Seja Uln sistema econômico, que envolve n indústrias interdependentes tais que cada indústria produz um único tipo de artigo. Denotemos com t ij a quantidade da entrada (insumo) da iêsima mercadoria que a economia necessita para produzir uma unidade da mercadoria} de saída (produto). A matriz T := [ tlj ] de insumo-produto de Leontief é uma matriz não-negativa. Descreveremos as propriedades das matrizes não-negativas, necessárias para uma análise matemática do modelo de Leontief. Se esse modelo descreve uma economia viável, a soma dos elementos em cada coluna de T será menor ou igual a l. Suponhamos mais que o sistema econômico modelado contenha um setor aberto, onde trabalho, lucro, etc. entram como segue. Seja x, o produto total que a indústria i requer para atender à demanda do setor aberto e das n indústrias. Então x = Tx + d, onde d := [ d,] é o vetor das demandas, isto é, d; é a demanda do s~tor aberto sobre a indústria iésúna. Aqui l;JXj representa o insumo que a j ésima indústria necessita da i•s•ma indústria. Os níveis de produção requeridos pela totalidade das n indústrias, a fim de poder atender a essas demandas, constituem o vetor-solução do sistema linear Ax = d, com A := I- T. Como a soma dos elementos de cada coluna de T é menor ou igual a I; o raio espectral de T também é menor ou igual a 1. Quando o raio espectral é menor que 1, T é convergente e A tem um inversa com todos os elementos não-negativos (matriz não-negativa). Discutiremos as matrizes não-negativas. Além disso, os elementos não-diagonais de A := I - T são todos negativos ou nulos. Matrizes com esse quadro de sinais, cujas inversas são não-negativas, são ditas matrizes-M não-singulares. Discutjremos também as matrizes-M não-singulares e singulares. O objetivo principal deste trabalho é a apl icação interessante da teoria das matrizes nãonegativas e matrizes-M, na análise do modelo de Leontief descrito muito brevemente acima, resultando um método elegante de análise de insumo-produto. / Let us consid~r an economic system, that involves n interdependent industries, assuming that each industry produces only one type of commodities. Let tij denote the amount of input ofthe ith commodity needed by the economy to produce a unit output o f commodity j. The Leontief input-output matrix T := [ tij] is a nonnegative matrix. We will describe the properties of nonnegative matrices, necessary for a mathematical analysis ofthe Leontiefs model. Ifthat model describes an economically feasible situation, the sum of the elements in each column of T does not exceed I. Let us further suppose that the modeled economic system contains an open sector, where labor, profit, etc. enter in the following way. Let x, be the total output o f the industry i required to meet the demand o f the open sector and ali n industries. Then x = Tx + d, where d := [ d; ], is the vector ofthe demands, that is, d; is the demand of the open sector from the ith industry. Here li]Xj represents the input requirement of the jth industry from the ith. The output leveis required o f the totality o f the n industries, in order to meet these demands, are the solution vector x ofthe linear system Ax = d, with A :=I- T. As the sum ofthe elements of each column ofT is at most I, it follows that the spectral radius ofT is also at most I. When the spectral radius is less than 1, T is convergent and A is inverse-positive, that is, A'1 is a nonnegative matrix. We will discuss the nonnegative matrices. Besides, A:= I - T has ali its off-diagonal entries nonpositive. Jnverse-positive matrices with this sign pattem are called nonsingular M-matrices. We will also discuss nonsingular and singular M-matrices. The main goal of this work is the interesting appl ication of the nonnegative matrices and M-matrices theory to the analysis ofthe Leontiefs model, described very shortly above, resulting in an elegant method o f input-output analysis.

