Many existing boundary layer models treat transition as a rapid switch from laminar to turbulent flow, with correlations defining properties in each respective region. Natural transition, however, is not always a very spanwise uniform process, with the onset of transition varying somewhat between different streamwise paths of fluid flow. Thus, a spanwise average of natural transition can result in a more gradual, extended transition region than many existing models predict. Modern applications, such as aircraft wings and fuselages, are extremely streamlined and smooth, allowing for natural transition to occur rather than flow tripping to turbulent near the leading edge. Under these conditions, a skin friction model that takes this extended transition region into account provides a more accurate model compared to those which incorporate a rapid transition from laminar to turbulent flow. Lienhard’s recent publication 1 presents a new rationale for modeling the extent of the transition region on a smooth flat plate developed from re-analysis of existing heat transfer data. This correlation accounts for the extended natural transition region corresponding to a spanwise average of values. The primary objective of this thesis was to reinterpret Lienhard’s heat transfer correlation to solve for skin friction coefficient, then compare this correlation to available experimental data and higher order boundary layer models. After reinterpreting Lienhard’s correlation using the Reynolds analogy, it produced a gradual, extended transition region for skin friction coefficient. The reinterpreted correlation had excellent agreement with experimental data corresponding to a spanwise average of flow with natural transition. Tripped transitional values and data taken along a streamwise path of fluid resulted in a more rapid transition from laminar to turbulent flow. Both an integral boundary layer model and a Reynolds-averaged Navier-Stokes boundary layer model were used to validate the reinterpreted Lienhard correlation. Both of these models produced transition curves steeper than the reinterpreted Lienhard curve. These existing boundary layer models do not take into account the gradual transition region that natural transition may produce when looking at a spanwise average of values. With a focus on spanwise averaged values, such as overall drag over a streamlined surface, existing sophisticated boundary layer models may not accurately predict the behavior produced. The reinterpreted Lienhard correlation provides a new representation of skin friction coefficient throughout the boundary layer that takes into account the extended transition region that may occur when it is desired to model a spanwise average of fluid flow. 1Lienhard, J. Heat transfer in flat-plate boundary layers: A correlation for laminar, transitional, and turbulent flow. ASME Journal of Heat Transfer, 142, 2020.

A presente tese se refere a três principais objetivos. Um objetivo foi desenvolver um código de simulação numérica direta para simulação de ondas de instabilidade em um escoamento de Poiseuille plano. O outro objetivo foi analisá-Io através do Método das Soluções Manufaturadas (MMS), e por fim, um terceiro objetivo foi estudar o regime não-linear da evolução de trens de ondas modulados em um escoamento de Poiseuille plano. O código resolve numericamente, com diferenças finitas de ordem de precisão alta e métodos pseudo espectrais, as equações de Navier-Stokes tri-dimensionais e incompressíveis numa formulação vorticidade-velocidade. O MMS é um método de verificação de código mais completo que os normalmente usados, por exemplo, comparação com teoria de estabilidade linear. O código usa diferenças finitas de ordem alta de precisão, mas com diferentes ordens em diferentes regiões do domínio. O MMS é pouco utilizado neste tipo de código. Concluiu-se que estes códigos em geral não operam na chamada faixa assintótica de erro. Na faixa de trabalho, a ordem do erro varia no domínio computacional de forma consistente com os métodos numéricos empregados. Isto permite, entre outras coisas, a otimização do esquema numérico. Após os testes de verifição, simulações numéricas dos trens de ondas foram realizadas. A análise dos resultados foi feita através das teorias de instabilidade primária e secundária e teoria fracamente não-linear. Foi estudado um