OLIVEIRA, Marcelo Mendes de; ROGÉRIO, José Robério. Aplicações da teoria dos grafos à teoria dos grupos. 2008. 74 f. Dissertação (mestrado)- Universidade Federal do Ceará, Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-CE, 2008. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2011-10-27T13:30:47Z No. of bitstreams: 1 2008_dis_mmoliveira.pdf: 349878 bytes, checksum: d6439d5ec62ea18056a42540326a4abe (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2011-10-27T13:33:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2008_dis_mmoliveira.pdf: 349878 bytes, checksum: d6439d5ec62ea18056a42540326a4abe (MD5) / Made available in DSpace on 2011-10-27T13:33:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2008_dis_mmoliveira.pdf: 349878 bytes, checksum: d6439d5ec62ea18056a42540326a4abe (MD5) Previous issue date: 2008 / This report deals with applications of Graph Theory to Group Theory. Once we construct the graph associated to a finite group, we get several interesting results on the group structure by analysing its associated graph with the help of various standard graph-theoretic tools. More precisely, the chromatic and independence numbers of the graph of a finite group allows us to estimate the maximal cardinality of an abelian subgroup of it, as well as the minimal size of a subset of the group, all of whose elements don’t commute in pairs; for finite abelian groups, we also study their free-sum subsets. / O propósito desta dissertação é apresentar aplicações da Teoria dos Grafos à Teoria dos Grupos. De posse do grafo associado a um grupo finito, nós obtemos vários resultados interessantes sobre a estrutura do grupo analisando tal grafo à luz de técnicas-padrão da Teoria dos Grafos. Mais precisamente, os números cromático e de independência do grafo de um grupo finito nos permitem estimar a cardinalidade máxima de um subgrupo abeliano do mesmo, bem como o tamanho mínimo possível de um subconjunto do grupo formado por elementos que não comutam dois a dois; no caso de grupos finitos abelianos, nós também estudamos seus subconjuntos livres de somas.

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria tiene como objetivo un estudio general sobre componentes monocromáticas en multicoloreos de aristas de grafos completos, o dicho de otro modo, un coloreo de aristas de multigrafos completos. En particular, el tema de mayor importancia consiste en una generalización de una importante clase de problemas relacionados con la Conjetura de Ryser, la cual habla de una cota universal para el número de componentes conexas monocromáticas necesarias para cubrir todos los vértices de un grafo con sus aristas coloreadas, y donde tal cota solo depende del número de colores utilizados. Los resultados presentes en la memoria son fruto de distintas formas de abordar determinados problemas relacionados con la generalización mencionada y que, por fortuna, resultaron no solo ser útiles para los propósitos para los que fueron ideados, sino que algunos de ellos poseen interés por sí mismos. En primer lugar el motivo de estudio se centra en la cantidad de vértices que podemos asegurar para alguna de las componentes monocromáticas inducidas en un multicoloreo de aristas arbitrario en grafos bipartitos, para luego extender el resultado a grafos completos. Posteriormente se estudia una cota de vértices para multicoloreos de grafos tales que pueden ser cubiertos con tres componentes conexas monocromáticas y no pueden ser cubiertos con dos componentes conexas monocromáticas, pero si aislamos cualquiera de sus vértices entonces el resto de ellos pueden ser cubiertos por dos componentes monocromáticas. Este tipo de multicoloreos será llamado 3-crítico. Finalmente se introduce la generalización de un caso particular de la Conjetura de Ryser, que consiste en encontrar cotas, dependientes del número de colores utilizados, para multicoloreos de aristas de grafos completos. En particular, se restringe el estudio para multicoloreos de aristas uniformes, los cuales se definen como multicoloreos donde todas las aristas tienen el mismo número de colores. Primero se muestran cotas superiores generales, luego cotas inferiores, para finalmente estudiar determinados casos de manera particular y concluir cotas de manera estricta.