Cette thèse porte sur l'étude de quelques questions liées à l'identifiabilité et l'identification d'un problème inverse non-linéaire de source. Il s'agit de l'identification d'une source ponctuelle dépendante du temps constituant le second membre d'une équation de type advection-dispersion-réaction à coefficients variables. Dans le cas monodimensionnel, la souplesse du modèle stationnaire nous a permis de développer des réponses théoriques concernant le nombre des capteurs nécessaires et leurs emplacements permettant d'identifier la source recherchée d'une façon unique. Ces résultats nous ont beaucoup aidés à définir la ligne de conduite à suivre afin d'apporter des réponses similaires pour le modèle transitoire. Quant au modèle bidimensionnel transitoire, en utilisant quelques résultats de nulle contrôlabilité frontière et des mesures de l'état sur la frontière sortie et de son flux sur la frontière entrée du domaine étudié, nous avons établi un théorème d'identifiabilité et une méthode d'identification permettant de localiser les deux coordonnées de la position de la source recherchée comme étant l'unique solution d'un système non-linéaire de deux équations, et de transformer l'identification de sa fonction de débit en la résolution d'un problème de déconvolution. La dernière partie de cette thèse discute la difficulté principale rencontrée dans ce genre de problèmes inverses à savoir la non identifiabilité d'une source dans sa forme abstraite, propose une alternative permettant de surmonter cette difficulté dans le cas particulier où le but est d'identifier le temps limite à partir duquel la source impliquée a cessé d'émettre, et donc ouvre la porte sur de nouveaux horizons.

Dans cette thèse, nous étudions des modèles mathématiques concernant certains problèmes d'écoulement de fluide à densité variable. Le premier chapitre résume l'ensemble de la thèse et se concentre sur les résultats obtenus, la nouveauté et la comparaison avec la littérature existante. Dans le deuxième chapitre, nous étudions la stabilisation locale des équations non homogènes de Navier-Stokes dans un canal 2d autour du flot de Poiseuille. Nous concevons un contrôle feedback de la vitesse qui agit sur l'entrée du domaine de sorte que la vitesse et la densité du fluide soient stabilisées autour du flot de Poiseuille, à condition que la densité initiale soit donnée par une constante additionnée d'une perturbation dont le support se situe loin du bord latéral du canal. Dans le troisième chapitre, nous étudions un système couplant les équations de Navier-Stokes compressibles à une structure élastique située à la frontière du domaine fluide. Nous prouvons l'existence locale de solutions solides pour ce système couplé. Dans le quatrième chapitre, notre objectif est d'étudier la nulle- contrôlabilité d'un problemè d'interaction fluide-structure linéarisé dans un canal bi dimensional. L'écoulement du fluide est ici modélisé par les équations de Navier-Stokes compressibles. En ce qui concerne la structure, nous considérons une poutre de type Euler-Bernoulli amortie située sur une partie du bord. Dans ce chapitre, nous établissons une inégalité d'observabilité pour le problème considéré d'interaction fluid-structure linéarisé qui constitue le premier pas vers la preuve de la nulle contrôlabilité du système. / In this thesis we study mathematical models concerning some fluid flow problems with variable density. The first chapter is a summary of the entire thesis and focuses on the results obtained, novelty and comparison with the existing literature. In the second chapter we study the local stabilization of the non-homogeneous Navier-Stokes equations in a 2d channel around Poiseuille flow. We design a feedback control of the velocity which acts on the inflow boundary of the domain such that both the fluid velocity and density are stabilized around Poiseuille flow provided the initial density is given by a constant added with a perturbation, such that the perturbation is supported away from the lateral boundary of the channel. In the third chapter we prove the local in time existence of strong solutions for a system coupling the compressible Navier-Stokes equations with an elastic structure located at the boundary of the fluid domain. In the fourth chapter our objective is to study the null controllability of a linearized compressible fluid structure interaction problem in a 2d channel where the structure is elastic and located at the fluid boundary. In this chapter we establish an observability inequality for the linearized fluid structure interaction problem under consideration which is the first step towards the direction of proving the null controllability of the system.

Cette thèse porte sur l’étude de quelques questions liées à l’identifiabilité et l’identification d’un problème inverse non-linéaire de source. Il s’agit de l’identification d’une source ponctuelle dépendante du temps constituant le second membre d’une équation de type advection-dispersion-réaction à coefficients variables. Dans le cas monodimensionnel, la souplesse du modèle stationnaire nous a permis de développer des réponses théoriques concernant le nombre des capteurs nécessaires et leurs emplacements permettant d’identifier la source recherchée d’une façon unique. Ces résultats nous ont beaucoup aidés à définir la ligne de conduite à suivre afin d’apporter des réponses similaires pour le modèle transitoire. Quant au modèle bidimensionnel transitoire, en utilisant quelques résultats de nulle contrôlabilité frontière et des mesures de l’état sur la frontière sortie et de son flux sur la frontière entrée du domaine étudié, nous avons établi un théorème d’identifiabilité et une méthode d’identification permettant de localiser les deux coordonnées de la position de la source recherchée comme étant l’unique solution d’un système non-linéaire de deux équations, et de transformer l’identification de sa fonction de débit en la résolution d’un problème de déconvolution. La dernière partie de cette thèse discute la difficulté principale rencontrée dans ce genre de problèmes inverses à savoir la non identifiabilité d’une source dans sa forme abstraite, propose une alternative permettant de surmonter cette difficulté dans le cas particulier où le but est d’identifier le temps limite à partir duquel la source impliquée a cessé d’émettre, et donc ouvre la porte sur de nouveaux horizons. / The thesis deals with the two main issues identifiability and identification related to a nonlinear inverse source problem. This problem consists in the identification of a time-dependent point source occurring in the right hand-side of an advection-dispersion-reaction equation with spatially varying coefficients. Starting from the stationnary case in the one-dimensional model, we derived theoritical results defining the necessary number of sensors and their positions that enable to uniquely determine the sought source. Those results gave us a good visibility on how to proceed in order to obtain similar results for the time-dependent (evolution) case. As far as the two-dimensional evolution model is concerned, using some boundary null controllability results and the records of the generated state on the inflow boundary and its flux on the outflow boundary of the monitored domain, we established a constructive identifiability theorem as well as an identification method that localizes the two coordinates of the sought source position as the unique solution of a nonlinear system of two equations and transforms the identification of its time-dependent intensity function into solving a deconvolution problem. The last part of this thesis highlights the main difficulty encountred in such inverse problems namely the nonidentifiabilityof a source in its abstract form, proposes a method that enables to overcome this difficulty in the particular case where the aim is to identify the time active limit of the involved source. And thus, this last part opens doors on new horizons and prospects.