Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht die Untersuchung des stochastischen Verhaltens von Lösungen parabolischer Randanfangswertprobleme mit zufälligen Koeffizienten. Aufgaben dieser Art entstehen beispielsweise bei der mathematischen Modellierung von Wärmeleitprozessen in Materialien, deren Wärmeleitfähigkeit als zufällige Größe bzw. als zufällige Funktion angesehen werden kann. Die Modellierung dieser stochastischen Einflüsse erfolgt u. a. mit Hilfe von epsilon-korrelierten Funktionen. Um stochastische Charakteristiken wie Erwartungswert-, Korrelations- und Varianzfunktion der Lösung des Randanfangswertproblems näherungsweise zu ermitteln, werden die Ansätze der Finite-Elemente-Methode (FEM), der Fouriermethode sowie der Stochastischen Simulation gewählt. Die beiden erstgenannten Verfahren erfahren eine Kombination mit der Methode der Störungsrechnung, wodurch sich jeweils Entwicklungen der gesuchten Charakteristiken bis zur zweiten Ordnung bezüglich eines Störungsparameters ergeben. Konkrete Ergebnisse werden für einfache ein- und zweidimensionale Gebiete ermittelt. Die Anwendung der Störungsrechnung wird im Fall der FEM zudem analytisch gerechtfertigt. Die Methode der Stochastischen Simulation nutzt die Approximation der eingehenden zufälligen Funktion durch Moving-Average-Felder. Für die Auswertung der auftretenden Integrale bei Anwendung der FEM werden explizite Formeln angegeben. Für einige Beispiele im ein- und zweidimensionalen Fall erfolgt die numerische Umsetzung sowie die grafische Präsentation der Ergebnisse sowie deren Vergleich für die verschiedenen eingesetzten Methoden. / This work focuses on the stochastic behavior of solutions of parabolic initial value problems with random coefficients. This sort of tasks is a result of modeling heat conduction processes on material whose heat conductivity can be considered as a random value or a random function. Stochastic influences are modeled, among others, by epsilon correlated functions. In order to determine stochastic characteristics like expectation value function, correlation function, and variance function of the problems solution approximately, the finite element method (FEM), the Fourier method, and the Monte Carlo Simulation are chosen. The first two methods are combined with perturbation techniques. This leads to expansions of the characteristics up to the second order with respect to a perturbation parameter. Results are determined for cases of one and two dimensional domains. The applicability of perturbation methods is verified for the FEM-based solution. The Monte Carlo Simulation uses the approximation of random functions by moving average fields. Explicit formulas are given for the evaluation of integrals which appear by applying the FEM. The work ends with the presenting of numerical examples for the one and two dimensional case.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der zufälligen Wärmeausbreitung in beschränkten Gebieten. Dieses Phänomen wird dabei durch eine lineare parabolische Randanfangswertaufabe beschrieben, wobei die Anfangsbedingung und die Neumannrandbedingung als zufällige Felder mit gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden. Des Weiteren werden die zufälligen Felder als homogen und epsilon-korreliert mit einer kleinen Korrelationslänge epsilon > 0 vorausgesetzt und sollen glatte Realisierungen besitzen. Zur Lösung der Randanfangswertaufgabe werden sowohl die klassische Formulierung als auch die Variationsformulierung herangezogen und in diesem Zusammenhang die Fourier Methode sowie die Finite-Elemente Methode betrachtet. Die Finite-Elemente Methode und die Fourier-Methode führen auf einen expliziten funktionalen Zusammenhang zwischen der zufälligen Lösung der betrachteten Randanfangswertaufgabe und den Einflussgrößen, so dass Momentenfunktionen davon abgeleitet werden können. Das Hauptinteresse dieser Arbeit liegt auf der Berechnung dieser Momentenfunktionen, welche durch die gewählten Eigenschaften der stochastischen Einflußgrößen bestimmt werden. Basierend auf dem Finite-Elemente Ansatz bzw. dem Fourier Ansatz werden verschiedene Approximationsmöglichkeiten insbesondere für die Korrelationsfunktion erörtert. Des Weiteren wird die Möglichkeit der Simulation des zufälligen Randanfangswertproblems betrachtet. Hierzu wird zur Simulation der zufälligen Einflussgrößen auf die Theorie von Moving Average Feldern zurückgegriffen. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich dem Vergleich der erhaltenen analytischen Resultate anhand konkreter numerischer Beispiele.