trem de ondas modulado numa região do diagrama de instabilidade onde vários estudos para ondas mono cromáticas foram realizados. Os resultados sugeriram que nesta região o regime não-linear de transição dos trens de ondas modulados é governado pela instabilidade tipo-K. Com a redução da amplitude inicial de perturbação um cenário mais complexo, que pode estar envolvendo outros mecanismos, foi observado. Casos mais próximos ao primeiro ramo do diagrama também foram estudados. Nesta região a teoria linear prevê ondas tri-dimensionais sendo as mais instáveis, fato que poderia favorecer a ocorrência da chamada transição oblíqua. Os resultados indicaram que o trem de ondas modulado se divide em duas regiões que tendem-se afastar uma da outra. Apesar de estar associado com a instabilidade linear, este comportamento não havia sido antecipado na literatura. Neste cenário, para trens de ondas modulados isolados, o regime não-linear não pode ser correlacionado claramente com nenhum dos cenários clássicos de transição. Neste contexto transição oblíqua pode estar restrito a situações que envolvem a interação entre trens de ondas modulados. / The current thesis had three objectives. The first objective was to develop a code of direct numerical simulation (DNS) to simulation of waves of instability in a plane Poiseuille flow. The other main objective was to analyze it through the method of manufactured solutions (MMS). Finally, a third objective was to study the nonlinear regime of spanwise modulated wavetrains in a plane Poiseuille flow. Using high-order finite differences and pseudo-spectral methods, the DNS code solved the incompressible three-dimensional Navier-Stokes equations in a vorticity-velocity formulation. The MMS is a verification method more complete than the others more often used, for example, comparison with linear stability theory. The code used different high-order finite differences in different regions of the domain. The MMS has been little used for this type of code. It was concluded that these codes generally do not operate in the so-called errar asymptotic range. In the working range, the observed arder changes in the computational domain in a manner consistent with the numerical methods employed. This allows, among other things, optimization of the numerical scheme. After testing, numerical simulations of the wavetrains were performed. The analysis of the results was made based on the primary and secondary instability theories and weakly non-linear theory. A modulated wavetrain was studied in a region of the stability diagram where several studies for monochromatic waves were performed. The results suggested that in this region the non-linear regime of transition of the modulation wavetrain is governed by the K-type instability. With the reduction of the magnitude of the initial disturbance, a more complex scenario, which may involve other mechanisms, was observed. Cases near the first branch of the instability diagram were also studied. In this region, the linear theory predicts tri-dimensional waves are the most unstable, a fact that could lead to the so-called oblique transition. The results indicated that the modulated wavetrain divided into two regions, which tend move further from each other. Despite being associated with the linear instability, this behavior was not anticipated in the literature. In this scenario, for isolated modulated wavetrains, the non-linear system could not be clearly correlated with any of the classic scenarios of transition. In this context, oblique transition may perhaps to situations involving the interaction between modulated wavetrains.

A presente tese se refere a três principais objetivos. Um objetivo foi desenvolver um código de simulação numérica direta para simulação de ondas de instabilidade em um escoamento de Poiseuille plano. O outro objetivo foi analisá-Io através do Método das Soluções Manufaturadas (MMS), e por fim, um terceiro objetivo foi estudar o regime não-linear da evolução de trens de ondas modulados em um escoamento de Poiseuille plano. O código resolve numericamente, com diferenças finitas de ordem de precisão alta e métodos pseudo espectrais, as equações de Navier-Stokes tri-dimensionais e incompressíveis numa formulação vorticidade-velocidade. O MMS é um método de verificação de código mais completo que os normalmente usados, por