We present a numerical method to solve the optimal transport problem with a quadratic cost when the source and target measures are periodic probability densities. This method relies on a numerical resolution of the corresponding Monge-Ampère equation. We use an existing Newton-like algorithm that we generalize to the case of a non uniform final density. The main idea consists of designing an iterative scheme where the fully nonlinear equation is approximated by a non-constant coefficient linear elliptic PDE that we discretize and solve at each iteration, in two different ways: a second order finite difference scheme and a Fourier transform (FT) method. The FT method, made possible thanks to a preconditioning step based on the coefficient-averaged equation, results in an overall O(P LogP )-operations algorithm, where P is the number of discretization points. We prove that the generalized algorithm converges to the solution of the optimal transport problem, under suitable conditions on the initial and final densities. Numerical experiments demonstrating the robustness and efficiency of the method on several examples of image processing, including an application to multiple sclerosis disease detection, are shown. We also demonstrate by numerical tests that the method is competitive against some other methods available.

Cette thèse porte sur la théorie du pluripotentiel et des problèmes d'équidistribution. Elle consiste en 4 chapitres. Le premier chapitre se consarce à l'étude de la régularité de la solution de l'équation de Monge-Ampère complexe sur une variété kahlérienne compacte X. Plus précisement, à l'aide des outils de la géométrie Cauchy-Riemann, on montre que la dernière équation possède une (unique) solution holdérienne pour une large classe géométrique de mesures de probabilités supportées par des sous-variétés réelles de X. Dans le chapitre 2, on étudie l'intersection des courants positifs fermés de grand bidegré. On y prouve que le produit extérieur de deux courants positifs fermés dont l'un possède un superpotentiel continu est positif fermé. Ceci généralise un résultat classique pour les courants de bidegré (1,1). Les deux chapitres suivants sont des applications de la théorie du pluripotentiel à des problèmes d'équidistribution. Dans le chapitre 3, on donne une vitesse explicite de convergence pour l'équidistribution des points de Fekete dans un compact K de l'espace euclidien à bord lisse par morceaux vers la mesure d'équilibre de K. Ici, les points de Fekete sont des bons points dans le problème d'interpolation d'une fonction continue sur K par des polynômes. Un tel contrôle de vitesse est crucial en pratique qu'on utilise les points de Fekete. La thèse se termine par le chapitre 4 où on prouve un analogue de la loi de Weyl pour les résonances d'un opérateur de Schodinger générique sur l'espace euclidien de dimension impair. Les résonances sont des objets centraux dans l'étude des opérateurs de Schrodinger. Elles jouent un rôle similaire à celui des valeurs propres dans le cadre compact. / This thesis concerns the pluripotential theory and equidistribution problems. It consists of 4 chapters. The first chapter is dedicated to the study of the regularity of the solution of the complexe Monge-Ampère equation on a compact Kahler manifold X. More precisely, using tools from the Cauchy-Riemann geometry, we prove that the last equation possesses a unique Holder continuous solution for a large geometric class of probability measures supported on real submanifolds of X. In the chapter 2, we study the intersecton of positive closed currents of higher bidegree. We prove there that the wedge product of two such currents one of which has a continuous superpotential est closed and positive. This property generalises a classical result for currents of bidegree (1,1). The next two chapters are applications of the pluripotential theory to equidistribution problems. In the chapter 3, we give an explicit speed of convergence for the equidistribution of Fekete's points in a compact subset K of the Euclidean space with piecewise smooth boundary toward the equilibrium measure of K. Here, the Fekete's points are good points for the interpolation problem of continuous functions by polynomials on K. A such control of speed is crucial in practice when ones use Fekete's points. The thesis is ended by the chapter 4 where we prove an analogue of Weyl's law for the resonances of a generic Schrodinger operator on an Euclidean space of odd dimension. The resonances are central objects in the research of Schrodinger operators. They play a similar role to that of eigenvalues in the compact setting.

