Este trabalho faz uma pesquisa das vibrações de uma viga elástica não linear de Timoshenko sobre a influência de força axial e com uso do método espectral de Galerkin. O modelo não-linear de Timoshenko é obtido através do principio estendido de Hamilton. A função de energia é derivada de maneira geral, incluindo o caso linear, e com identificação das condições de contorno de natureza conservativa. A determinação das autofunções do sistema linear é realizada através de um problema de autovalor descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais que dependem não - linearmente no autovalor. A ortogonalidade das autofunções é obtida para as condições de contorno clássicas. As correspondentes autofunções são obtidas na base de Euler e na base gerada pela função matricial de Green de valor inicial. O método de Galerkin foi formulado matricialmente e a existência e unicidade foi obtida para uma viga bi-apoiada com o uso da função da energia e dados regulares. / This work investigates the vibrations of a nonlinear elastic Timoshenko beam, subject to an axial force, using the spectral method of Galerkin. The nonlinear model of Timoshenko is obtained through extended Hamilton s principle. The energy function is derived in a general form, including the linear case, and with identi cation of the boundary conditions of conservative nature. The determination of the eigenfunctions of the linear system is done through an eigenvalue problem described by a second-order di erential equation with matrix coe cients that depend non-linearly upon the eigenvalue. The orthogonality of the eigenfunctions is obtained for classical boundary conditions. The corresponding eigenfunctions are determined in the Euler s base and with the base generated by the initial value matrix Green function. The method of Galerkin was formulated in matrix terms and the existence and uniqueness of solutions was obtained for the bi-supported beam with use of the function of the energy and smooth data.

É realizado um estudo sobre o problema do segundo espectro de frequências no modelo de Timoshenko para uma viga bi-apoiada. A equação característica, associada às condições de contorno bi-apoiada, permite determinar dois autovalores que dependem de um inteiro n não negativo, sendo que o de menor módulo está associado ao valor predito pela teoria de Euler-Bernoulli, e o de maior módulo é usualmente referido como sendo do segundo espectro. Este último espectro foi salientado por Traill-Nash e Collar (1953) e desconsiderado por Timoshenko, que utilizou funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno para obter os modos de vibração. Neste trabalho, o modelo de Timoshenko é formulado matricialmente e permite que o estudo dos autovalores e autofunções seja realizado com o uso de uma base da equação modal matricial de segunda ordem completa, gerada por uma solução matricial fundamental. Devido a uma representação analítica desta solução fundamental, o estudo é realizado com o uso da solução de um problema de valor inicial escalar, cujo comportamento torna-se completamente oscilatório acima de um valor crítico. São obtidos resultados que permitem classificar os autovalores como simples e duplos, em ambos os espectros, e determinar seus correspondentes modos. Observa-se que autovalores que correspondem a dois inteiros diferentes e localizados em espectros distintos, porém relativamente próximos, estão associados a modos de vibração descritos por funções trigonométricas que apresentam número de nós bastante diferente. / A study about the problem of the second spectrum of frequencies that arises in the Timoshenko model for a bi-supported beam is accomplished . The characteristic equation associated with the bi-supported boundary conditions allows to determine two eigenvalues that depend of a non-negative integer n, being that the eigenvalue with smaller module is associated to the value predicted by theory of Euler-Bernoulli, and the one with greater module is usually referred as belonging to the second spectrum. This latter spectrum was emphasized by Traill-Nash and Collar (1953) but disregarded by Timoshenko who used trigonometric functions that satisfy the boundary conditions in order to obtain the vibration modes. In this work the model of Timoshenko is formulated in matrix terms and allows that the study of the eigenvalues and eigenfunctions be performed using a basis of a complete second order matrix modal equation, generated by a fundamental matrix solution. Due to an analytical representation of this fundamental solution, the study is done with the solution of a scalar initial value problem, whose behavior becomes completely oscillatory above a critical value. Results are obtained in such a way that allow to classify the eigenvalues as simple and double in both spectra and to determine their corresponding modes. It is observed that eigenvalues that correspond to different integers and localized on distinct spectra, but relatively close together, are associated with vibration modes described by trigonometric functions which have quite different number of nodes.

