Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2014-12-10T12:21:12Z No. of bitstreams: 1 2014_SimoneVasconcelosdaSilva.pdf: 763939 bytes, checksum: d8d38a2b10a7f06bc06187bb5e557c55 (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2014-12-15T12:22:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_SimoneVasconcelosdaSilva.pdf: 763939 bytes, checksum: d8d38a2b10a7f06bc06187bb5e557c55 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-12-15T12:22:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_SimoneVasconcelosdaSilva.pdf: 763939 bytes, checksum: d8d38a2b10a7f06bc06187bb5e557c55 (MD5) / Neste trabalho, problemas de transição de fase são abordados para polímeros aleatórios em Z2 com interações auto-repulsivas de longo alcance. Na ausência de drift e com interações com decaimento polinomial, o polímero exibe transição de um comportamento difusivo para balístico. Quando drifts não-nulos são adicionados e interações positivas e invariantes por translação são consideradas, o polímero apresenta um comportamento balístico. Nossos resultados complementam alguns estudos anteriores sobre o assunto e também obtivemos um Teorema do Limite Central para o modelo. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this Ph.D. dissertation phase transition issues are addressed for random polymers on Z2 with long-range self-repulsive interactions. It is shown that, in the absence of drift and with power law interactions, the polymer exhibits transition from diffusive to a ballistic behavior. When non-null drifts are added and positive translation invariant interactions are considered, the polymer presents a ballistic behavior. Our results complement some previous studies on the matter and we also derive a Central Limit Theorem for the model.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017. / Submitted by Raquel Almeida (raquel.df13@gmail.com) on 2017-10-23T17:57:49Z No. of bitstreams: 1 2017_LeandroChiariniMedeiros.pdf: 2472409 bytes, checksum: 5aa647bcca5c8ac77d52b12c49bd9daf (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2017-10-31T15:06:55Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_LeandroChiariniMedeiros.pdf: 2472409 bytes, checksum: 5aa647bcca5c8ac77d52b12c49bd9daf (MD5) / Made available in DSpace on 2017-10-31T15:06:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_LeandroChiariniMedeiros.pdf: 2472409 bytes, checksum: 5aa647bcca5c8ac77d52b12c49bd9daf (MD5) Previous issue date: 2017-10-31 / Nesta dissertação, expomos em detalhes a prova da continuidade da transição de fase para o modelo de Ising de primeiros vizinhos em dimensão d ≥ 3. Seguimos a demonstração apresentada em [ADCS15]. Com o objetivo de manter o texto autocontido, provamos as propriedades mais básicas do Modelo de Ising a volume finito. Em seguida, construímos o modelo a volume infinito e caracterizamos exatamente para quais pontos do semiplano β x h existe transição de fase. Por fim, estudamos minuciosamente a magnetização espontânea à temperatura crítica com o auxílo da representação por correntes aleatórias. Esse texto não apresenta contribuições originais, porém, expõe detalhadamente as demonstrações dos resultados aqui apresentados. / In this Master dissertation, we present in detail the proof of the continuity of the phase transition for the Ising Model with nearest neighbors interaction on dimension d ≥ 3. We follow the proof given in [ADCS15]. With the objective of keeping this text self-contained, we prove the very basic properties of the Ising Model on a finite volume. Then, we construct the model in a infinite volume and caracterize exactly in what points of the semi-plane β x h it exhibits a phase transition. Finally, we study meticulously the spontaneous magnetization at the critical temperature with the assistance of the ramdom-current representation. This text does not present any original results, nevertheless, we give detailed proofs of the subject discussed here.