Nous nous intéressons aux méthodes permettant d'approcher les solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles conservatives. Dans les cas où l'écoulement est très<br />complexe - lorsqu'il y a plusieurs modèles physiques à calculer sur des zones difficiles à délimiter, on utilise des méthodes de couplage par recouvrement de domaine. <br />Nous présentons ici un algorithme, nouveau et performant, calculé grâce à une superposition de deux maillages correspondant à deux schémas différents. On utilise des projections conservatives de la solution d'un maillage vers l'autre.<br />Cette méthode de décomposition de domaine ne fait<br />pas intervenir de conditions aux limites artificielles. Elle est basée sur une régularisation de la fonction de Heaviside sur la zone de couplage. Elle est parfaitement conservative et donc bien indiquée pour l'étude des lois de conservation. <br />L'analyse mathématique est réalisée pour les problèmes hyperboliques, dans le cas scalaire multidimensionnel. Elle est basée sur le convergence des schémas volumes finis. Tout d'abord, on obtient la convergence de la solution mesure grâce aux travaux de Diperna, puis on estime l'erreur de convergence en $h^(^1/_4)$. Une nouvelle estimation de type $H^1$ faible permet d'estimer les erreurs induites par le couplage.<br />De nombreuses applications numériques en mécanique des fluides avec les tubes à chocs et de détente montrent que la méthode est très stable et conservative. Nous utilisons aussi la méthode sans grille appelée Smooth Particule Hydrodynamics - plus précisément sa nouvelle variante renormalisée - pour calculer la création d'un jet en couplant la méthode volumes finis à la méthode SPH. On montre ainsi la robustesse de l'algorithme de couplage et sa souplesse pour le calcul des écoulement complexes. <br />Cette étude à fait l'objet d'une collaboration avec l'équipe du Pr. D. Kröner de l'Institut des Mathématiques Appliquées à l'Université de Frieburg (Allemagne).

Habilitation à diriger des recherches : math. appli. et applications des mathématiques : Univ. Pierre et Marie Curie - Paris VI : 2000.

Dans cette thèse, nous développons des méthodes analytiques et numériques pour capturer les dynamiques asymptotiques de problèmes issus de la physique des plasmas et de la modélisation des mouvements collectifs dans les populations animales. Dans une première partie, nous présentons une méthode numérique Particle-In-Cell (PIC) pour le système Vlasov-Poisson préservant l'asymptotique quasi-neutre. Dans une seconde partie, nous étudions la limite macroscopique d'un modèle de Vicsek décrivant des interactions d'alignement entre deux populations, une population à l'arrêt et une population en mouvement. Nous sélectionnons ensuite un schéma numérique pour capturer les solutions du modèle macroscopique de Vicsek correspondant à la dynamique particulaire sous-jacente. La troisième partie est dédiée à l'étude des transitions compressible-incompressible apparaissant sous l'effet d'une contrainte de congestion dans un modèle macroscopique de déplacement collectif. Des schémas numériques préservant l'asymptotique de congestion sont ensuite mis au point pour le système d'Euler avec une contrainte de densité maximale.

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de <br />la notion d'hyperbolicité, plus particulièrement de la <br />relation qui existe entre celle-ci et la nature bien posée <br />d'un problème de Cauchy obtenu à partir d'un système<br />d'équations aux dérivées partielles issu de la mécanique <br />des fluides ou la réalisation de la simulation numérique <br />d'un tel problème.<br /><br />Dans un premier temps, nous rappelons en quoi la notion de<br />linéarisation d'un système d'équations aux dérivées <br />partielles semble naturelle à l'étude de ce système et <br />comment, de l'étude de ces problèmes linéarisés, plus <br />précisément de leur nature bien posée c'est-à-dire de leur <br />stabilité, découle la notion d'hyperbolicité.<br /><br />Nous étudions ensuite le cas particulier d'un modèle à <br />quatre équations pour un écoulement bifluide comportant des <br />termes de diffusion pour les équations de quantité de <br />mouvement. Nous montrons alors que, bien que, pour ce <br />système, l'ajout des termes de diffusion n'entraîne pas <br />l'hyperbolicité du modèle obtenu, les problèmes de Cauchy <br />construits à partir de la linéarisation de ce système, <br />autour d'un état constant, sont désormais bien posés.<br /><br />Enfin, nous considérons le cas d'un modèle à cinq équations <br />pour un écoulement bifluide. Ce modèle ne nécessite pas de <br />loi de fermeture algébrique (équations d'état ou lois <br />tabulées) mais comporte une équation aux dérivées <br />partielles portant sur la pression. Le système ainsi <br />obtenu n'est pas hyperbolique mais les valeurs propres de <br />l'opérateur d'advection sont toutes réelles. La simulation<br />numérique d'un écoulement régi par ce modèle, pour le cas <br />test du robinet de Ransom, ne fait néanmoins pas apparaître <br />les instabilités numériques que la nature mal posée du<br />linéarisé nous faisait craindre et qui sont présentes dans <br />les simulations réalisées à partir du modèle isentropique <br />classique à quatre équations.