exemplo, comparação com teoria de estabilidade linear. O código usa diferenças finitas de ordem alta de precisão, mas com diferentes ordens em diferentes regiões do domínio. O MMS é pouco utilizado neste tipo de código. Concluiu-se que estes códigos em geral não operam na chamada faixa assintótica de erro. Na faixa de trabalho, a ordem do erro varia no domínio computacional de forma consistente com os métodos numéricos empregados. Isto permite, entre outras coisas, a otimização do esquema numérico. Após os testes de verifição, simulações numéricas dos trens de ondas foram realizadas. A análise dos resultados foi feita através das teorias de instabilidade primária e secundária e teoria fracamente não-linear. Foi estudado um trem de ondas modulado numa região do diagrama de instabilidade onde vários estudos para ondas mono cromáticas foram realizados. Os resultados sugeriram que nesta região o regime não-linear de transição dos trens de ondas modulados é governado pela instabilidade tipo-K. Com a redução da amplitude inicial de perturbação um cenário mais complexo, que pode estar envolvendo outros mecanismos, foi observado. Casos mais próximos ao primeiro ramo do diagrama também foram estudados. Nesta região a teoria linear prevê ondas tri-dimensionais sendo as mais instáveis, fato que poderia favorecer a ocorrência da chamada transição oblíqua. Os resultados indicaram que o trem de ondas modulado se divide em duas regiões que tendem-se afastar uma da outra. Apesar de estar associado com a instabilidade linear, este comportamento não havia sido antecipado na literatura. Neste cenário, para trens de ondas modulados isolados, o regime não-linear não pode ser correlacionado claramente com nenhum dos cenários clássicos de transição. Neste contexto transição oblíqua pode estar restrito a situações que envolvem a interação entre trens de ondas modulados. / The current thesis had three objectives. The first objective was to develop a code of direct numerical simulation (DNS) to simulation of waves of instability in a plane Poiseuille flow. The other main objective was to analyze it through the method of manufactured solutions (MMS). Finally, a third objective was to study the nonlinear regime of spanwise modulated wavetrains in a plane Poiseuille flow. Using high-order finite differences and pseudo-spectral methods, the DNS code solved the incompressible three-dimensional Navier-Stokes equations in a vorticity-velocity formulation. The MMS is a verification method more complete than the others more often used, for example, comparison with linear stability theory. The code used different high-order finite differences in different regions of the domain. The MMS has been little used for this type of code. It was concluded that these codes generally do not operate in the so-called errar asymptotic range. In the working range, the observed arder changes in the computational domain in a manner consistent with the numerical methods employed. This allows, among other things, optimization of the numerical scheme. After testing, numerical simulations of the wavetrains were performed. The analysis of the results was made based on the primary and secondary instability theories and weakly non-linear theory. A modulated wavetrain was studied in a region of the stability diagram where several studies for monochromatic waves were performed. The results suggested that in this region the non-linear regime of transition of the modulation wavetrain is governed by the K-type instability. With the reduction of the magnitude of the initial disturbance, a more complex scenario, which may involve other mechanisms, was observed. Cases near the first branch of the instability diagram were also studied. In this region, the linear theory predicts tri-dimensional waves are the most unstable, a fact that could lead to the so-called oblique transition. The results indicated that the modulated wavetrain divided into two regions, which tend move further from each other. Despite being associated with the linear instability, this behavior was not anticipated in the literature. In this scenario, for isolated modulated wavetrains, the non-linear system could not be clearly correlated with any of the classic scenarios of transition. In this context, oblique transition may perhaps to situations involving the interaction between modulated wavetrains.