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-03-04T16:31:05Z No. of bitstreams: 1 2014_LeonardoCavalcantideMelo.pdf: 544595 bytes, checksum: 594f5068af4c78a952e3c09841c8c508 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2015-03-04T19:42:54Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_LeonardoCavalcantideMelo.pdf: 544595 bytes, checksum: 594f5068af4c78a952e3c09841c8c508 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-03-04T19:42:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_LeonardoCavalcantideMelo.pdf: 544595 bytes, checksum: 594f5068af4c78a952e3c09841c8c508 (MD5) / Nesta dissertação de mestrado expomos alguns resultados clássicos relativos ao modelo de Ising em uma dimensão. O tópico final é a existência de transição de fase nos sistemas com interações de longo alcance (alcance infinito) cujo Hamiltoniano é formalmente dado por (veja fórmula no resumo do arquivo) com 1 < α < 2. A exposição desse tema é baseada na referência [5].Com objetivo de manter o texto auto-contido, foram incluídos vários capítulos introdutórios. Nesses capítulos iniciais são construídas algumas ferramentas que permitirão a abordagem do tema principal no último capítulo. Todas essas construções são baseadas na literatura disponível e não há inovações significativas. Dentre os tópicos preliminares apresentados estão a definição rigorosa do Modelo de Ising a volumes finitos, bem como do modelo de Curie-Weiss e do modelo Hierárquico. Para o modelo de Curie-Weiss a magnetização e a temperatura crítica são calculados explicitamente. Também são apresentadas as demonstrações para: algumas desigualdades de correlação; a existência do limite termodinâmico da magnetização de modelos ferromagnéticos; e uma relação entre a magnetização quadrática e a magnetização espontânea. _____________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this master thesis we present some classical results relative to the one-dimensional Ising model. The main subject is the existence of phase transition in systems with long range interactions (infinite range) and Hamiltonian formally given by (see the formula in the file’s abstract) where 1 < α < 2. The exposition of the main theme is completely based on the reference [5]. Aiming to keep this text self-contained, we included some introductory chapters. In these background chapters we build some tools needed to handle the main theme on the last chapter. All of these constructions are based on the available literature and no important innovation is added. Among these preliminary topics are rigorous definitions of the Ising, Curie- Weiss and Hierarchical models. The exact value of the magnetization and the critical temperature are explicitly computed for the Curie-Weiss model. We also provided the proofs for: some correlation inequalities; existence of the thermodynamic limit for magnetization in ferromagnetic models; and the relation between mean-squared magnetization and spontaneous magnetization.

Submitted by Suelen Reis (suziy.ellen@gmail.com) on 2013-05-08T15:22:18Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Edgar Marcelino.pdf: 471351 bytes, checksum: 1f36e6eede1104b5d6929ee8ed8aba91 (MD5) / Rejected by Alda Lima da Silva(sivalda@ufba.br), reason: Documento de Educação on 2013-05-08T18:24:41Z (GMT) / Submitted by Suelen Reis (suziy.ellen@gmail.com) on 2013-05-09T16:48:08Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Edgar Marcelino.pdf: 471351 bytes, checksum: 1f36e6eede1104b5d6929ee8ed8aba91 (MD5) / Approved for entry into archive by Rodrigo Meirelles(rodrigomei@ufba.br) on 2013-05-09T17:09:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação Edgar Marcelino.pdf: 471351 bytes, checksum: 1f36e6eede1104b5d6929ee8ed8aba91 (MD5) / Made available in DSpace on 2013-05-09T17:09:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação Edgar Marcelino.pdf: 471351 bytes, checksum: 1f36e6eede1104b5d6929ee8ed8aba91 (MD5) Previous issue date: 2009 / Este trabalho emprega um método de matriz de transferência para estudar a cadeia linear de Ising com interações de longo alcance, podendo estas interações serem do tipo ferromagnéticas ou antiferromagnéticas; o tipo de interação varia periodicamente de acordo com a distância e sua intensidade com a distância como uma lei de potência. Deste modo foi possível obter propriedades termodinâmicas do sistema como a energia livre, a entropia e o calor específico. Alguns resultados interessantes foram obtidos com o cálculo destas propriedades como a ocorrência de entropia residual. Contudo o objeto de investigação principal desta dissertação é a validade de uma conjectura proposta por Tsallis que estabelece que sistemas com interações de longo