The distribution theory of runs and patterns has a long and rich history. In this dissertation we study the distribution of some run-related statistics in sequences and random permutations of arbitrary multi-sets. Using the finite Markov chain imbedding technique (FMCI), which was proposed by Fu and Koutras (1994), we proposed an alternative method to calculate the exact distribution of the total number of adjacent increasing and adjacent consecutive increasing subsequences in sequences. Fu and Hsieh (2015) obtained the exact distribution of the length of the longest increasing subsequence in random permutations. To the best of our knowledge, little or no work has been done on the exact distribution of the length of the longest increasing subsequence in random permutations of arbitrary multi-sets. Here we obtained the exact distribution of the length of the longest increasing subsequence in random permutations of arbitrary multi-sets. We also obtain the the exact distribution of the length of the longest increasing subsequence for the set of all permutations of length N generated from {1,2,...,n}. / February 2016

Dans la plupart des activités quotidiennes, l’Homme a tendance à utiliser des connaissances imparfaites. L’imperfection se rapporte à trois volets : l’imprécision, l’incertitude et l’incomplétude. Nous thèse concerne les connaissances imprécises. En particulier, nous nous intéressons au traitement qualitatif de l’information imprécise dans les systèmes à base de connaissances. Diverses approches ont été proposées pour traiter les connaissances imprécises, en particulier, la logique floue et la logique multivalente. Les théories des ensembles flous et des multi-ensembles sont un moyen très approprié pour la représentation et la modélisation de l’imprécision.Notre travail s’inscrit dans le contexte de la logique multivalente. Celle-ci permet de représenter symboliquement des connaissances imprécises en utilisant des expressions adverbiales ordonnées du langage naturel. L’utilisation de ces degrés symboliques est plus compréhensible par les experts. Ce type de représentation de données est indépendant du type de leurs domaines de discours. Ainsi, la manipulation des connaissances abstraites ou faisant référence à des échelles numériques se fait de la même manière.Dans la littérature, le traitement de l’information imprécise repose sur une hypothèse implicite de la répartition uniforme des degrés de vérité sur une échelle de 0 à 1. Néanmoins, dans certains cas, un sous-domaine de cette échelle peut être plus informatif et peut inclure plus de termes. Dans ce cas, l’information est définie par des termes déséquilibrés, c’est-à-dire qui ne sont pas uniformément répartis et/ou symétriques par rapport à un terme milieu. Par exemple, pour l’évaluation des apprenants, il est possible de considérer un seul terme négatif F correspondant à l’échec. Quant à la réussite, elle est décrite par plusieurs valeurs de mention, i.e. D, C, B et A. Ainsi, si le terme D est le seuil de la réussite, il est considéré comme le terme milieu avec un seul terme à sa gauche et trois à sa droite. Il s’agit alors d’un ensemble non uniforme.Dans ce travail, nous nous concentrons sur l'extension de la logique multivalente au cas des ensembles non uniformes. En s'appuyant sur notre étude de l'art, nous proposons de nouvelles approches pour représenter et traiter ces ensembles de termes. Tout d'abord, nous introduisons des algorithmes qui permettent de représenter des termes non uniformes à l'aide de termes uniformes et inversement. Ensuite, nous décrivons une méthode pour utiliser des modificateurs linguistiques initialement définis pour les termes uniformes avec des ensembles de termes non uniformes. Par la suite, nous présentons une approche de raisonnement basée sur le modèle du Modus Ponens Généralisé à l'aide des Modificateurs Symboliques Généralisés. Les modèles proposés sont mis en œuvre dans un nouveau système de décision fondé sur des règles pour la reconnaissance de l'odeur de camphre. Nous développons également un outil pour le diagnostic de l'autisme infantile. Les degrés de sévérité de l'atteinte par ce trouble autistique sont représentés par l'échelle d'évaluation de l'autisme infantile (CARS). Il s'agit d'une échelle non uniforme. / In most daily activities, humans use imprecise information derived from appreciation instead of exact measurements to make decisions. Various approaches were proposed to deal with imperfect knowledge, in particular, fuzzy logic and multi-valued logic. In this work, we treat the particular case of imprecise knowledge.Taking into account imprecise knowledge by computer systems is based on their representation by means of linguistic variables. Their values form a set of words expressing the different nuances of the treated information. For example, to judge the beauty of the Mona Lisa or the smell of a flower, it is not possible to give an exact value but an appreciation is given by a term like "beautiful" or "floral".In the literature, dealing with imprecise information relies on an implicit assumption: the distribution of terms is uniform on a scale ranging from 0 to 1. Nevertheless, in some cases, a sub-domain of this scale may be more informative and may include more terms. In this case, knowledge are represented by means of an unbalanced terms set, that is, not uniformly nor symmetrically distributed.We have noticed, in the literature, that in the context of fuzzy logic many researchers have dealt with these term sets. However, it is not the case for multi-valued logic. Thereby, in our work, we aim to establish a methodology to represent and manage this kind of data in the context of multi-valued logic. Two aspects are treated. The first one concerns the representation of terms within an unbalanced multi-set. The second deals with the treatment of such kind of imprecise knowledge, i.e. with symbolic modifiers and in reasoning process.In this work, we focus on unbalanced sets in the context of multi-valued logic. Basing on our study of art, we propose new approaches to represent and treat such term sets. First of all, we introduce algorithms that allow representing unbalanced terms within uniform ones and the inverse way. Then, we describe a method to use linguistic modifiers within unbalanced multi-sets. Afterward, we present a reasoning approach based on the Generalized Modus Ponens model using Generalized Symbolic Modifiers. The proposed models are implemented in a novel rule-based decision system for the camphor odor recognition within unbalanced multi-set. We also develop a tool for child autism diagnosis by means of unbalanced severity degrees of the Childhood Autism Rating Scale (CARS).