L'objet de cette thèse est d'étudier la théorie du transport optimal sur un espace de Wiener abstrait. Les résultats qui se trouvent dans quatre principales parties, portent :Sur la convexité de l'entropie relative. On prolongera des résultats connus en dimension finie, sur l'espace de Wiener muni d'une norme uniforme, à savoir que l'entropie relative est (au moins faiblement) 1-convexe le long des géodésiques induites par un transport optimal sur l'espace de Wiener.Sur les mesures à densité logarithmiquement concaves. Le premier des résultats importants consiste à montrer qu'une inégalité de type Harnack est vraie pour le semi-groupe induit par une telle mesure sur l'espace de Wiener. Le second des résultats obtenus nous fournit une inégalité en dimension finie (mais indépendante de la dimension), contrôlant la différence de deux applications de transport optimal.Sur le problème de Monge. On s'intéressera au problème de Monge sur l'espace de Wiener, muni de plusieurs normes : des normes à valeurs finies, ou encore la pseudo-norme de Cameron-Martin.Sur l'équation de Monge-Ampère. Grâce aux inégalités obtenues précédemment, nous serons en mesure de construire des solutions fortes de l'équation de Monge-Ampère (induite par le coût quadratique) sur l'espace de Wiener, sous de faibles hypothèses sur les densités des mesures considérées / The aim of this PhD is to study the optimal transportation theory in some abstract Wiener space. You can find the results in four main parts and they are aboutThe convexity of the relative entropy. We will extend the well known results in finite dimension to the Wiener space, endowed with the uniform norm. To be precise the relative entropy is (at least weakly) geodesically 1-convex in the sense of the optimal transportation in the Wiener space.The measures with logarithmic concave density. The first important result consists in showing that the Harnack inequality holds for the semi-group induced by such a measure in the Wiener space. The second one provides us a finite dimensional and dimension-free inequality which gives estimate on the difference between two optimal maps.The Monge Problem. We will be interested in the Monge Problem on the Wiener endowed with different norms: either some finite valued norms or the pseudo-norm of Cameron-Martin.The Monge-Ampère equation. Thanks to the inequalities obtained above, we will be able to build strong solutions of the Monge-Ampère (those which are induced by the quadratic cost) equation on the Wiener space, provided the considered measures satisfy weak conditions

Cette thèse comporte deux parties: - Dans la première partie, nous traitons d'abord une version kahlérienne du célèbre théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi, puis, un problème de prolongement des courants positifs fermés. Notre motivation provient de la conjecture de Siu sur l'invariance des plurigenres dans le cas d'une famille kahlérienne. En effet, dans la preuve du célèbre théorème d'invariance des plurigenres de Siu, le théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi joue un rôle important. Il est donc naturel de penser que la preuve de la conjecture fera également intervenir un théorème d'extension de type Ohsawa-Takegoshi dans le cas kahlérien. Suite aux difficultés techniques qui proviennent de la régularisation des fonctions quasi-psh sur les variétés kahlériennes compactes, nous obtenons seulement deux cas particuliers du résultat espéré. Pour ce qui est du prolongement des courants positifs fermés, notre résultat est un cas particulier de la conjecture qui prédit que tout courant positif fermé défini sur le fibré central d'une classe de cohomologie kahlérienne tordue par la classe de Chern du fibré canonique admet un prolongement. - Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'unicité des solutions des équations de type Monge-Ampère généralisées. Il s'agit d'une généralisation d'un théorème de Bando-Mabuchi concernant les métriques de Kahler-Einstein sur les variétés de Fano. Nous suivons la méthode introduite par Berndtsson et généralisons son résultat en travaillant avec un courant positif fermé à la place d'une paire klt dans son contexte. Les propriétés de convexité des métriques de Bergman jouent un rôle important dans cette partie / This thesis consists in two parts: -In the first part, we first deal with a Kahler version of the famous Ohsawa-Takegoshi extension theorem; then, a problem of extending the closed positive currents. Our motivation comes from the Siu's conjecture on the invariance of plurigenera over a Kahler family. Indeed, in the proof of his famous theorem, the Ohsawa-Takegoshi theorem plays an important role. It is, therefore, natural to think that the proof for the conjecture involves an extension theorem of Ohsawa-Takegoshi type in the Kahler case. Because of the technical difficulties coming from the regularization process of quasi-psh functions over the compact Kahler manifolds, we only obtain two special cases of the hoped result. As for the extension of closed positive currents, our result is a special case of the conjecture which predicts that every closed positive current defined over the central fiber in a Kahler cohomology class twisted by the first Chern class of the canonical bundle admits an extension. -In the second part, we are interested in the uniqueness of the solutions of the equations of generalized Monge-Ampère type, a generalized Bando-Mabuchi theorem concerning the Kahler-Einstein metrics over Fano manifolds. We follow the method introduced by Berndtsson and generalize his result by working with a closed positive current in place of a klt pair in his context. The properties of the convexity of the Bergman metrics play an important role in this part