Let 1, 2, 3, 5, 8, … denote the Fibonacci sequence beginning with 1 and 2, and then setting each subsequent number to the sum of the two previous ones. Every positive integer n can be expressed as a sum of distinct Fibonacci numbers in one or more ways. Setting R(n) to be the number of ways n can be written as a sum of distinct Fibonacci numbers, we exhibit certain regularity properties of R(n), one of which is connected to the Euler φ-function. In addition, using a theorem of Fine and Wilf, we give a formula for R(n) in terms of binomial coefficients modulo two.

Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans la théorie des automates et des langages formels. ils peuvent se diviser en deux parties qui donnent également deux visions différentes de manipuler les langages dans la théorie des automates. La première partie s'intéresse à la notion de dérivation des expressions qui permet de faire passer le formalisme des quotients de langages au niveau des expressions rationnelles. en particulier cette thèse étudie les termes dérivés cassés d'une expression rationnelle. ces termes dérivés cassés permettent, sous certaines circonstances, et à l'aide d'autres opérations, une réversibilité de la transformation d'un automate en une expression rationnelle. Dans la seconde partie, la théorie des automates est utilisée pour traiter des problèmes sur les systèmes de numération. les systèmes de numération représentent des nombres par des mots. il est possible d'utiliser des automates et des transducteurs afin d'être capable de 'compter' sur un langage rationnel représentant les entiers. plus précisément ces automates sont étudiés pour le cas des systèmes de numération abstraits qui associent à chaque entier un mot d'un langage rationnel, ordonné par l'ordre radiciel. dans un tel système, la fonction qui permet de calculer le mot suivant est une fonction co-séquentielle par morceaux, c'est-à-dire qu'il suffit de lire deux fois le mot d'entrée de la droite vers la gauche pour qu'une machine calcule son image. / The works in this thesis lies in the automata and formal languages theory. in the first part, the notion of derivation of rational expressions is studied. more precisely the broken derived terms of a rational expressions. Theses broken derived terms allow, under certain circumstances, with some other operations on automata, to have the reversibility of the transformation of an automaton into a rational expression. In the second part, automata and tranducers allow to 'count' on a numeration system, where integers are represented by words on a rational language. more precisely, this part adress the problem of counting in an abstract numeration systems, which maps to any word of a rational language, ordored by radix order, the integer corresponding to the order of the word. in such a numeration system, the function which computes the successor of a word is a piecewise co-sequential function: it can be realised by a machine which reads the input two times to give the output.

In this doctoral dissertation, we studied and solved several questions regarding positional and abstract numeration systems. Each particular problem is the focus of a chapter. The first problem concerns the study of the preservation of recognizability under multiplication by a constant in abstract numeration systems built on polynomial regular languages. We obtained several results generalizing those from P. Lecomte and M. Rigo. The second problem we considered is a decidability problem, which was already studied, most notably, by J. Honkala and A. Muchnik. For our part, we studied this problem for two new cases: the linear positional numeration systems and the abstract numeration systems. Next, we focused on the extension to the multidimensional setting of a result of A. Maes and M.~Rigo regarding S-automatic infinite words. We obtained a characterization of multidimensional S-automatic words in terms of multidimensional (non-necessarily uniform) morphisms. This result can be viewed as the analogous of O. Salon's extension of a theorem of A. Cobham. Finally, generalizing results of P. Lecomte and M. Rigo, we proposed a formalism to represent real numbers in the general framework of abstract numeration systems built on languages that are not necessarily regular. This formalism encompasses in particular the rational base numeration systems, which have been recently introduced by S. Akiyama, Ch. Frougny, and J. Sakarovitch. Finally, we ended with a list of open questions in the continuation of this work./Dans cette dissertation, nous étudions et résolvons plusieurs questions autour des systèmes de numération abstraits. Chaque problème étudié fait l'objet d'un chapitre. Le premier concerne l'étude de la conservation de la reconnaissabilité par la multiplication par une constante dans des systèmes de numération abstraits construits sur des langages réguliers polynomiaux. Nous avons obtenus plusieurs résultats intéressants généralisant ceux de P. Lecomte et M. Rigo. Le deuxième problème auquel je me suis intéressée est un problème de décidabilité déjà étudié notamment par J. Honkala et A. Muchnik et ici décliné en deux nouvelles versions : les systèmes de numération de position linéaires et les systèmes de numération abstraits. Ensuite, nous nous penchons sur l'extension au cas multidimensionnel d'un résultat d'A. Maes et de M. Rigo à propos des mots infinis S-automatiques. Nous avons obtenu une caractérisation des mots S-automatiques multidimensionnels en termes de morphismes multidimensionnels (non nécessairement uniformes). Ce résultat peut être vu comme un analogue de l'extension obtenue par O. Salon d'un théorème de A. Cobham. Finalement, nous proposons un formalisme de la représentation des nombres réels dans le cadre général des systèmes de numération abstraits basés sur des langages qui ne sont pas nécessairement réguliers. Ce formalisme englobe notamment le cas des numérations en bases rationnelles introduits récemment par S. Akiyama, Ch. Frougny et J. Sakarovitch. Nous terminons par une liste de questions ouvertes dans la continuité de ce travail.