La thèse est consacrée à l'étude d'un analogue du problème de Riemann-Hilbert et de déformations isomonodromiques pour les solutions de l'équation de Dirac sur le cylindre. L'objectif est de faire un lien entre la théorie de déformation et les fonctions de corrélation dans certains modèles intégrables en théorie quantique des champs dans le volume fini. Dans une première partie, nous étudions des solutions multivaluées de l'équation de Dirac, qui réalisent une représentation unitaire de dimension 1 du groupe fondamental du cylindre avec n points marqués. Nous introduisons et étudions la base canonique des solutions, la fonction de Green et la fonction tau de l'opérateur de Dirac singulier. Dans une seconde partie, nous obtenons, de deux facons différentes, les équations différentielles nonlinéaires satisfaites par les fonctions de corrélation du modéle d'Ising sur le cylindre.

Ce travail porte sur le développement d'un code numérique tridimensionnel pour la simulation d'entrées en tunnels de trains à grande vitesse en vue de proposer des solutions afin de réduire les nuisances occasionnées. L'écoulement de l'air est modélisé par les équations d'Euler instationnaires. Ces équations sont discrétisées à l'aide d'une formulation en volumes finis et résolues grâce à un schéma solveur de Riemann approché, d'ordre supérieur, particulièrement adapté à la propagation d'ondes. Pour gérer le mouvement relatif du train par rapport au tunnel, une méthode de maillage glissant est utilisée avec un traitement conservatif des faces aux niveaux des jonctions de maillages. Le domaine est ainsi décomposé en plusieurs sous-domaines, maillés indépendamment avec un mailleur cartésien automatique basé sur un maillage surfacique triangulaire. Pour réduire le domaine, et donc le temps de calcul, et accélérer la stabilisation de l'écoulement avant l'entrée du train, des conditions aux limites non réflectives sont implémentées. La méthodologie est validée sur plusieurs cas tests. Une étude paramétrique de l'influence d'un auvent à l'entrée du tunnel sur le gradient de l'onde de compression pression initiale est effectuée. Les paramètres de cette étude sont la forme, la longueur et la section de l'auvent. Enfin, l'effet d'ouvertures dans l'auvent est simulé.

On considère le problème d'advection-diffusion stationnaire v(∇u, ∇v)+( β*∇u, v) = (f, v) et non stationnaire d/dt (u(t), v) + v(∇u, ∇v)+( β*∇u, v) = (g(t), v), ainsi que le problème d'advection (β*∇u, v) = (f, v) sur un domaine polygonal borné du plan. Le terme de diffusion est approché par des éléments de Crouzeix Raviart et le terme de convection par une méthode upwind sur des volumes barycentriques finis avec un maillage triangulaire. Pour le problème stationnaire d'advection-diffusion, la L²-stabilité (c'est-à-dire indépendante du coefficient de diffusion v) est démontrée pour la solution du problème approché obtenue par cette méthode d'éléments finis et de volumes finis. Pour cela une condition sur la géométrie doit être satisfaite. Des exemples de maillages sont donnés. Toujours avec cette condition géométrique sur le maillage, une inégalité de stabilité (où la discrétisation en temps n'est pas couplée à une condition sur la finesse du maillage) est obtenue pour le cas non-stationnaire. La discrétisation en temps y est faite par un schéma d'Euler implicite. Une majoration de l'erreur, proportionnelle au pas en temps et à la finesse du maillage, est ensuite proposée et exprimée explicitement en fonction des données du problème. Pour le problème d'advection, une approche utilisant la théorie des graphes est utilisée pour obtenir l'existence et l'unicité de la solution, ainsi que le résultat de stabilité. Comme pour la stabilité du problème d'advection-diffusion, une condition géométrique - qui est équivalente pour les points intérieurs du maillage à celle du problème d'advection-diffusion - est nécessaire.