Este trabalho faz uma pesquisa das vibrações de uma viga elástica não linear de Timoshenko sobre a influência de força axial e com uso do método espectral de Galerkin. O modelo não-linear de Timoshenko é obtido através do principio estendido de Hamilton. A função de energia é derivada de maneira geral, incluindo o caso linear, e com identificação das condições de contorno de natureza conservativa. A determinação das autofunções do sistema linear é realizada através de um problema de autovalor descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais que dependem não - linearmente no autovalor. A ortogonalidade das autofunções é obtida para as condições de contorno clássicas. As correspondentes autofunções são obtidas na base de Euler e na base gerada pela função matricial de Green de valor inicial. O método de Galerkin foi formulado matricialmente e a existência e unicidade foi obtida para uma viga bi-apoiada com o uso da função da energia e dados regulares. / This work investigates the vibrations of a nonlinear elastic Timoshenko beam, subject to an axial force, using the spectral method of Galerkin. The nonlinear model of Timoshenko is obtained through extended Hamilton s principle. The energy function is derived in a general form, including the linear case, and with identi cation of the boundary conditions of conservative nature. The determination of the eigenfunctions of the linear system is done through an eigenvalue problem described by a second-order di erential equation with matrix coe cients that depend non-linearly upon the eigenvalue. The orthogonality of the eigenfunctions is obtained for classical boundary conditions. The corresponding eigenfunctions are determined in the Euler s base and with the base generated by the initial value matrix Green function. The method of Galerkin was formulated in matrix terms and the existence and uniqueness of solutions was obtained for the bi-supported beam with use of the function of the energy and smooth data.

É realizado um estudo sobre o problema do segundo espectro de frequências no modelo de Timoshenko para uma viga bi-apoiada. A equação característica, associada às condições de contorno bi-apoiada, permite determinar dois autovalores que dependem de um inteiro n não negativo, sendo que o de menor módulo está associado ao valor predito pela teoria de Euler-Bernoulli, e o de maior módulo é usualmente referido como sendo do segundo espectro. Este último espectro foi salientado por Traill-Nash e Collar (1953) e desconsiderado por Timoshenko, que utilizou funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno para obter os modos de vibração. Neste trabalho, o modelo de Timoshenko é formulado matricialmente e permite que o estudo dos autovalores e autofunções seja realizado com o uso de uma base da equação modal matricial de segunda ordem completa, gerada por uma solução matricial fundamental. Devido a uma representação analítica desta solução fundamental, o estudo é realizado com o uso da solução de um problema de valor inicial escalar, cujo comportamento torna-se completamente oscilatório acima de um valor crítico. São obtidos resultados que permitem classificar os autovalores como simples e duplos, em ambos os espectros, e determinar seus correspondentes modos. Observa-se que autovalores que correspondem a dois inteiros diferentes e localizados em espectros distintos, porém relativamente próximos, estão associados a modos de vibração descritos por funções trigonométricas que apresentam número de nós bastante diferente. / A study about the problem of the second spectrum of frequencies that arises in the Timoshenko model for a bi-supported beam is accomplished . The characteristic equation associated with the bi-supported boundary conditions allows to determine two eigenvalues that depend of a non-negative integer n, being that the eigenvalue with smaller module is associated to the value predicted by theory of Euler-Bernoulli, and the one with greater module is usually referred as belonging to the second spectrum. This latter spectrum was emphasized by Traill-Nash and Collar (1953) but disregarded by Timoshenko who used trigonometric functions that satisfy the boundary conditions in order to obtain the vibration modes. In this work the model of Timoshenko is formulated in matrix terms and allows that the study of the eigenvalues and eigenfunctions be performed using a basis of a complete second order matrix modal equation, generated by a fundamental matrix solution. Due to an analytical representation of this fundamental solution, the study is done with the solution of a scalar initial value problem, whose behavior becomes completely oscillatory above a critical value. Results are obtained in such a way that allow to classify the eigenvalues as simple and double in both spectra and to determine their corresponding modes. It is observed that eigenvalues that correspond to different integers and localized on distinct spectra, but relatively close together, are associated with vibration modes described by trigonometric functions which have quite different number of nodes.