Cette thèse propose la reformulation et l'implantation d'une méthode simplifiée de prévision de la transition laminaire-turbulent naturelle, la méthode des paraboles. Elle s'appuie sur une base de donnée pour fournir une expression analytique des taux d'amplification de perturbations modales de la couche limite. Ces perturbations prennent naissance dans la couche limite à travers un mécanisme de réceptivité, puis connaissent une croissance linéaire suivie d'interactions non-linéaires qui conduisent à la transition vers la turbulence.La méthode du facteur-N permet la prévision de la position de transition en supposant qu'elle a lieu quand l'amplification linéaire totale d'un mode des perturbations a atteint une amplitude critique.L'amplification totale est obtenue en intégrant les taux d'amplifications des perturbations le long de la ligne de courant extérieure à la couche limite.Cette formulation intégrale n'est pas adaptée aux codes RANS et ces travaux proposent une reformulation de la méthode du facteur-N sous forme d'équation de transport, dont le terme source dépend du taux d'amplification des perturbations donné par la méthode des paraboles.Le modèle qui en résulte (N-sigma-P ou NSP) permet de déterminer si un point donné est en amont ou en aval du point de transition et ainsi de prévoir la position de transition, pour des configurations où la transition est déclenchée par des modes longitudinaux (ondes de Tollmien-Schlichting) ou transverses (crossflow). / A simplified laminar-turbulent transition prediction method (the so-called parabolas method) is recast into a RANS compatible formulation.The parabolas method is a database approach that gives an estimation of the growth rates of modal perturbations growing in the boundary layer.These perturbations rise through a process called receptivity and undergo a linear modal growth, followed by non-linear interactions that lead to a breakdown to transition. The N-factor (or e-to-N) method predicts the transition location under the assumption that transition occurs when the total linear growth of a mode reaches a prescribed threshold. This total growth is obtained via an integration of a mode's growth rate along the boundary-layer edge streamline. This classical integral formulation is not suitable in a RANS context and is therefore recast into a set of transport equations whose source terms depend on the growth rates given by the parabolas method.The resulting model (N-sigma-P or NSP) predicts if a given point in the flow field is up- or downstream of the transition location. It has been validated for cases where transition was triggered by longitudinal (Tollmien-Schlichting) and crossflow modes.

In this work, a DNS code was developed to investigate problems on transition in subsonic compressible boundary layer on a flat plate. Code validation tests were performed for linear and nonlinear stages of transition, on incompressible and compressible regimes. The focus of the present work is to investigate natural transition in subsonic boundary layers modeled by wave packets; and perform a preliminary study of transition induced by white noise. Three main problems were considered, namely, a DNS simulation and analysis of the ex- periment (MEDEIROS; GASTER, 1999b) of wave packet evolution on incompressible boundary layer, the influence of compressibility on wave packet evolution at subsonic Mach numbers and finally, a preliminary study of the evolution of a white noise perturbation in the boundary layer at Mach 0.2 and Mach 0.9. Comparisons between numerical and experimental results show remarkably good agreement in the linear and nonlinear stages, in both, spatial and Fourier spaces. A numerical simulation of this experiment and the analysis carried out is not available in the literature for wave packets in the incompressible boundary layer. The nonlinear modal analysis performed established the existence of tuned fundamental and subharmonic resonance of H-type and K-type in the packet. Influence of compressibility in the wave packet evolution was here investigated in boundary layers at Mach 0.7 and Mach 0.9. There are no works reported in the literature on wave packets in compressible subsonic boundary layer. In the linear regime, the oblique modes were the most unstable for Mach > 0.7, as expected by the results of the literature. In the nonlinear regime, strong streaks were observed, associated with low frequency modes that eventually decay downstream. An isolated wave packet at Mach 0.9 showed nonlinear amplification only in the subharmonic band, which may be associated to H-type or detuned resonance. However this packet has a relatively stable character. On the other hand, at Mach 0.9 spanwise interaction of wave packet pairs were more unstable than the isolated case, because stable modes for the isolated packet evolution becomes unstable in the wave packet interaction. This scenario evidenced the