Les matériaux granulaires multiphasiques occupent une place très importante dans notre environnement qui suscitent un grand intérêt de nombreuses communautés scientifiques, notamment celles de la mécanique des sols ou de la géotechnique. Le caractère divisé permet les milieux granulaires multiphasiques d'avoir un comportement mécanique global qui trouve leur origine, leur distribution et interactions entre les phases de composition. Un modèle de couplage hydromécanique est présenté dans ce travail de thèse pour l'application à la modélisation microscopique des couplages hydromécaniques dans les matériaux granulaires saturés. Le modèle numérique est basé sur un couplage de la méthode des éléments discrets (DEM) avec une formulation en volumes finis, à l'échelle des pores (PFV), du problmème de l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible. Le solide est modélisé comme un arrangement de particules sphériques avec des interactions de type élasto-plastique aux contacts solide-solide. On considère un écoulement de Stokes incompressible, en supposant que les forces inertielles sont négligeables par rapport aux forces visqueuses. La géométrie des pores et leur connectivité sont définies sur la base d'une triangulation régulière des sphères, qui aboutit à un maillage tétrahédrique. La définition des conductivités hydrauliques à l'échelle des pores est un point clef du modèle, qui se rapproche sur ce point à des modèles de type pore-network. Une importance particulière réside dans les lois d'interactions fluide-solide permettant de déterminer des forces de fluide appliquées sur chacune des particules, tout en assurant un coût de calcul acceptable pour la modélisation en trois dimensions avec plusieurs millieurs des particules. Des mesures de perméabilités sur des assemblages bidisperses de billes de verre sont présentées et comparées aux prédictions du modèle et aux formules empiriques/semi-empiriques dans la littérature, ce qui valide la définition de la conductivité locale et met en évidence le rôle de la distribution granulométrique et la porosité. Une approche numérique pour analyser l'interaction mécanique fluide-solide et les mécanismes d'érosion interne est finalement présentée. / Multiphase granular materials occupy a very important place in our environment that are of great interest to many scientific communities, including those of soil mechanics or geotechnical engineering. The divided nature allows multiphase granular media to have a global mechanical behaviour which originates from all component phases, their distribution and interactions. Acoupled hydromechanical model is presented in this work for the application to microscopic modeling of coupled hydromechanical in saturated granular materials. The numerical model uses a combination of the discrete element method (DEM) with a pore-scale finite volume (PFV) formulation of flow problem of an incompressible viscous fluid. The solid is modeled as an assembly of spherical particles, where contact interactions are governed by elasto-plasticrelations. Stokes flow is considered, assuming that inertial forces are small in comparison with viscous forces. Pore geometry and pore connections are defined locally through regular triangulation of spheres, from which a tetrahedral mesh arises. The definition of pore-scale hydraulic conductivities is a key aspect of this model. In this sense, the model is similar to a pore-network model. The emphasis of this model is, on one hand the microscopic description of the interaction between phases, with the determination of the forces applied on solid particles by the fluid, on the other hand, the model involves affordable computational costs, that allow the simulation of thousands of particles in three dimensional models. Permeability measurements on bidispersed glass beads are reported and compared with model predictions and empirical formulas/semi-empirical in the literature, validating the definition of local conductivities and bringing out the role of particle size distribution and porosity. A numerical approach to analyze the fluid-solid mechanical interaction and mechanisms of internal erosion is finally presented.

