Parciální diferenciální rovnice hrají důležitou v inženýrských aplikacích. Často je možné tyto rovnice řešit pouze přibližně, tj. numericky. Z toho důvodu vzniklo množství diskretizačních metod pro řešení těchto rovnic. Uvedená nespojitá Galerkinova metoda se zdá jako velmi obecná metoda pro řešení těchto rovnic, především pak pro hyperbolické systémy. Naším cílem je řešit úlohy aeroakustiky, přičemž šíření akustických vln je popsáno pomocí linearizovaných Eulerových rovnic. A jelikož se jedná o hyperbolický systém, byla vybrána právě nespojitá Galerkinova metoda. Mezi nejdůležitější aspekty této metody patří schopnost pracovat s geometricky složitými oblastmi, možnost dosáhnout metody vysokého řádu a dále lokální charakter toho schématu umožnuje efektivní paralelizaci výpočtu. Nejprve uvedeme nespojitou Galerkinovu metodu v obecném pojetí pro jedno- a dvoudimenzionalní úlohy. Algoritmus následně otestujeme pro řešení rovnice advekce, která byla zvolena jako modelový případ hyperbolické rovnice. Metoda nakonec bude testována na řadě verifikačních úloh, které byly formulovány pro testování metod pro výpočetní aeroakustiku, včetně oveření okrajových podmínek, které, stejně jako v případě teorie proudění tekutin, jsou nedílnou součástí výpočetní aeroakustiky.

Title: Numerical Solution of the Three-dimensional Compressible Flow Author: Martin Kyncl Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. Abstract: This thesis deals with a fluid flow in 3D in general. The system of the equations, describing the compressible gas flow, is solved numerically, with the aid of the finite volume method. The main purpose is to describe particular boundary conditions, based on the analysis of the incomplete Riemann problem. The analysis of the original initial-value problem shows, that the right hand-side initial condition, forming the Riemann problem, can be partially replaced by the suitable complementary condition. Several modifications of the Riemann problem are introduced and analyzed, as an original result of this work. Algorithms to solve such problems were implemented and used in code for the solution of the compressible gas flow. Numerical experiments documenting the suggested methods are performed. Keywords: compressible fluid flow, the Navier-Stokes equations, the Euler equations, boundary conditions, finite volume method, the Riemann problem, numerical flux, tur- bulent flow

Nous analysons dans cette thèse différents aspects associés à la modélisation des écoulements à surface libre en eaux peu profondes (Shallow Water). Nous étudions tout d’abord le système d’équations de Saint-Venant à deux dimensions et leur résolution par la méthode numérique des volumes finis, en portant une attention particulière sur les aspects hyperboliques et conservatifs. Ces schémas permettent de traiter les équilibres stationnaires, les interfaces sec/mouillé et aussi de modéliser des écoulements subcritique, transcritique et supercritique. Nous présentons ensuite la théorie de la méthode d’assimilation variationnelle de données adaptée à ce type d’écoulement. Son application au travers des études de sensibilité est longuement discutée dans le cadre de l'hydraulique à surface libre. Après cette partie à caractère théorique, la partie tests commence par une qualification de l’ensemble des méthodes numériques qui sont implémentées dans le code DassFlow, développé à l’Université de Toulouse, principalement à l’IMT mais aussi à l’IMFT. Ce code résout les équations Shallow Water par une méthode de volumes finis et est validé par comparaison avec les solutions analytiques pour des cas tests classiques. Ces mêmes résultats sont comparés avec un autre code d’hydraulique à surface libre aux éléments finis en deux dimensions, Telemac 2D. Une particularité notable du code DassFlow est de permettre l’assimilation variationnelle de données grâce au code adjoint permettant le calcul du gradient de la fonction coût. Ce code adjoint a été obtenu en utilisant l'outil de différentiation automatique Tapenade (Inria). Nous testons ensuite sur un cas réel, hydrauliquement complexe, différentes qualités de Modèles Numériques de Terrain (MNT) et de bathymétrie du lit d’une rivière. Ces informations proviennent soit d’une base de données classique type IGN, soit d’informations LIDAR à très haute résolution. La comparaison des influences respectives de la bathymétrie, du maillage et du type de code utilisé, sur la dynamique d’inondation est menée très finement. Enfin nous réalisons des études cartographiques de sensibilité aux paramètres du modèle sur DassFlow. Ces cartes montrent l’influence respective des différents paramètres ou de la localisation des points de mesure virtuels. Cette localisation optimale de ces points est nécessaire pour une future assimilation de données efficiente. / We analyze in this thesis various aspects associated with the modeling of free surface flows in shallow water approximation. We first study the system of Saint-Venant equations in two dimensions and its resolution with the numerical finite volumes method, focusing in particular on aspects hyperbolic and conservative. These schemes can process stationary equilibria, wetdry interfaces and model subcritical, transcritical and supercritical flows. After, we present the variational data assimilation method theory fitted to this kind of flow. Its application through sensitivity studies is fully discussed in the context of free surface water. After this theoretical part, we test the qualification of numerical methods implemented in the code Dassflow, developed at the University of Toulouse, mainly at l'IMT, but also at IMFT. This code solves the Shallow Water equations by finite volume method and is validated by comparison with analytical solutions for standard test cases. These results are compared with another hydraulic free surface flow code using finite elements in two dimensions: Telemac2D. A significant feature of the Dassflow code is to allow variational data assimilation using the adjoint method for calculating the cost function gradient. The adjoint code was obtained using the automatic differentiation tool Tapenade (INRIA). Then, the test is carried on a real hydraulically complex case using different qualities of Digital Elevation Models (DEM) and bathymetry of the river bed. This information are provided by either a conventional database types IGN or a very high resolution LIDAR information. The comparison of the respective influences of bathymetry, mesh size, kind of code used on the dynamics of flooding is very finely explored. Finally we perform sensitivity mapping studies on parameters of the Dassflow model. These maps show the respective influence of different parameters and of the location of virtual measurement points. This optimal location of these points is necessary for an efficient data assimilation in the future.