Submitted by Maria Medeiros (maria.dilva1@ufcg.edu.br) on 2018-06-18T12:11:40Z No. of bitstreams: 1 PEDRO CÉZAR PEREIRA COELHO - TESE (PPGRN) 2016.pdf: 1878473 bytes, checksum: d39580ba38e3efab805eaccf1049f4a4 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-06-18T12:11:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PEDRO CÉZAR PEREIRA COELHO - TESE (PPGRN) 2016.pdf: 1878473 bytes, checksum: d39580ba38e3efab805eaccf1049f4a4 (MD5) Previous issue date: 2016 / O modelo insumo-produto é uma teoria amplamente utilizada na economia que ao longo das últimas duas décadas teve sua aplicação estendida a diversas áreas do conhecimento. Nos últimos dez anos alguns pesquisadores usaram esse conceito para mensurar as relações econômicas associadas a demanda de água para setores da economia em cidades com características de escassez de recursos hídricos. Neste trabalho foram mensuradas algumas relações de consumo direto e indireto de água dos setores agropecuário, industrial, comercial e público a nível municipal, estadual e nacional. Na região abastecida pela Barragem Epitácio Pessoa os setores agropecuário e comercial apresentaram elevados percentuais de consumo direto de água, da ordem de 88% e 71%, respectivamente, enquanto o industrial apresentou percentual de 97% de consumo indireto em relação ao total de consumo. Para cada um metro cúbico de aumento de demanda de água, o setor industrial provoca um consumo adicional no agropecuário de 27 m3. No estado da Paraíba para cada aumento de um metro cúbico de água no setor industrial provoca aumento no setor agropecuário de 8 m3. O setor agropecuário apresentou para todos os Estados da federação elevado consumo direto de água, sendo a região Nordeste, a maior consumidora, com 35% do total, enquanto o maior consumo de água na forma virtual (consumo indireto) no Brasil encontra-se no setor industrial. No setor industrial, cada metro cúbico consumido diretamente provoca, no mesmo, a nível nacional um consumo médio adicional de água de 2 m3 e no setor agropecuário de 9 m3. / The input-output model is a theory widely used in the economy over the past two decades which has been applied to various areas of knowledge. Some researchers have used this concept to measure the economic relations associated with water demand for economy areas in with shortages of fresh water. In this work we have measured water relationship (direct and indirect form) from agricultural, industrial, commercial and public sectors for municipal, state and national levels in Brazil. In the Epitácio Pessoa Dan, the agricultural and commercial sectors showed a high percentage of direct water use of 88% and 71%, respectively, while the industrial sector is 97% as indirect consumption. For each one cubic meter increase of water demand, the industrial sector causes an additional water consumption in the agricultural sector of 27 m3. In the state of Paraíba, for each one cubic meter of water increase the industrial sector leads to an increase in agricultural sector of 8 m3. The agricultural sector showed high direct water consumption in all states of Brazil. The Northeast region is the largest water consumer with 35% of the total, while the highest water consumption in virtual form (indirect consumption) in Brazil is the industrial sector. In the industrial sector, for each one cubic meter consumed directly causes an additional national water consumption of 2 m3 while for the agricultural sector is 9 m3.

Seja Uln sistema econômico, que envolve n indústrias interdependentes tais que cada indústria produz um único tipo de artigo. Denotemos com t ij a quantidade da entrada (insumo) da iêsima mercadoria que a economia necessita para produzir uma unidade da mercadoria} de saída (produto). A matriz T := [ tlj ] de insumo-produto de Leontief é uma matriz não-negativa. Descreveremos as propriedades das matrizes não-negativas, necessárias para uma análise matemática do modelo de Leontief. Se esse modelo descreve uma economia viável, a soma dos elementos em cada coluna de T será menor ou igual a l. Suponhamos mais que o sistema econômico modelado contenha um setor aberto, onde trabalho, lucro, etc. entram como segue. Seja x, o produto total que a indústria i requer para atender à demanda do setor aberto e das n indústrias. Então x = Tx + d, onde d := [ d,] é o vetor das demandas, isto é, d; é a demanda do s~tor aberto sobre a indústria iésúna. Aqui l;JXj representa o insumo que a j ésima indústria necessita da i•s•ma indústria. Os níveis de produção requeridos pela totalidade das n indústrias, a fim de poder atender a essas demandas, constituem o vetor-solução do sistema linear Ax = d, com A := I- T. Como a soma dos elementos de cada coluna de T é menor ou igual a I; o raio espectral de T também é menor ou igual a 1. Quando o raio espectral é menor que 1, T é convergente e A tem um inversa com todos os elementos não-negativos (matriz não-negativa). Discutiremos as matrizes não-negativas. Além disso, os elementos não-diagonais de A := I - T são todos negativos ou nulos. Matrizes com esse quadro de sinais, cujas inversas são não-negativas, são ditas matrizes-M não-singulares. Discutjremos também as matrizes-M não-singulares e singulares. O objetivo principal deste trabalho é a apl icação interessante da teoria das matrizes nãonegativas e matrizes-M, na análise do modelo de Leontief descrito muito brevemente acima, resultando um método elegante de análise de insumo-produto. / Let us consid~r an economic system, that involves n interdependent industries, assuming that each industry produces only one type of commodities. Let tij denote the amount of input ofthe ith commodity needed by the economy to produce a unit output o f commodity j. The Leontief input-output matrix T := [ tij] is a nonnegative matrix. We will describe the properties of nonnegative matrices, necessary for a mathematical analysis ofthe Leontiefs model. Ifthat model describes an economically feasible situation, the sum of the elements in each column of T does not exceed I. Let us further suppose that the modeled economic system contains an open sector, where labor, profit, etc. enter in the following way. Let x, be the total output o f the industry i required to meet the demand o f the open sector and ali n industries. Then x = Tx + d, where d := [ d; ], is the vector ofthe demands, that is, d; is the demand of the open sector from the ith industry. Here li]Xj represents the input requirement of the jth industry from the ith. The output leveis required o f the totality o f the n industries, in order to meet these demands, are the solution vector x ofthe linear system Ax = d, with A :=I- T. As the sum ofthe elements of each column ofT is at most I, it follows that the spectral radius ofT is also at most I. When the spectral radius is less than 1, T is convergent and A is inverse-positive, that is, A'1 is a nonnegative matrix. We will discuss the nonnegative matrices. Besides, A:= I - T has ali its off-diagonal entries nonpositive. Jnverse-positive matrices with this sign pattem are called nonsingular M-matrices. We will also discuss nonsingular and singular M-matrices. The main goal of this work is the interesting appl ication of the nonnegative matrices and M-matrices theory to the analysis ofthe Leontiefs model, described very shortly above, resulting in an elegant method o f input-output analysis.