É realizado um estudo da dinâmica de vigas segmentadas aplicáveis em microscopia de força atômica (AFM), utilizando os modelos de Euler-Bernoulli e de Timoshenko e uma metodologia introduzida na literatura para vigas segmentadas do tipo Euler-Bernoulli e de vigas uniformes do tipo Timoshenko com uso da resposta impulso distribuída e de respostas fundamentais concentradas. Um estudo da análise modal é realizado com modelos de vigas que incluem materiais piezoelétricos de uso em microscopia de força atômica. São assumidas condições de compatibilidade referentes ao deslocamento, rotação, momento fletor e cisalhamento nos pontos de descontinuidade. É observado que as frequências e os modos de vibração da viga segmentada são sensívieis às descontinuidades nos materiais e na geometria. Na obtenção de respostas forçadas, o método de Galerkin é utilizado para aproximar a resposta impulso distribuída com o uso de autofunções que satisfazem a propriedade dos modos normais. Apresentam-se resultados referentes a vigas bi e trissegmentadas, considerando parâmetros numéricos de teste e usados para vigas em AFM com materiais piezoelétricos. Os resultados modais obtidos neste trabalho são próximos daqueles encontrados na literatura. Vibrações forçadas foram obtidas considerando forçantes do tipo harmônico no tempo e com amplitude espacial dos tipos constante, concentrado e pulso. / This work studies the dynamics of multispan beams used in atomic force microscopy (AFM), considering the models of Euler-Bernoulli and Timoshenko, and applying the methodology introduced in the literature for Euler-Bernoulli segmented beams and uniform Timoshenko beams with the use of distributed impulse responses and concentrated fundamental responses. A study of modal analysis is performed with models of segmented beams, including piezoelectric materials of use in atomic force microscopy. We considered compatibility conditions with respect to the displacement, slope, flexure moment and shear at the points of discontinuity. It is observed that the frequencies and vibrating modes of the segmented beam are sensitive to material and geometric discontinuities. For obtaining forced responses, the Galerkin method is used to approximate the distributed impulse response with eigenfunctions that satisfy the normal mode property. We present results for the bi and tri segmented beams considering numerical testing and those employed for beams in AFM with piezoelectric materials. The modal results obtained in this work are close to those found in the literature. Forced responses were obtained by considering harmonic excitations with spatial amplitude for constant, localized and pulse types.

É realizado um estudo da dinâmica de vigas segmentadas aplicáveis em microscopia de força atômica (AFM), utilizando os modelos de Euler-Bernoulli e de Timoshenko e uma metodologia introduzida na literatura para vigas segmentadas do tipo Euler-Bernoulli e de vigas uniformes do tipo Timoshenko com uso da resposta impulso distribuída e de respostas fundamentais concentradas. Um estudo da análise modal é realizado com modelos de vigas que incluem materiais piezoelétricos de uso em microscopia de força atômica. São assumidas condições de compatibilidade referentes ao deslocamento, rotação, momento fletor e cisalhamento nos pontos de descontinuidade. É observado que as frequências e os modos de vibração da viga segmentada são sensívieis às descontinuidades nos materiais e na geometria. Na obtenção de respostas forçadas, o método de Galerkin é utilizado para aproximar a resposta impulso distribuída com o uso de autofunções que satisfazem a propriedade dos modos normais. Apresentam-se resultados referentes a vigas bi e trissegmentadas, considerando parâmetros numéricos de teste e usados para vigas em AFM com materiais piezoelétricos. Os resultados modais obtidos neste trabalho são próximos daqueles encontrados na literatura. Vibrações forçadas foram obtidas considerando forçantes do tipo harmônico no tempo e com amplitude espacial dos tipos constante, concentrado e pulso. / This work studies the dynamics of multispan beams used in atomic force microscopy (AFM), considering the models of Euler-Bernoulli and Timoshenko, and applying the methodology introduced in the literature for Euler-Bernoulli segmented beams and uniform Timoshenko beams with the use of distributed impulse responses and concentrated fundamental responses. A study of modal analysis is performed with models of segmented beams, including piezoelectric materials of use in atomic force microscopy. We considered compatibility conditions with respect to the displacement, slope, flexure moment and shear at the points of discontinuity. It is observed that the frequencies and vibrating modes of the segmented beam are sensitive to material and geometric discontinuities. For obtaining forced responses, the Galerkin method is used to approximate the distributed impulse response with eigenfunctions that satisfy the normal mode property. We present results for the bi and tri segmented beams considering numerical testing and those employed for beams in AFM with piezoelectric materials. The modal results obtained in this work are close to those found in the literature. Forced responses were obtained by considering harmonic excitations with spatial amplitude for constant, localized and pulse types.