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der zufälligen Wärmeausbreitung in beschränkten Gebieten. Dieses Phänomen wird dabei durch eine lineare parabolische Randanfangswertaufabe beschrieben, wobei die Anfangsbedingung und die Neumannrandbedingung als zufällige Felder mit gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden. Des Weiteren werden die zufälligen Felder als homogen und epsilon-korreliert mit einer kleinen Korrelationslänge epsilon > 0 vorausgesetzt und sollen glatte Realisierungen besitzen. Zur Lösung der Randanfangswertaufgabe werden sowohl die klassische Formulierung als auch die Variationsformulierung herangezogen und in diesem Zusammenhang die Fourier Methode sowie die Finite-Elemente Methode betrachtet. Die Finite-Elemente Methode und die Fourier-Methode führen auf einen expliziten funktionalen Zusammenhang zwischen der zufälligen Lösung der betrachteten Randanfangswertaufgabe und den Einflussgrößen, so dass Momentenfunktionen davon abgeleitet werden können. Das Hauptinteresse dieser Arbeit liegt auf der Berechnung dieser Momentenfunktionen, welche durch die gewählten Eigenschaften der stochastischen Einflußgrößen bestimmt werden. Basierend auf dem Finite-Elemente Ansatz bzw. dem Fourier Ansatz werden verschiedene Approximationsmöglichkeiten insbesondere für die Korrelationsfunktion erörtert. Des Weiteren wird die Möglichkeit der Simulation des zufälligen Randanfangswertproblems betrachtet. Hierzu wird zur Simulation der zufälligen Einflussgrößen auf die Theorie von Moving Average Feldern zurückgegriffen. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich dem Vergleich der erhaltenen analytischen Resultate anhand konkreter numerischer Beispiele.

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht die Untersuchung des stochastischen Verhaltens von Lösungen parabolischer Randanfangswertprobleme mit zufälligen Koeffizienten. Aufgaben dieser Art entstehen beispielsweise bei der mathematischen Modellierung von Wärmeleitprozessen in Materialien, deren Wärmeleitfähigkeit als zufällige Größe bzw. als zufällige Funktion angesehen werden kann. Die Modellierung dieser stochastischen Einflüsse erfolgt u. a. mit Hilfe von epsilon-korrelierten Funktionen. Um stochastische Charakteristiken wie Erwartungswert-, Korrelations- und Varianzfunktion der Lösung des Randanfangswertproblems näherungsweise zu ermitteln, werden die Ansätze der Finite-Elemente-Methode (FEM), der Fouriermethode sowie der Stochastischen Simulation gewählt. Die beiden erstgenannten Verfahren erfahren eine Kombination mit der Methode der Störungsrechnung, wodurch sich jeweils Entwicklungen der gesuchten Charakteristiken bis zur zweiten Ordnung bezüglich eines Störungsparameters ergeben. Konkrete Ergebnisse werden für einfache ein- und zweidimensionale Gebiete ermittelt. Die Anwendung der Störungsrechnung wird im Fall der FEM zudem analytisch gerechtfertigt. Die Methode der Stochastischen Simulation nutzt die Approximation der eingehenden zufälligen Funktion durch Moving-Average-Felder. Für die Auswertung der auftretenden Integrale bei Anwendung der FEM werden explizite Formeln angegeben. Für einige Beispiele im ein- und zweidimensionalen Fall erfolgt die numerische Umsetzung sowie die grafische Präsentation der Ergebnisse sowie deren Vergleich für die verschiedenen eingesetzten Methoden. / This work focuses on the stochastic behavior of solutions of parabolic initial value problems with random coefficients. This sort of tasks is a result of modeling heat conduction processes on material whose heat conductivity can be considered as a random value or a random function. Stochastic influences are modeled, among others, by epsilon correlated functions. In order to determine stochastic characteristics like expectation value function, correlation function, and variance function of the problems solution approximately, the finite element method (FEM), the Fourier method, and the Monte Carlo Simulation are chosen. The first two methods are combined with perturbation techniques. This leads to expansions of the characteristics up to the second order with respect to a perturbation parameter. Results are determined for cases of one and two dimensional domains. The applicability of perturbation methods is verified for the FEM-based solution. The Monte Carlo Simulation uses the approximation of random functions by moving average fields. Explicit formulas are given for the evaluation of integrals which appear by applying the FEM. The work ends with the presenting of numerical examples for the one and two dimensional case.