alcance, como os deste trabalho, obedecem a um escalamento proposto por ele, a ser explicado ao longo deste trabalho. Estes tipos de sistema geralmente não obedecem ao escalamento usual, para todo valor do expoente de decaimento das interações, ocasionando divergências nas funções termodinâmicas intensivas usuais.Também se iniciou um estudo da transição de fase para uma das cadeias apresentadas. Este estudo não é muito conclusivo, mas indica como se proceder em trabalhos futuros. Este estudo envolve análise da função de correlação, que é obtida com o método da matriz de transferência apresentado nesta dissertação. Foi obtida uma série de temperaturas críticas para cadeia finitas em uma das situações mostradas, e, com esses valores pode-se estimar a temperatura críitica da cadeia infinita com técnicas como a dos aproximantes do Padé. / Salvador

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Albânia Cézar de Melo (albania@bce.unb.br) on 2016-12-23T12:19:10Z No. of bitstreams: 1 2016_RobertoVilaGabriel.pdf: 9781683 bytes, checksum: 3fe0f89ca8df223ebdacbaf2a11fb635 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2017-02-10T21:03:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_RobertoVilaGabriel.pdf: 9781683 bytes, checksum: 3fe0f89ca8df223ebdacbaf2a11fb635 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-10T21:03:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_RobertoVilaGabriel.pdf: 9781683 bytes, checksum: 3fe0f89ca8df223ebdacbaf2a11fb635 (MD5) / Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da agência de fomento à pesquisa, CNPq. / Este trabalho é concernente à teoria básica de percolação e representações gráficas para o modelo de Ising/Potts sobre látices com presença de campos externos invariantes e não invariantes por translação. Descrevemos, explicitamente, em termos do modelo de aglomerados aleatórios, a função distribuição e, em consequência, o valor esperado de um único spin para os modelos de Ising e de Potts de q-estados com campos externos gerais. Consideramos, também, os estados de Gibbs para a representação do modelo de Potts com campo magnético invariante e não invariante por translação, e provamos uma versão da desigualdade FKG para o chamado modelo de aglomerados aleatórios geral (modelo GRC), com condição de fronteira livre e conectada no caso invariante e não invariante translacional. Adicionando a hipótese de amenabilidade sobre o látice, obtemos a unicidade do aglomerado infinito e a quase-localidade (quase certa) das medidas de Gibbs para o modelo GRC com tais campos magnéticos. Como uma aplicação da teoria desenvolvida, mostramos a unicidade das medidas de Gibbs para o modelo de Ising ferromagnético, com campo magnético decaindo segundo uma lei de potência com potência suficientemente pequena, como conjecturado em [23]. Finalmente, apresentamos uma pequena introdução e alguns resultados sobre distância Mallows, dando algumas relações com as medidas de Gibbs apresentadas previamente. / This work is concerned with the basic theory of percolation and graphical representation for the Ising and Potts models over general lattices with invariant and non-translation invariant external field. We explicitly describe in terms of the random-cluster representation the distribution function and, consequently, the expected value of a single spin for the Ising and q-state Potts models with general external fields. We also consider the Gibbs states for the Edwards-Sokal representation of the Potts model with invariant and non-translation invariant magnetic field and prove a version of the FKG inequality for the so called general random-cluster model (GRC model) with free and wired boundary conditions in the invariant and non-translation invariant case. Adding the amenability hypothesis on the lattice, we obtain the uniqueness of the infinite connected component and the almost sure quasilocality of the Gibbs measures for the GRC model with such general magnetic fields. As a application of the theory developed, we show the uniqueness of the Gibbs measures for the ferromagnetic Ising model with a positive power-law decay magnetic field with small enough power, as conjectured in [23]. Finally we present a brief introduction and some results on Mallows distance giving some relationship with Gibbs measures presented previously.

