Η ηλεκτροεγκεφαλογραφία (EEG) και η μαγνητοεγκεφαλογραφία (MEG) είναι ιδιαίτερα χρήσιμες μέθοδοι εγκεφαλικών απεικονίσεων διότι έχουν πολύ καλή χρονική ανάλυση, της τάξεως του sec. Επειδή οι εγκεφαλικές διεργασίες εκτελούνται με μικρότερους ρυθμούς, οι εγκεφαλικές απεικονίσεις μέσω της EEG και MEG δίνουν τη δυνατότητα να παρακολουθούμε το λειτουργικό εγκέφαλο. Στο ευθύ πρόβλημα EEG γνωρίζουμε τη νευρωνική διέγερση που αναπτύσσεται εσωτερικά του εγκεφάλου και υπολογίζουμε το παραγόμενο ηλεκτρικό δυναμικό σε κάθε σημείο στο εξωτερικό ή στο εσωτερικό του εγκεφάλου. Αντίστοιχα στο ευθύ πρόβλημα MEG υπολογίζουμε το μαγνητικό δυναμικό εξωτερικά του εγκεφάλου. Στο αντίστροφο πρόβλημα της EEG γνωρίζουμε το ηλεκτρικό δυναμικό, από μετρήσεις, εξωτερικά του εγκεφάλου, στην επιφάνεια του κρανίου, και ζητάμε να προσδιορίσουμε τη νευρωνική διέγερση που το προκάλεσε. Για τη MEG γνωρίζουμε το μαγνητικό δυναμικό που καταγράφεται εξωτερικά του κρανίου και ζητάμε τη νευρωνική διέγερση που αναπτύχθηκε εσωτερικά του εγκεφάλου. Στην παρούσα εργασία επιλύονται οκτώ προβλήματα. Το ευθύ πρόβλημα και το αντίστροφο πρόβλημα της EEG και της MEG σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση η νευρωνική διέγερση εντοπίζεται σε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή το ρεύμα που δημιουργήθηκε εσωτερικά του εγκεφάλου λόγω μιας εγκεφαλικής διεργασίας αναπαρίσταται με δίπολα που κατανέμονται κατά μήκος ενός μικρού ευθύγραμμου τμήματος. Επιλύουμε αρχικά το ευθύ πρόβλημα της EEG και στη συνέχεια το αντίστροφο πρόβλημα. Καταλήγουμε σε ένα μη γραμμικό σύστημα που, στη γενική περίπτωση, επιλύεται αριθμητικά για να υπολογίσει τη θέση και τη ροπή της διπολικής πηγής, τον προσανατολισμό και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Αναλυτικά επιλύουμε δύο ειδικές περιπτώσεις και βρίσκουμε μοναδική λύση. Στην πρώτη ειδική περίπτωση το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο στον άξονα, ενώ στη δεύτερη στο άξονα και το κέντρο του, και στις δύο περιπτώσεις, είναι πάνω στο άξονα . Το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα το επιλύουμε και για την περίπτωση της MEG δίνοντας αναλυτικά τη λύση στην περίπτωση που το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο στο άξονα και το κέντρο του είναι επάνω στο άξονα. Στη δεύτερη περίπτωση μελετάμε ακριβώς τα ίδια προβλήματα όταν η νευρωνική διέγερση εντοπίζεται σε ένα μικρό κυκλικό δίσκο που το επίπεδό του είναι κάθετο στο διάνυσμα θέσης του κέντρου του δίσκου. Επιλύουμε το πρόβλημα σε συγκριμένη θέση του δίσκου για να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί. Εφαρμόζουμε κατάλληλες στροφές Euler ώστε το επίπεδό του να βρεθεί σε θέση παράλληλη στο επίπεδο και το κέντρο του δίσκου να βρίσκεται πάνω στον άξονα. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε στροφές Euler και το επαναφέρουμε στην αρχική θέση. Αφού επιλύσουμε τα ευθύ προβλήματα της EEG και MEG ξεχωριστά, προσδιορίζουμε, επιλύοντας το αντίστροφο, τη θέση του κυκλικού δίσκου. Καταλήγουμε σε ένα σύστημα μη γραμμικό που απαιτεί αριθμητική επίλυση τόσο για την EEG όσο και για τη MEG Αναλυτικά, επιλύουμε το αντίστροφο για την EEG σε μια ειδική περίπτωση κατά την οποία ο δίσκος είναι παράλληλος στο επίπεδο και το κέντρο του βρίσκεται πάνω στον άξονα και βρίσκουμε τη μοναδική λύση η οποία προσδιορίζει τη θέση του δίσκου, την ακτίνα του και τη ροπή της διπολικής πηγής. Με την επίλυση των προβλημάτων αυτών επιβεβαιώνουμε και τα αποτελέσματα της εργασίας των Albanese και Monk. Συγκεκριμένα, έδειξαν ότι δε μπορεί να προσδιοριστεί ο φορέας του ρεύματος που εντοπίζεται σε χώρο τριών διαστάσεων. Στην παρούσα διατριβή καθορίζουμε την έκτασης της νευρωνικής διέγερσης όταν η διάσταση του φορέα της είναι μικρότερη του τρία. / Electroencephalography (EEG) and Magnetoencephalography (MEG) are the two brain imaging modalities which have the necessary temporal resolution, sec for the study of the functional brain. Albanese and Monk have demonstrated that it is impossible to identify the extent of a localized three-dimensional current distribution lying inside a three-dimensional conductive medium. The purpose of the present work is to show that, as already predicted by Albanese and Monk, this result is not true if the current distribution is restricted on a one or two- dimensional set. The calculation of the values of the electric potential on the surface of the head defines the forward problem of EEG, while the calculation of the magnetic flux density a few centimeters outside the head defines the forward problem of MEG. The inverse EEG problem seeks to identify the neuronal current within the brain from the knowledge of the electric potential on the surface of the head. The corresponding inverse MEG problem seeks this neuronal current from the knowledge of the magnetic flux outside the head. In the present dissertation we study eight particular problems. They concern the forward and the inverse problem of EEG and MEG in two special geometric cases. In one geometrical case the neuronal current is supported on a small line segment and the neuronal current is represented by a dipole distribution along this line segment. First we solve the forward EEG problem and then we solve the inverse problem of identifying the location, the orientation, the size and the average dipolar moment over the line segment. We arrive at a nonlinear algebraic system which we solve analytically in two special cases. Next we solve the corresponding forward and the inverse MEG problems for the same structure. A second case concerns the relative EEG and MEG problems when the current is supported on a small disc normal to a radius of the conducting sphere. As before, we solve the EEG and MEG problems separately and then we solve the inverse EEG and MEG problems which determine the position, the orientation and the size of the disk supporting the primary neuronal current.

