Este trabalho faz um estudo das vibrações em um nanotubo de carbono com paredes duplas, sob a influência de forças intermoleculares. É considerado o modelo estrutural da viga de Timoshenko sujeito ao efeito de van der Waals. As amplitudes na análise modal são determinadas através da resolução de um problema de autovalor com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais de quarta ordem que dependem não-linearmente do autovalor. A formulção matricial utiliza a base gerada pela função de Green matricial de valor inicial. Esta função depende da resolução de um problema de valor incial com uma equação diferencial escalar de oitava ordem. São apresentados os métodos de Clenshaw e Urabe para a resolução aproximada com o uso de expansão em série com os polinômios de Chebyshev. / This work makes a study of the vibrations in a double-walled carbon nanotube, under the influence of intermolecular forces. It is considered the structural model of the Timoshenko beam of subject to the effect of van der Waals. The amplitudes in modal analysis are determined by solving an eigenvalue problem with a second-order linear differential equation whose matrix coefficients re of fourth-order and depend non-linearly upon the eigenvalue. The matrix formulation employs a basis generated by the initial value Green matrix function. This function depends on resolution of an initial value problem with an eight-order scalar differential equations. The methods of of Clenshaw and Urabe are presented for the approximate solving with the use of series expansions with the polynomials of Chebyshev.

Este trabalho faz um estudo das vibrações em um nanotubo de carbono com paredes duplas, sob a influência de forças intermoleculares. É considerado o modelo estrutural da viga de Timoshenko sujeito ao efeito de van der Waals. As amplitudes na análise modal são determinadas através da resolução de um problema de autovalor com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais de quarta ordem que dependem não-linearmente do autovalor. A formulção matricial utiliza a base gerada pela função de Green matricial de valor inicial. Esta função depende da resolução de um problema de valor incial com uma equação diferencial escalar de oitava ordem. São apresentados os métodos de Clenshaw e Urabe para a resolução aproximada com o uso de expansão em série com os polinômios de Chebyshev. / This work makes a study of the vibrations in a double-walled carbon nanotube, under the influence of intermolecular forces. It is considered the structural model of the Timoshenko beam of subject to the effect of van der Waals. The amplitudes in modal analysis are determined by solving an eigenvalue problem with a second-order linear differential equation whose matrix coefficients re of fourth-order and depend non-linearly upon the eigenvalue. The matrix formulation employs a basis generated by the initial value Green matrix function. This function depends on resolution of an initial value problem with an eight-order scalar differential equations. The methods of of Clenshaw and Urabe are presented for the approximate solving with the use of series expansions with the polynomials of Chebyshev.

Este trabalho faz um estudo das vibrações em um nanotubo de carbono com paredes duplas, sob a influência de forças intermoleculares. É considerado o modelo estrutural da viga de Timoshenko sujeito ao efeito de van der Waals. As amplitudes na análise modal são determinadas através da resolução de um problema de autovalor com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais de quarta ordem que dependem não-linearmente do autovalor. A formulção matricial utiliza a base gerada pela função de Green matricial de valor inicial. Esta função depende da resolução de um problema de valor incial com uma equação diferencial escalar de oitava ordem. São apresentados os métodos de Clenshaw e Urabe para a resolução aproximada com o uso de expansão em série com os polinômios de Chebyshev. / This work makes a study of the vibrations in a double-walled carbon nanotube, under the influence of intermolecular forces. It is considered the structural model of the Timoshenko beam of subject to the effect of van der Waals. The amplitudes in modal analysis are determined by solving an eigenvalue problem with a second-order linear differential equation whose matrix coefficients re of fourth-order and depend non-linearly upon the eigenvalue. The matrix formulation employs a basis generated by the initial value Green matrix function. This function depends on resolution of an initial value problem with an eight-order scalar differential equations. The methods of of Clenshaw and Urabe are presented for the approximate solving with the use of series expansions with the polynomials of Chebyshev.

Considerando uma viga uniforme do tipo Timoshenko com condições de contorno livre-livre, Geist e McLaughlin em [8]apresentam uma condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas. Esta condição foi obtida usando a formulação espectral, método clássico encontrado na literatura, para as equações de quarta ordem desacopladas do modelo de Timoshenko. O método clássico requer a obtenção de um vetor constante com oito componentes para que a solução deste modelo seja conhecida. Segundo Claeyssen [2], [3], [4], [5], [6], a solução do modelo de Timoshenko pode ser obtida usando a base dinâmica gerada por uma resposta impulso-matricial fundamental. Este método permite encontrar a solução do modelo de Timoshenko usando as equações de segunda ordem acopladas. Além disso, para que a solução seja conhecida é necessário obter um vetor constante com quatro componentes. O objetivo deste trabalho é estudar a condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas, apresentada por Geist e McLaughlin, para uma viga uniforme do tipo timoshenko com condições de contorno livre-livre e verificar se é possível obter esta mesma condição quando é utilizada a base dinâmica para obter a solução deste modelo.

Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

Considerando uma viga uniforme do tipo Timoshenko com condições de contorno livre-livre, Geist e McLaughlin em [8]apresentam uma condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas. Esta condição foi obtida usando a formulação espectral, método clássico encontrado na literatura, para as equações de quarta ordem desacopladas do modelo de Timoshenko. O método clássico requer a obtenção de um vetor constante com oito componentes para que a solução deste modelo seja conhecida. Segundo Claeyssen [2], [3], [4], [5], [6], a solução do modelo de Timoshenko pode ser obtida usando a base dinâmica gerada por uma resposta impulso-matricial fundamental. Este método permite encontrar a solução do modelo de Timoshenko usando as equações de segunda ordem acopladas. Além disso, para que a solução seja conhecida é necessário obter um vetor constante com quatro componentes. O objetivo deste trabalho é estudar a condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas, apresentada por Geist e McLaughlin, para uma viga uniforme do tipo timoshenko com condições de contorno livre-livre e verificar se é possível obter esta mesma condição quando é utilizada a base dinâmica para obter a solução deste modelo.

Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

Considerando uma viga uniforme do tipo Timoshenko com condições de contorno livre-livre, Geist e McLaughlin em [8]apresentam uma condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas. Esta condição foi obtida usando a formulação espectral, método clássico encontrado na literatura, para as equações de quarta ordem desacopladas do modelo de Timoshenko. O método clássico requer a obtenção de um vetor constante com oito componentes para que a solução deste modelo seja conhecida. Segundo Claeyssen [2], [3], [4], [5], [6], a solução do modelo de Timoshenko pode ser obtida usando a base dinâmica gerada por uma resposta impulso-matricial fundamental. Este método permite encontrar a solução do modelo de Timoshenko usando as equações de segunda ordem acopladas. Além disso, para que a solução seja conhecida é necessário obter um vetor constante com quatro componentes. O objetivo deste trabalho é estudar a condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas, apresentada por Geist e McLaughlin, para uma viga uniforme do tipo timoshenko com condições de contorno livre-livre e verificar se é possível obter esta mesma condição quando é utilizada a base dinâmica para obter a solução deste modelo.

Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

É realizado um estudo da dinâmica de vigas segmentadas aplicáveis em microscopia de força atômica (AFM), utilizando os modelos de Euler-Bernoulli e de Timoshenko e uma metodologia introduzida na literatura para vigas segmentadas do tipo Euler-Bernoulli e de vigas uniformes do tipo Timoshenko com uso da resposta impulso distribuída e de respostas fundamentais concentradas. Um estudo da análise modal é realizado com modelos de vigas que incluem materiais piezoelétricos de uso em microscopia de força atômica. São assumidas condições de compatibilidade referentes ao deslocamento, rotação, momento fletor e cisalhamento nos pontos de descontinuidade. É observado que as frequências e os modos de vibração da viga segmentada são sensívieis às descontinuidades nos materiais e na geometria. Na obtenção de respostas forçadas, o método de Galerkin é utilizado para aproximar a resposta impulso distribuída com o uso de autofunções que satisfazem a propriedade dos modos normais. Apresentam-se resultados referentes a vigas bi e trissegmentadas, considerando parâmetros numéricos de teste e usados para vigas em AFM com materiais piezoelétricos. Os resultados modais obtidos neste trabalho são próximos daqueles encontrados na literatura. Vibrações forçadas foram obtidas considerando forçantes do tipo harmônico no tempo e com amplitude espacial dos tipos constante, concentrado e pulso. / This work studies the dynamics of multispan beams used in atomic force microscopy (AFM), considering the models of Euler-Bernoulli and Timoshenko, and applying the methodology introduced in the literature for Euler-Bernoulli segmented beams and uniform Timoshenko beams with the use of distributed impulse responses and concentrated fundamental responses. A study of modal analysis is performed with models of segmented beams, including piezoelectric materials of use in atomic force microscopy. We considered compatibility conditions with respect to the displacement, slope, flexure moment and shear at the points of discontinuity. It is observed that the frequencies and vibrating modes of the segmented beam are sensitive to material and geometric discontinuities. For obtaining forced responses, the Galerkin method is used to approximate the distributed impulse response with eigenfunctions that satisfy the normal mode property. We present results for the bi and tri segmented beams considering numerical testing and those employed for beams in AFM with piezoelectric materials. The modal results obtained in this work are close to those found in the literature. Forced responses were obtained by considering harmonic excitations with spatial amplitude for constant, localized and pulse types.