Η παρούσα διατριβή ερευνητικά εντάσσεται στην περιοχή της Μη Γραμμικής Ανάλυσης και ειδικότερα στην επίλυση Μη Γραμμικών Ελλειπτικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.) με υπερκρίσιμο εκθέτη. Η μη γραμμικότητα δεν επιτρέπει την επίλυση των εξισώσεων αυτών χρησιμοποιώντας τις συμπαγείς εμφυτεύσεις. Αξιοποιώντας τις ιδιότητες συμμετρίας που παρουσιάζει η πολλαπλότητα, αφενός παρακάμπτουμε το εμπόδιο αυτό και αφετέρου επιτυγχάνουμε να επιλύσουμε εξισώσεις αυτού του τύπου με υπερκρίσιμο εκθέτη. Στο πρώτο μέρος της Διατριβής υπολογίζουμε την πρώτη βέλτιστη σταθερά στη γενική ανισότητα Sobolev και στη γενική ανισότητα Sobolev με σύνορο στον στερεό τόρο, μελετάμε το φαινόμενο της συμπύκνωσης και επιλύουμε τα προβλήματα (P1) και (P2). Στο δεύτερο μέρος υπολογίζουμε την πρώτη βέλτιστη σταθερά στη γενική ανισότητα Sobolev και στη γενική ανισότητα Sobolev με σύνορο σε μια λεία, συμπαγή, n-διάστατη, n\geq 3, πολλαπλότητα Riemann (M,g) με σύνορο, που είναι αναλλοίωτη από τη δράση μιας οποιασδήποτε συμπαγούς υποομάδας G της ομάδας των ισομετριών Is(M,g) της Μ και της οποίας όλες οι G-τροχιές έχουν άπειρο πληθάριθμο και κάνουμε μια σύντομη παρουσίαση των λύσεων των προβλημάτων (P3) και (P4). / The present Thesis is incorporated in the research area of Nonlinear Analysis, especially solvability of Nonlinear Elliptic PDE’s with supercritical exponent.The nonlinear nature of the equations makes it impossible to be solved by means of compact imbeddings. Taking advantage of the symmetry properties of the manifold we overcome the obstacle as well as we succeed in solving equations of this type possessing supercritical exponent. In the first part of the Thesis we calculate the first best constant in the general Sobolev inequality and in the general Sobolev trace inequality on the solid torus, we study the phenomenon of concentration and solve problems (P1) and (P2).In the second part we calculate the first best constant in the general Sobolev inequality and in the general Sobolev trace inequality on a smooth, compact, n−dimensional Riemannian manifold (M, g), n _ 3, with boundary, which is invariant under the action of a subgroup G of the isometry group Is(M, g) of M, the orbits of which have infinity cardinality. We also present brief solutions of problems (P3) and (P4).

Le but de cette thèse est triple : INÉGALITÉS DE SOBOLEV AVEC DES CONSTANTES EXPLICITES SUR DES VARIÉTÉS RIEMANNIENNES À DENSITÉ ET À BORD CONVEXE : On obtient des inégalités de Sobolev à densité, avec des constantes géométriques explicites pour des variétés à courbure de m-Bakry-Émery Ricci minorée par une constante positive et à bord convexe. Ceci permet de généraliser de nombreux résultats connus dans le cas riemannien aux variétés avec densité. Nous montrons aussi comment déduire des inégalités de Sobolev obtenues, un résultat d’isolement pour les applications f -harmoniques. Nous présenterons également une nouvelle et très simple méthode pour la preuve de l’inégalité de Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] dans le cas du disque euclidien. / The purpose of this thesis is threefold: SOBOLEV INEQUALITIES WITH EXPLICIT CONSTANTS ON A WEIGHTED RIEMANNIAN MANIFOLD OF CONVEX BOUNDARY: We obtain weighted Sobolev inequalities with explicit geometric constants for weighted Riemannian manifolds of positive m-Bakry-Emery Ricci curvature and convex boundary. As a first application, we generalize several results of Riemannian manifolds to the weighted setting. Another application is a new isolation result for the f -harmonic maps. We also give a new and elemantry proof of the well-known Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] inequality for the Euclidean disk.