É realizado um estudo sobre o problema do segundo espectro de frequências no modelo de Timoshenko para uma viga bi-apoiada. A equação característica, associada às condições de contorno bi-apoiada, permite determinar dois autovalores que dependem de um inteiro n não negativo, sendo que o de menor módulo está associado ao valor predito pela teoria de Euler-Bernoulli, e o de maior módulo é usualmente referido como sendo do segundo espectro. Este último espectro foi salientado por Traill-Nash e Collar (1953) e desconsiderado por Timoshenko, que utilizou funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno para obter os modos de vibração. Neste trabalho, o modelo de Timoshenko é formulado matricialmente e permite que o estudo dos autovalores e autofunções seja realizado com o uso de uma base da equação modal matricial de segunda ordem completa, gerada por uma solução matricial fundamental. Devido a uma representação analítica desta solução fundamental, o estudo é realizado com o uso da solução de um problema de valor inicial escalar, cujo comportamento torna-se completamente oscilatório acima de um valor crítico. São obtidos resultados que permitem classificar os autovalores como simples e duplos, em ambos os espectros, e determinar seus correspondentes modos. Observa-se que autovalores que correspondem a dois inteiros diferentes e localizados em espectros distintos, porém relativamente próximos, estão associados a modos de vibração descritos por funções trigonométricas que apresentam número de nós bastante diferente. / A study about the problem of the second spectrum of frequencies that arises in the Timoshenko model for a bi-supported beam is accomplished . The characteristic equation associated with the bi-supported boundary conditions allows to determine two eigenvalues that depend of a non-negative integer n, being that the eigenvalue with smaller module is associated to the value predicted by theory of Euler-Bernoulli, and the one with greater module is usually referred as belonging to the second spectrum. This latter spectrum was emphasized by Traill-Nash and Collar (1953) but disregarded by Timoshenko who used trigonometric functions that satisfy the boundary conditions in order to obtain the vibration modes. In this work the model of Timoshenko is formulated in matrix terms and allows that the study of the eigenvalues and eigenfunctions be performed using a basis of a complete second order matrix modal equation, generated by a fundamental matrix solution. Due to an analytical representation of this fundamental solution, the study is done with the solution of a scalar initial value problem, whose behavior becomes completely oscillatory above a critical value. Results are obtained in such a way that allow to classify the eigenvalues as simple and double in both spectra and to determine their corresponding modes. It is observed that eigenvalues that correspond to different integers and localized on distinct spectra, but relatively close together, are associated with vibration modes described by trigonometric functions which have quite different number of nodes.

