopic signal coming from the voxels. An important quantity measured in dMRI in each voxel is the Apparent Diffusion Coefficient (ADC) and it is well-established from imaging experiments that, in the brain, in-vivo, the ADC is dependent on the diffusion time. There is a large variety (phenomenological, probabilistic, geometrical, PDE based model, etc.) of macroscopic models for ADC in the literature, ranging from simple to complicated. Indeed, each of these models is valid under a certain set of assumptions. The goal of this thesis is to derive simple (but sufficiently sound for applications) models starting from fine PDE modelling of diffusion at microscopic scale using homogenization techniques.In a previous work, the homogenized FPK model was derived starting from the Bloch-Torrey PDE equation under the assumption that membrane's permeability is small and diffusion time is large. We first analyse this model and establish a convergence result to the well known K{"a}rger model as the magnetic pulse duration goes to 0. In that sense, our analysis shows that the FPK model is a generalisation of the K{"a}rger one for the case of arbitrary duration of the magnetic pulses. We also give a mathematically justified new definition of the diffusion time for the K{"a}rger model (the one that provides the highest rate of convergence).The ADC for the FPK model is time-independent which is not compatible with some experimental observations. Our goal next is to correct this model for small so called $b$-values so that the resulting homogenised ADC is sensitive to both the pulses duration and the diffusion time. To achieve this goal, we employed a similar homogenization technique as for FPK, but we include a suitable time and gradient intensity scalings for the range of considered $b$-values. Numerical simulations show that the derived asymptotic new model provides a very accurate approximation of the dMRI signal at low $b$-values. We also obtain some analytical approximations (using short time expansion of surface potentials for the heat equation and eigenvalue decompositions) of the asymptotic model that yield explicit formulas of the time dependency of ADC. Our results are in concordance with classical ones in the literature and we improved some of them by accounting for the pulses duration.Finally we explored the inverse problem of determining qualitative information on the cells volume fractions from measured dMRI signals. While finding sphere distributions seems feasible from measurement of the whole dMRI signal, we show that ADC alone would not be sufficient to obtain this information.

Cette thèse est consacrée à l'optimisation de la topologie et de la forme de systèmesmultiphysiques motivés par des applications de l'industrie aéronautique. Nouscalculons les dérivées de forme de fonctions de coût arbitraires pour un modèlefluide, thermique et mécanique faiblement couplé. Nous développons ensuite unalgorithme de type gradient adapté à la résolution de problèmes d'optimisation deformes sous contraintes qui ne requiert par de réglage de paramètres nonphysiques. Nous introduisons ensuite une méthode variationnelle qui permet decalculer des intégrales le long de rayons sur un maillage par la résolution d'unproblème variationnel qui ne requiert pas la détermination explicite de ces lignessur la discrétisation spatiale. Cette méthode nous a ainsi permis d'imposer unecontrainte de non-mélange de phases pour une application à l'optimisationd'échangeurs de chaleur bi-tubes. Tous ces ingrédients ont été employés pour traiterune variété de cas tests d'optimisation de formes pour des systèmes multi-physiques2-d ou 3-d. Nous avons considéré des problèmes à une seule, deux ou bien troisphysiques couplées en 2-d, et des problèmes de tailles relativement élevées en 3-dpour la mécanique, la conduction thermique, l'optimisation de profils aérodynamiques,et de la forme de systèmes en interaction fluide-structure. Un dernier chapitred'ouverture est consacré à l'étude de modèles homogénéisées d'ordres élevés pour lessystèmes elliptiques perforés. Ces équations d'ordres élevés englobent les troisrégimes homogénéisés classiques associés à divers rapports d'échelles pour la tailledes obstacles. Elles pourraient permettre, dans de futurs travaux, de développer denouvelles méthodes d'optimisation pour les systèmes fluides caractérisés par desmotifs multi-échelles, ainsi que couramment rencontré dans la conception deséchangeurs thermiques industriels. / This work is devoted to shape and topology optimization of multiphysics systemsmotivated by aeronautic industrial applications. Shape derivatives of arbitraryobjective functionals are computed for a weakly coupled thermal fluid-structuremodel. A novel gradient flow type algorithm is then developed for solving genericconstrained shape optimization problems without the need for tuning non-physicalmetaparameters. Motivated by the need for enforcing non-mixing constraints in thedesign of liquid-liquid heat exchangers, a variational method is developed in orderto simplify the numerical evaluation of geometric constraints: it allows to computeline integrals on a mesh by solving a variational problem without requiring theexplicit knowledge of these lines on the spatial discretization. All theseingredients allowed us to implement a variety of 2-d and 3-d multiphysics shapeoptimization test cases: from single, double or three physics problems in 2-d, tomoderately large-scale 3-d test cases for structural design, thermal conduction,aerodynamic design and a fluid-structure interacting system. A final opening chapterderives high order homogenized equations for perforated elliptic systems. These highorder equations encompass the three classical regimes of homogenized modelsassociated with different obstacle's size scalings. They could allow, in futureworks, to develop new topology optimization methods for fluid systems characterizedby multi-scale patterns as commonly encountered in industrial heat exchanger designs.