presence of oblique transition. Finally, the nonlinear evolution of the same white noise disturbance at Mach 0.2 and Mach 0.9 were observed to be completely different. In the incompressible boundary layer localized lambda vortex structures were observed, that could be associated to the local presence of H-type and/or K-type resonance. In the compressible regime, longitudinal vortex structures distributed across the entire domain seemed to be linked to oblique transition. In the white noise evolution, compressibility seems to have a stronger effect than in the wave packet evolution. In the conditions considered, the wave packet interaction appear to be a better representation of white noise compressible transition scenario. / No presente trabalho, um código DNS (Direct Numerical Simulation) foi desenvolvido para abordar problemas de transição para turbulência em camada limite subsônica compressível em uma placa plana. Foram realizados testes de validação de código , nos regimes linear e não linear do processo de transição, nos regimes incompressível e compressível. O foco do presente trabalho é estudar transição natural modelada por meio de pacotes de onda em camada limite compressível subsônica, e realizar uma análise preliminar da transição induzida por ruído branco. Três assuntos principais foram considerados: uma simulação DNS e uma análise comparativa com o experimento (MEDEIROS; GASTER, 1999b) sobre a evolução de um pacote de ondas em camada limite incompressível, a influência da compressibilidade na evolução de pacotes de ondas no regime subsônico, e por último, um estudo preliminar da transição induzida por ruído branco em Mach 0.2 e Mach 0.9. As comparações realizadas entre a solução numérica e os dados experimentais mostram uma boa concordância, nos regimes linear e não linear, tanto no espaço físico quanto no espaço de Fourier. A simulação numérica deste experimento e a análise realizada neste trabalho, não são encontradas na literatura para o regime incompressível. A análise modal não linear aplicada aos resultados, permitiu identificar a presença das ressonâncias tipo H e tipo K no pacote de ondas. A influência da compressibilidade na evolução dos pacotes de onda foi estudada em Mach 0.7 e Mach 0.9. Na literatura não há trabalhos sobre pacotes de ondas no regime sub- sônico. No regime linear da transição, os modos oblíquos resultam ser os mais instáveis para Mach > 0.7, como era de esperar, de acordo com os resultados da literatura. No regime não linear, foram observadas estrias de moderada amplitude, associadas com modos de baixa frequência que acabam decaindo. O pacote de ondas em Mach 0.9 apresentou amplificação não linear somente na banda subharmônica, que pode ser associada com transição tipo H ou ressonância dessintonizada. No entanto, o comportamento geral neste regime é estabilizante. Por sua vez, a interação entre pacotes de ondas em Mach 0.9 mostrou um comportamento desestabilizante, pois a interação acaba gerando amplificação não linear em modos que decaem no pacote isolado. Os modos amplificados sugerem a presença do mecanismo de transição oblíqua. Finalmente, a evolução da mesma perturbação constituída por ruído branco em Mach 0.2 e Mach 0.9, resultaram ser completamente diferentes. Na camada limite incompressível foram observados vórtices tipo lambda, que poderiam ser gerados pela presença localizada das ressonâncias tipo H e/ou tipo K. No regime compressível foram observados vórtices distribuidos em todo o domínio, o que sugere a presença da transição oblíqua. Na transição gerada por ruído branco a compressibilidade teve uma influência maior que no pacote de ondas. Nas condições estudadas, a interação entre pacotes de ondas parece ser uma melhor representação do ruído branco no regime compressível.

In this work, a DNS code was developed to investigate problems on transition in subsonic compressible boundary layer on a flat plate. Code validation tests were performed for linear and nonlinear stages of transition, on incompressible and compressible regimes. The focus of the present work is to investigate natural transition in subsonic boundary layers modeled by wave packets; and perform a preliminary study of transition induced by white noise. Three main problems were considered, namely, a DNS simulation and analysis of the ex- periment (MEDEIROS; GASTER, 1999b) of wave packet evolution on incompressible boundary layer, the influence of compressibility on wave packet evolution at subsonic Mach numbers and finally, a preliminary study of the evolution of a white noise perturbation in the boundary layer at Mach 0.2 and Mach 0.9. Comparisons between numerical and experimental results show remarkably good agreement in the linear and nonlinear stages, in both, spatial and Fourier spaces. A numerical simulation of this experiment and the analysis carried out is not available in the literature for wave packets in the incompressible