Este trabalho faz uma pesquisa das vibrações de uma viga elástica não linear de Timoshenko sobre a influência de força axial e com uso do método espectral de Galerkin. O modelo não-linear de Timoshenko é obtido através do principio estendido de Hamilton. A função de energia é derivada de maneira geral, incluindo o caso linear, e com identificação das condições de contorno de natureza conservativa. A determinação das autofunções do sistema linear é realizada através de um problema de autovalor descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais que dependem não - linearmente no autovalor. A ortogonalidade das autofunções é obtida para as condições de contorno clássicas. As correspondentes autofunções são obtidas na base de Euler e na base gerada pela função matricial de Green de valor inicial. O método de Galerkin foi formulado matricialmente e a existência e unicidade foi obtida para uma viga bi-apoiada com o uso da função da energia e dados regulares. / This work investigates the vibrations of a nonlinear elastic Timoshenko beam, subject to an axial force, using the spectral method of Galerkin. The nonlinear model of Timoshenko is obtained through extended Hamilton s principle. The energy function is derived in a general form, including the linear case, and with identi cation of the boundary conditions of conservative nature. The determination of the eigenfunctions of the linear system is done through an eigenvalue problem described by a second-order di erential equation with matrix coe cients that depend non-linearly upon the eigenvalue. The orthogonality of the eigenfunctions is obtained for classical boundary conditions. The corresponding eigenfunctions are determined in the Euler s base and with the base generated by the initial value matrix Green function. The method of Galerkin was formulated in matrix terms and the existence and uniqueness of solutions was obtained for the bi-supported beam with use of the function of the energy and smooth data.

E desenvolvida a formulação newtoniana do modelo de Timoshenko para vigas elásticas, através da resposta fundamental, ou função de Green de valor inicial, e da análise modal. São feitas aplicações para o caso de plataformas off-shore e nanotecnologia. A derivação das equações governantes do modelo de Timo-shenko, considerando condições de contorno clássicas e não-clássicas, é feita segundo o princípio extendido de Hamilton. Realiza-se uma análise espectral no sistema de equações diferenciais parciais evolutivas de segunda ordem que governam os modelos, utilizando, na determinação das frequências naturais e autofunções, uma base gerada por uma resposta espacial fundamental. Esta resposta satisfaz um sistema não clássico de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, que inclui um operador diferencial de primeira ordem e um coeficiente de rigidez que depende não-linearmente da frequência natural. A solução analítica do problema é obtida utilizando-se uma fórmula que envolve a resolução de equações características de três tipos: algébrica, diferencial e em diferenças. O estudo de respostas dinâmicas e, em particular, respostas forçadas no domínio da frequência, é considerado para sistemas evolutivos de segunda ordem, com auxílio da formulaçãao do problema adjunto. A função matricial de transferência é calculada de maneira espectral e não-espectral. A caracterização de autovalores duplos acima de valores críticos da frequência para vigas livre-livre é reformulada matricialmente, em termos da base dinâmica. Respostas devido a excitações harmônicas e variadas condições iniciais são simuladas para vários tipos de vigas. Para o comportamento de estruturas flexíveis off-shore modeladas segundo as teorias de Euler-Bernoulli e de Rayleigh e a lei de Morison, é proposta uma extensão à teoria de Timoshenko. Os modos de vibração do modelo de Vlasov para nanotubos são determinados através de limite dos modos correspondentes ao modelo de Timoshenko. Simulações são realizadas para nanotubos de carbono. / It is developed a newtonian formulation of the elastic beam model of Timoshenko, through a fundamental response , or initial value Green's function, and from modal analysis. Applications are considered in offshore structures and nanotechnology. The motion equations of the Timoshenko model, under classical or non classical boundary conditions, are obtained according to the extended Hamilton principle. It is done a spectral analysis of the system of second order evolution partial differential equations that governs the model, using a basis generated by a fundamental spatial response for the determination of the frequencies and eigen- functions. This response satisfies a non classical system of second order ordinary differential equations that includes a first derivative operator and a stiffness coefficient which depends, in a non linear manner, on the natural frequencies. The analytical solution of the problem is obtained by using a formulae which involves the resolution of characteristic equations of three types: algebraic, differential and on differences. The study of dynamical responses and, particularly, of forced responses in the frequency domain, it is considered for second order evolution systems with aid of the adjoint problem formulation. The transfer matrix function is determined by spectral and non spectral means. The characterization of double eigenvalues above critical frequency values for free-free beams is reformulated in matrix form, in terms of the dynamical basis. Responses due to harmonic excitation and various initial conditions are simulated for several types of beams. For the behaviour of flexible offshore structures that are modelled according to Euler-Bernoulli and Rayleigh beam models and subjected to Morison's law, it is proposed a extension for Timoshenko beam theory. The vibration modes of the Vlasov model for nanotubes are obtained as a limit case of the modes corresponding to the Timoshenko model. Simulations are performed for carbon nanotubes.