Neste trabalho apresentamos alguns resultados da invariância conforme e da teoria de escala para sistemas finitos. Estudamos, usando tais técnicas, dois modelos estatísticos (modelos 1 e 2). Para cada modelo obtivemos a anomalia conforme e as dimensões dos operadores energia e magnetização bem como seus respectivos descendentes / In this work we show some results of conformal invariance theory and finite-size scaling. We study by using these theories two statistical mechanics models (models 1 and 2). To each model we obtained the conformal anomaly, the dimensions of energy and magnetization operators as well their respective descendents

Neste trabalho se estudou um modelo de Ising unidimensional com interações competitivas de curto e longo alcance, na presença de campo externo. O modelo é exatamente solúvel e apresenta um rico comportamento de fases, com a presença de regiões do espaço de parâmetros com transições de primeira e segunda ordens, e um ponto multicrítico. Foi obtida a solução exata do modelo, já conhecida na literatura, embora alguns aspectos do diagrama de fases ainda não tenham sido devidamente explorados. O objetivo principal do estudo foi determinar a existência ou não de um comportamento reentrante na magnetização, que ocasiona magnetizações nulas em temperaturas baixas. Comportamentos reentrantes têm sido observados em sistemas frustrados bi e tridimensionais, tanto em modelos analíticos quanto experimentalmente. No presente modelo não foi observado comportamento reentrante, mas salienta-se a existência de comportamentos singulares no parâmetro de ordem que resulta em modulações nas correlações espaciais. / In the present work, an unidimensional Ising model with long and short ranged interactions has been studied in the presence of an external applied field. The model is analytically solvable and displays a rich variety of phase behaviors, including regions in parameters space with first and second order transitions and a multicritical point. The exact solution for the model has been calculated and it is well known by the scientific literature, but some features, especially regarding the phase diagram, are yet to be explored. The main aim of this study was to determine if there is a reentrant behavior in the magnetization parameter, resulting in zero magnetizations at low temperatures. Reentrant behavior has been observed in frustrated and two-dimendional systems, in experimental systems as well as analytic models. In the present work a reentrant behavior was not found, however there is a big set of different behaviors in the order parameter generating modulations in the spatial correlations.

Neste trabalho consideramos três modelos de Ising com competição: que é gerada por acoplamentos dinâmicos de caráter antagônicos, pela própria geometria da rede subjacente ou através de interações de periodicidades uniaxiais competitivas e elementos de desordem. O primeiro modelo, no qual as técnicas de mecânica estatística de equilíbrio não se aplicam, consiste numa rede neural atratora completamente conectada com acoplamentos assimétricos armazenando p = 2 padrões, cuja evolução temporal pode ser descrita (no caso de atualização síncrona) por um mapeamento dissipativo bidimensional. O segundo modelo se refere ao problema clássico do antiferromagneto de Ising na rede triangular na presença de um campo magnético uniforme, investigado através de diversas aproximações - em particular, através de uma aproximação de Bethe-Peierls considerando três sub-redes interpenetrantes equivalentes. O terceiro modelo, introduzido para investigar o efeito de uma desordem congelada em um sistema magnético modulado, é definido pelo modelo ANNNI em um campo aleatório. Inicialmente consideramos um análogo deste modelo na árvore de Cayley, no limite de coordenação infinita, que pode ser formulado em termos de um mapeamento dissipativo bidimensional. A seguir, consideramos uma versão de campo médio em uma rede cúbica simples. que permite uma análise das superfícies de transição de primeira ordem e das linhas tricriticas. / In this work we consider three Ising models with competition: which is generated by dynamical couplings of antagonistic character, by the geometry of the underlying lattice, or by interactions of competitive uniaxial periodicities and disorder elements. The first model, for which equilibrium statistical mechanics techniques do not apply, consists in a fully connected attractor neural network storing p = 2 patterns, whose temporal evolution can be described (in the case of synchronous updating) by a two-dimensional dissipative mapping. The second model refers to the classic problem of the Ising antiferromagnet on the triangular lattice in the presence of a uniform magnetic field, which is investigated by various approximations - in particular, by a Bethe-Peierls approximation considering three interpenetrating equivalent sublattices. The third model, introduced to investigate the effects of quenched disorder in a modulated magnetic system, is defined by the ANNNI model in a random field. Initially we consider an analogous of this model on a Cayley tree, in the infinite-coordination limit, which can be formulated in terms of a two-dimensional dissipative mapping. Next, we consider a mean-field version on a simple cubic lattice, which allows for an analysis of the first-order transition surfaces and tricritical lines.