boundary layer. The nonlinear modal analysis performed established the existence of tuned fundamental and subharmonic resonance of H-type and K-type in the packet. Influence of compressibility in the wave packet evolution was here investigated in boundary layers at Mach 0.7 and Mach 0.9. There are no works reported in the literature on wave packets in compressible subsonic boundary layer. In the linear regime, the oblique modes were the most unstable for Mach > 0.7, as expected by the results of the literature. In the nonlinear regime, strong streaks were observed, associated with low frequency modes that eventually decay downstream. An isolated wave packet at Mach 0.9 showed nonlinear amplification only in the subharmonic band, which may be associated to H-type or detuned resonance. However this packet has a relatively stable character. On the other hand, at Mach 0.9 spanwise interaction of wave packet pairs were more unstable than the isolated case, because stable modes for the isolated packet evolution becomes unstable in the wave packet interaction. This scenario evidenced the presence of oblique transition. Finally, the nonlinear evolution of the same white noise disturbance at Mach 0.2 and Mach 0.9 were observed to be completely different. In the incompressible boundary layer localized lambda vortex structures were observed, that could be associated to the local presence of H-type and/or K-type resonance. In the compressible regime, longitudinal vortex structures distributed across the entire domain seemed to be linked to oblique transition. In the white noise evolution, compressibility seems to have a stronger effect than in the wave packet evolution. In the conditions considered, the wave packet interaction appear to be a better representation of white noise compressible transition scenario. / No presente trabalho, um código DNS (Direct Numerical Simulation) foi desenvolvido para abordar problemas de transição para turbulência em camada limite subsônica compressível em uma placa plana. Foram realizados testes de validação de código , nos regimes linear e não linear do processo de transição, nos regimes incompressível e compressível. O foco do presente trabalho é estudar transição natural modelada por meio de pacotes de onda em camada limite compressível subsônica, e realizar uma análise preliminar da transição induzida por ruído branco. Três assuntos principais foram considerados: uma simulação DNS e uma análise comparativa com o experimento (MEDEIROS; GASTER, 1999b) sobre a evolução de um pacote de ondas em camada limite incompressível, a influência da compressibilidade na evolução de pacotes de ondas no regime subsônico, e por último, um estudo preliminar da transição induzida por ruído branco em Mach 0.2 e Mach 0.9. As comparações realizadas entre a solução numérica e os dados experimentais mostram uma boa concordância, nos regimes linear e não linear, tanto no espaço físico quanto no espaço de Fourier. A simulação numérica deste experimento e a análise realizada neste trabalho, não são encontradas na literatura para o regime incompressível. A análise modal não linear aplicada aos resultados, permitiu identificar a presença das ressonâncias tipo H e tipo K no pacote de ondas. A influência da compressibilidade na evolução dos pacotes de onda foi estudada em Mach 0.7 e Mach 0.9. Na literatura não há trabalhos sobre pacotes de ondas no regime sub- sônico. No regime linear da transição, os modos oblíquos resultam ser os mais instáveis para Mach > 0.7, como era de esperar, de acordo com os resultados da literatura. No regime não linear, foram observadas estrias de moderada amplitude, associadas com modos de baixa frequência que acabam decaindo. O pacote de ondas em Mach 0.9 apresentou amplificação não linear somente na banda subharmônica, que pode ser associada com transição tipo H ou ressonância dessintonizada. No entanto, o comportamento geral neste regime é estabilizante. Por sua vez, a interação entre pacotes de ondas em Mach 0.9 mostrou um comportamento desestabilizante, pois a interação acaba gerando amplificação não linear em modos que decaem no pacote isolado. Os modos amplificados sugerem a presença do mecanismo de transição oblíqua. Finalmente, a evolução da mesma perturbação constituída por ruído branco em Mach 0.2 e Mach 0.9, resultaram ser completamente diferentes. Na camada limite incompressível foram observados vórtices tipo lambda, que poderiam ser gerados pela presença localizada das ressonâncias tipo H e/ou tipo K. No regime compressível foram observados vórtices distribuidos em todo o domínio, o que sugere a presença da transição oblíqua. Na transição gerada por ruído branco a compressibilidade teve uma influência maior que no pacote de ondas. Nas condições estudadas, a interação entre pacotes de ondas parece ser uma melhor representação do ruído branco no regime compressível.

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