Demonstramos a Lei de Weyl sobre o comportamento assintótico dos autovalores do operador Laplaciano com condições de contorno de Dirichlet em domínios limitados e suaves com o auxílio do núcleo do calor. Para isso, fazemos um estudo dos operadores não-limitados, semigrupos e da transformada de Fourier. Por fim, expomos alguns resultados posteriores motivados pelo artigo de Mark Kac \"Can one hear the shape of a drum?\". / We prove the Weyl Law on the asymptotic behavior of eigenvalues of the Laplace operator with Dirichlet boundary conditions in smooth bounded domains with the help of the heat kernel. To that end, we study unbounded operators, semigroups and the Fourier transform. Lastly, we mention some further results motivated by Mark Kac\'s article \"Can one hear the shape of a drum?\".

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, 2014. / Submitted by Alaíde Gonçalves dos Santos (alaide@unb.br) on 2014-05-08T12:47:43Z No. of bitstreams: 1 2014_ArthurAkiraMamiya.pdf: 699573 bytes, checksum: cded9a7d15a91c0ec2da0714e31774c6 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2014-05-23T12:15:20Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_ArthurAkiraMamiya.pdf: 699573 bytes, checksum: cded9a7d15a91c0ec2da0714e31774c6 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-05-23T12:15:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_ArthurAkiraMamiya.pdf: 699573 bytes, checksum: cded9a7d15a91c0ec2da0714e31774c6 (MD5) / Com motivação nas recentes indicações de que gravidade quântica deve ter dimensão espectral dois, nesta dissertação estudou-se a interação entre o Princípio da Ação Espectral e teorias anisotrópicas de gravidade, como a Horava-Lifshitz. Primeiro revisam-se teorias modernas de gravitação anisotrópica, as quais acredita-se levar a teorias quânticas renormalizáveis, ao custo de perder invariância completa por difeomorfismo. Em seguida revisa-se o Princípio da Ação Espectral, o qual é uma prescrição para o cálculo de ações físicas em geometrias espectrais. Posteriormente, calculam-se kernels de calor para laplacianos anisotrópicos e encontra-se uma expressão exata para o fluxo de dimensão espectral do IR para o UV, para espaço-tempos planos. Em seguida, executase a decomposição ADM para a construção de um operador de Dirac anisotrópico, e indica-se um procedimento para o cálculo da Ação Espectral correspondente. Como consequência, restringem-se os parâmetros livres da gravitação anisotrópica de um valor na ordem de uma centena para apenas onze. _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Motivated by recent observations that quantum gravity should have spectral dimension two, in this dissertation we study the mathematical interplay between the Spectral Action Principle and anisotropic theories of gravity, such as Horava-Lifshitz. First, we review modern theories of anisotropic gravity, which are thought to lead to renormalizable quantum theories, at the cost of losing full diffeormorphism invariance. Then we review the Spectral Action Principle, which is a prescription to obtain physical actions in spectral geometries. Afterwards, we calculate heat kernels for anisotropic laplacians, and find an exact expression for the spectral dimension flow from the IR into the UV, for flat spacetimes. Next, we perform an ADM decomposition to construct the anisotropic Dirac operator, and indicate a procedure to calculate the corresponding Spectral Action. This leads us to a scheme to constraint the number of free parameters of anisotropic theories from the order of a hundred into only eleven.