E desenvolvida a formulação newtoniana do modelo de Timoshenko para vigas elásticas, através da resposta fundamental, ou função de Green de valor inicial, e da análise modal. São feitas aplicações para o caso de plataformas off-shore e nanotecnologia. A derivação das equações governantes do modelo de Timo-shenko, considerando condições de contorno clássicas e não-clássicas, é feita segundo o princípio extendido de Hamilton. Realiza-se uma análise espectral no sistema de equações diferenciais parciais evolutivas de segunda ordem que governam os modelos, utilizando, na determinação das frequências naturais e autofunções, uma base gerada por uma resposta espacial fundamental. Esta resposta satisfaz um sistema não clássico de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, que inclui um operador diferencial de primeira ordem e um coeficiente de rigidez que depende não-linearmente da frequência natural. A solução analítica do problema é obtida utilizando-se uma fórmula que envolve a resolução de equações características de três tipos: algébrica, diferencial e em diferenças. O estudo de respostas dinâmicas e, em particular, respostas forçadas no domínio da frequência, é considerado para sistemas evolutivos de segunda ordem, com auxílio da formulaçãao do problema adjunto. A função matricial de transferência é calculada de maneira espectral e não-espectral. A caracterização de autovalores duplos acima de valores críticos da frequência para vigas livre-livre é reformulada matricialmente, em termos da base dinâmica. Respostas devido a excitações harmônicas e variadas condições iniciais são simuladas para vários tipos de vigas. Para o comportamento de estruturas flexíveis off-shore modeladas segundo as teorias de Euler-Bernoulli e de Rayleigh e a lei de Morison, é proposta uma extensão à teoria de Timoshenko. Os modos de vibração do modelo de Vlasov para nanotubos são determinados através de limite dos modos correspondentes ao modelo de Timoshenko. Simulações são realizadas para nanotubos de carbono. / It is developed a newtonian formulation of the elastic beam model of Timoshenko, through a fundamental response , or initial value Green's function, and from modal analysis. Applications are considered in offshore structures and nanotechnology. The motion equations of the Timoshenko model, under classical or non classical boundary conditions, are obtained according to the extended Hamilton principle. It is done a spectral analysis of the system of second order evolution partial differential equations that governs the model, using a basis generated by a fundamental spatial response for the determination of the frequencies and eigen- functions. This response satisfies a non classical system of second order ordinary differential equations that includes a first derivative operator and a stiffness coefficient which depends, in a non linear manner, on the natural frequencies. The analytical solution of the problem is obtained by using a formulae which involves the resolution of characteristic equations of three types: algebraic, differential and on differences. The study of dynamical responses and, particularly, of forced responses in the frequency domain, it is considered for second order evolution systems with aid of the adjoint problem formulation. The transfer matrix function is determined by spectral and non spectral means. The characterization of double eigenvalues above critical frequency values for free-free beams is reformulated in matrix form, in terms of the dynamical basis. Responses due to harmonic excitation and various initial conditions are simulated for several types of beams. For the behaviour of flexible offshore structures that are modelled according to Euler-Bernoulli and Rayleigh beam models and subjected to Morison's law, it is proposed a extension for Timoshenko beam theory. The vibration modes of the Vlasov model for nanotubes are obtained as a limit case of the modes corresponding to the Timoshenko model. Simulations are performed for carbon nanotubes.