Seja Uln sistema econômico, que envolve n indústrias interdependentes tais que cada indústria produz um único tipo de artigo. Denotemos com t ij a quantidade da entrada (insumo) da iêsima mercadoria que a economia necessita para produzir uma unidade da mercadoria} de saída (produto). A matriz T := [ tlj ] de insumo-produto de Leontief é uma matriz não-negativa. Descreveremos as propriedades das matrizes não-negativas, necessárias para uma análise matemática do modelo de Leontief. Se esse modelo descreve uma economia viável, a soma dos elementos em cada coluna de T será menor ou igual a l. Suponhamos mais que o sistema econômico modelado contenha um setor aberto, onde trabalho, lucro, etc. entram como segue. Seja x, o produto total que a indústria i requer para atender à demanda do setor aberto e das n indústrias. Então x = Tx + d, onde d := [ d,] é o vetor das demandas, isto é, d; é a demanda do s~tor aberto sobre a indústria iésúna. Aqui l;JXj representa o insumo que a j ésima indústria necessita da i•s•ma indústria. Os níveis de produção requeridos pela totalidade das n indústrias, a fim de poder atender a essas demandas, constituem o vetor-solução do sistema linear Ax = d, com A := I- T. Como a soma dos elementos de cada coluna de T é menor ou igual a I; o raio espectral de T também é menor ou igual a 1. Quando o raio espectral é menor que 1, T é convergente e A tem um inversa com todos os elementos não-negativos (matriz não-negativa). Discutiremos as matrizes não-negativas. Além disso, os elementos não-diagonais de A := I - T são todos negativos ou nulos. Matrizes com esse quadro de sinais, cujas inversas são não-negativas, são ditas matrizes-M não-singulares. Discutjremos também as matrizes-M não-singulares e singulares. O objetivo principal deste trabalho é a apl icação interessante da teoria das matrizes nãonegativas e matrizes-M, na análise do modelo de Leontief descrito muito brevemente acima, resultando um método elegante de análise de insumo-produto. / Let us consid~r an economic system, that involves n interdependent industries, assuming that each industry produces only one type of commodities. Let tij denote the amount of input ofthe ith commodity needed by the economy to produce a unit output o f commodity j. The Leontief input-output matrix T := [ tij] is a nonnegative matrix. We will describe the properties of nonnegative matrices, necessary for a mathematical analysis ofthe Leontiefs model. Ifthat model describes an economically feasible situation, the sum of the elements in each column of T does not exceed I. Let us further suppose that the modeled economic system contains an open sector, where labor, profit, etc. enter in the following way. Let x, be the total output o f the industry i required to meet the demand o f the open sector and ali n industries. Then x = Tx + d, where d := [ d; ], is the vector ofthe demands, that is, d; is the demand of the open sector from the ith industry. Here li]Xj represents the input requirement of the jth industry from the ith. The output leveis required o f the totality o f the n industries, in order to meet these demands, are the solution vector x ofthe linear system Ax = d, with A :=I- T. As the sum ofthe elements of each column ofT is at most I, it follows that the spectral radius ofT is also at most I. When the spectral radius is less than 1, T is convergent and A is inverse-positive, that is, A'1 is a nonnegative matrix. We will discuss the nonnegative matrices. Besides, A:= I - T has ali its off-diagonal entries nonpositive. Jnverse-positive matrices with this sign pattem are called nonsingular M-matrices. We will also discuss nonsingular and singular M-matrices. The main goal of this work is the interesting appl ication of the nonnegative matrices and M-matrices theory to the analysis ofthe Leontiefs model, described very shortly above, resulting in an elegant method o f input-output analysis.