Neste trabalho consideramos três modelos de Ising com competição: que é gerada por acoplamentos dinâmicos de caráter antagônicos, pela própria geometria da rede subjacente ou através de interações de periodicidades uniaxiais competitivas e elementos de desordem. O primeiro modelo, no qual as técnicas de mecânica estatística de equilíbrio não se aplicam, consiste numa rede neural atratora completamente conectada com acoplamentos assimétricos armazenando p = 2 padrões, cuja evolução temporal pode ser descrita (no caso de atualização síncrona) por um mapeamento dissipativo bidimensional. O segundo modelo se refere ao problema clássico do antiferromagneto de Ising na rede triangular na presença de um campo magnético uniforme, investigado através de diversas aproximações - em particular, através de uma aproximação de Bethe-Peierls considerando três sub-redes interpenetrantes equivalentes. O terceiro modelo, introduzido para investigar o efeito de uma desordem congelada em um sistema magnético modulado, é definido pelo modelo ANNNI em um campo aleatório. Inicialmente consideramos um análogo deste modelo na árvore de Cayley, no limite de coordenação infinita, que pode ser formulado em termos de um mapeamento dissipativo bidimensional. A seguir, consideramos uma versão de campo médio em uma rede cúbica simples. que permite uma análise das superfícies de transição de primeira ordem e das linhas tricriticas. / In this work we consider three Ising models with competition: which is generated by dynamical couplings of antagonistic character, by the geometry of the underlying lattice, or by interactions of competitive uniaxial periodicities and disorder elements. The first model, for which equilibrium statistical mechanics techniques do not apply, consists in a fully connected attractor neural network storing p = 2 patterns, whose temporal evolution can be described (in the case of synchronous updating) by a two-dimensional dissipative mapping. The second model refers to the classic problem of the Ising antiferromagnet on the triangular lattice in the presence of a uniform magnetic field, which is investigated by various approximations - in particular, by a Bethe-Peierls approximation considering three interpenetrating equivalent sublattices. The third model, introduced to investigate the effects of quenched disorder in a modulated magnetic system, is defined by the ANNNI model in a random field. Initially we consider an analogous of this model on a Cayley tree, in the infinite-coordination limit, which can be formulated in terms of a two-dimensional dissipative mapping. Next, we consider a mean-field version on a simple cubic lattice, which allows for an analysis of the first-order transition surfaces and tricritical lines.

O conceito de heterogeneidade de tamanhos de domínios (Heq), definido como o número de tamanhos distintos de domínios existentes em determinada configuração de um sistema, foi recentemente introduzido no contexto do modelo de percolação explosiva. Além de introduzir um novo expoente de escala, o mesmo se mostrou útil em outros problemas da mecânica estatística de equilíbrio, como o de percolação aleatória, bem como nos modelos de Ising e Potts. Neste trabalho, aplicamos e medimos esta quantidade em situações fora do equilíbrio. Em particular, após submetermos os modelos de Ising e Potts a um súbito resfriamento, a partir de um estado de equilíbrio de alta temperatura, para uma temperatura crítica ou subcrítica, T > Tc, medimos a evolução temporal de H(t). Mostramos que o comportamento para tempos grandes é uma lei de potência com expoentes diferentes para os casos crítico e subcrítico. Adicionalmente, o comportamento para tempos pequenos apresenta ainda um máximo no valor de H(t), quando a temperatura inicial é T0 → Ѡ. Apresentamos um extenso conjunto de dados de simulação que apoiam essas conclusões e discutimos perspectivas futuras, com o objetivo de tentar compreender melhor o comportamento de H(t). / The concept of domain size heterogeneity (Heq), the number of distinct domain sizes occurring in a given con guration, was recently introduced in the context of explosive percolation. Besides introducing a new scaling exponent, it was shown to be useful in other classical equilibrium statistical mechanics problems, like random percolation, and the Ising and Potts models. Here we apply and measure this quantity for out of equilibrium situations. In particular, after quenching the Ising and Potts models from a high temperature equilibrium state, T > Tc, to a critical or subcritical temperature, T Tc, we measure the time evolution of H(t). We show that the long time behavior is power law with di erent exponents for critical and subcritical coarsening. Moreover, the short time behavior also presents a surprising maximum of H(t) when the initial temperature is T0 → Ѡ. We present extensive simulation data supporting these conclusions and discuss future perspectives, in order to help understand the overall behavior of H(t).