L'étude de l'activité cérébrale nécessite des enregistrements simultanés à différentes échelles spatiales, d'une cellule unique aux aires corticales du cerveau. Ces mesures fournissent un aperçu sur la relation entre les structures, les fonctions et la dynamique des circuits neuronaux. Les techniques d'électrophysiologie apportent des informations cruciales sur l'activité électrique dans les neurones. Sonder localement la signature magnétique de cette activité donne des informations directes sur les courants neuronaux et la nature vectorielle d'une mesure magnétique renseigne sur la directionnalité du flux ionique neuronal sans le perturber. Le champ magnétique induit par les courants neuronaux est accessible par la magnetoencéphalographie (MEG), qui fournit la cartographie des champs neuromagnétiques à la surface du cerveau à l'aide des Superconducting Quantum Interference Devices (SQUIDs). Cependant, les mesures locales de courants neuronaux à l'échelle cellulaire nécessite des dispositifs miniaturisés et très sensibles. L'objectif de ce travail de thèse est de développer un nouvel outil pour la neurophysiologie, l'équivalent magnétique d'électrodes, nommé "magnetrodes", capable de détecter les courants neuronaux locaux par la détection magnétique. Les progrès récents de l'électronique de spin ont permis de donner naissance aux capteurs à magnétorésistance géante (GMR), qui offrent la possibilité d'être miniaturisé et suffisamment sensibles pour détecter des champs magnétiques très faibles, comme ceux émis par les neurones à l'échelle locale (de l'ordre du picotesla au nanotesla). Deux types de capteurs GMRs ont été développés au cours de ce travail, des sondes planes dédiées aux enregistrements en surface des tissues (tranche d'hippocampe, muscle ou cortex), les autres sont des sondes pointus, conçus pour pénétrer facilement les tissus et enregistrer localement les champs neuromagnétiques. Trois expériences ont été réalisées dont deux in vitro et une in vivo. Le premier potentiel d'action magnétique a été détecté in vitro à l'aide de sondes GMRs planes, résultant des courants axiaux dans un muscle de la souris. Le deuxième modèle analysé in vitro est la tranche d'hippocampe de cerveau de souris où les deux types de sondes ont été testés, montrant certains résultats préliminaires. Enfin, nous avons effectué les premiers enregistrements magnétiques in vivo sur le cortex visuel du chat, affichant des réponses corticales induites de l'ordre de 10-20 nTpp. Ces résultats ouvrent la voie à magnetophysiologie locale qui est une nouvelle approche d'exploration et d'interfaçage cerveau. / Understanding brain activity requires simultaneous recordings across spatial scales, from single-cell to brain-wide network. Measurements provide insights about the relationship between structures, functions and dynamics in neuronal circuits and assemblies. Electrophysiological techniques carry crucial information about the electrical activity within neurons. Locally probing the magnetic signature of this activity gives direct information about neuronal currents and the vectorial nature of magnetic measurements provides the directionality of neuronal ionic flux without disturbing it. Noticeably, the magnetic signature induced by the neuronal currents is accessible through Magneto EncephaloGraphy (MEG), which provides neuromagnetic field mapping outside the head using Superconducting QUantum Interference Devices (SQUIDs). However, local measurements of neuronal currents at cellular scale requires small and very sensitive devices. The purpose of the present thesis work is to develop a novel tool for neurophysiology, the magnetic equivalent of electrodes, named “magnetrodes”, are able to detect the local neuronal currents through magnetic detection. Recent advances in spin electronics have given rise to Giant MagnetoResistance (GMR) based sensors, which offer the possibility to be miniaturized and sensitive enough to detect very weak magnetic fields like those emitted by neurons at local scale (in the picotesla to nanotesla range). Two kinds of GMR based sensors have been developed throughout this work, one of these are planar probes dedicated to surface measurements (hippocampus slice, muscle or cortex), the other kind are sharp probes, designed in a needle-shape to easily penetrate the tissues and locally record the neuromagnetic fields. Three experiments have been performed, either in vitro and in vivo. In the first experiment, an Action Potential has been detected magnetically in vitro by means of planar GMR sensors, resulting from axial currents within a mouse muscle. The second in vitro experiment analyzed the hippocampal mouse brain slices, where both planar and sharp probes were tested giving some preliminary results. Lastly we performed the first magnetic recordings in vivo on cat's cerebral cortex, displaying stimulus-induced cortical responses of 10-20 nT pp . These results pave the way for local magnetophysiology, a novel approach of brain exploration and interfacing.