Les simulateurs industriels deviennent de plus en plus complexes car ils doivent intégrer de façon performante des modèles physiques complets et des méthodes de discrétisation évoluées. Leur mise au point nécessite de gérer de manière efficace la complexité des modèles physiques sous-jacents, la complexité des méthodes numériques utilisées, la complexité des services numériques de bas niveau nécessaires pour tirer parti des architectures matérielle modernes et la complexité liée aux langages informatiques. Une réponse partielle au problème est aujourd'hui fournie par des plate-formes qui proposent des outils avancés pour gérer de façon transparente la complexité liée au parallélisme. Cependant elles ne gèrent que la complexité du matériel et les services numériques de bas niveau comme l'algèbre linéaire. Dans le contexte des méthodes Éléments Finis (EF), l'existence d'un cadre mathématique unifié a permis d'envisager des outils qui permettent d'aborder aussi la complexité issue des méthodes numériques et celle liée aux problèmes physiques, citons, par exemple, les projets Freefem++, Getdp, Getfem++, Sundance, Feel++ et Fenics. Le travail de thèse a consisté à étendre cette approche aux méthodes d'ordre bas pour des systèmes d'EDPs, méthodes qui souffraient jusqu'à maintenant d'une absence d'un cadre suffisamment général permettant son extension à des problèmes différents. Des travaux récents ont résolue cette difficulté, par l'introduction d'une nouvelle classe de méthodes d'ordre bas inspirée par les éléments finis non conformes. Cette formulation permet d'exprimer dans un cadre unifié les schémas VF multi-points et les méthodes DFM/VFMH. Ce nouveau cadre a permis la mise au point d'un langage spécifique DSEL en C++ qui permet de développer des applications avec un haut niveau d'abstraction, cachant la complexité des méthodes numériques et des services bas niveau garanties de haute performances. La syntaxe et les techniques utilisées sont inspirée par celles de Feel++. Le DSEL a été développé à partir de la plate-forme Arcane, et embarqué dans le C++. Les techniques de DSEL permettent de représenter un problème et sa méthode de résolution avec une expression, parsée à la compilation pour générer un programme, et évaluée à l'exécution pour construire un système linéaire que l'on peut résoudre pour trouver la solution du problème. Nous avons mis au point notre DSEL à l'aide d'outils standard issus de la bibliothèque Boost puis l'avons validé sur divers problèmes académiques non triviaux tels que des problèmes de diffusion hétérogène et le problème de Stokes. Dans un deuxième temps, dans le cadre du projet ANR HAMM (Hybrid Architecture and Multiscale Methods), nous avons validé notre approche en complexifiant le type de méthodes abordées et le type d'architecture matérielle cible pour nos programmes. Nous avons étendu le formalisme mathématique sur lequel nous nous basons pour pouvoir écrire des méthodes multi-échelle puis nous avons enrichi notre DSEL pour pouvoir implémenter de telles méthodes. Afin de pouvoir tirer partie de façon transparente des performances de ressources issues d'architectures hybrides proposant des cartes graphiques de type GPGPU, nous avons mis au point une couche abstraite proposant un modèle de programmation unifié qui permet d'accéder à différents niveaux de parallélisme plus ou moins fin en fonction des spécificités de l'architecture matérielle cible. Nous avons validé cette approche en évaluant les performances de cas tests utilisant des méthodes multi-échelle sur des configurations variés de machines hétérogènes. Pour finir nous avons implémenté des applications variées de type diffusion-advection-réaction, de Navier-Stokes incompressible et de type réservoir. Nous avons validé la flexibilité de notre approche et la capacité qu'elle offre à appréhender des problèmes variés puis avons étudié les performances des diverses implémentations. / Industrial simulation software has to manage : the complexity of the underlying physical models, usually expressed in terms of a PDE system completed with algebraic closure laws, the complexity of numerical methods used to solve the PDE systems, and finally the complexity of the low level computer science services required to have efficient software on modern hardware. Nowadays, this complexity management becomes a key issue for the development of scientific software. Some frameworks already offer a number of advanced tools to deal with the complexity related to parallelism in a transparent way. However, all these frameworks often provide only partial answers to the problem as they only deal with hardware complexity and low level numerical complexity like linear algebra. High level complexity related to discretization methods and physical models lack tools to help physicists to develop complex applications. New paradigms for scientific software must be developed to help them to seamlessly handle the different levels of complexity so that they can focus on their specific domain. Generative programming, component engineering and domain-specific languages (either DSL or DSEL) are key technologies to make the development of complex applications easier to physicists, hiding the complexity of numerical methods and low level computer science services. These paradigms allow to write code with a high level expressive language and take advantage of the efficiency of generated code for low level services close to hardware specificities. In the domain of numerical algorithms to solve partial differential equations, their application has been up to now limited to Finite Element (FE) methods, for which a unified mathematical framework has been existing for a long time. Such kinds of DSL have been developed for finite element or Galerkin methods in projects like Freefem++, Getdp, Getfem++, Sundance, Feel++ and Fenics. A new consistent unified mathematical frame has recently emerged and allows a unified description of a large family of lowest-order methods. This framework allows then, as in FE methods, the design of a high level language inspired from the mathematical notation, that could help physicists to implement their application writing the mathematical formulation at a high level. We propose to develop a language based on that frame, embedded in the C++ language. Our work relies on a mathematical framework that enables us to describe a wide family of lowest order methods including multiscale methods based on lowest order methods. We propose a DSEL developed on top of Arcane platform, based on the concepts presented in the unified mathematical frame and on the Feel++ DSEL. The DSEL is implemented with the Boost.Proto library by Niebler, a powerful framework to build a DSEL in C++. We have proposed an extension of the computational framework to multiscale methods and focus on the capability of our approach to handle complex methods.Our approach is extended to the runtime system layer providing an abstract layer that enable our DSEL to generate efficient code for heterogeneous architectures. We validate the design of this layer by benchmarking multiscale methods. This method provides a great amount of independent computations and is therefore the kind of algorithms that can take advantage efficiently of new hybrid hardware technology. Finally we benchmark various complex applications and study the performance results of their implementations with our DSEL.

L’adaptation de maillage est un outil puissant pour l’obtention de simulations aérodynamiques précises à coût limité. Dans le cas particulier des simulations visant au calcul de fonctions aérodynamiques (efforts, moments, rendements...), plusieurs méthodes dites de raffinement ciblé (ou, en anglais, « goal-oriented ») basées sur le vecteur adjoint de la fonction d’intérêt ont été proposées. L’objectif de la thèse est l’extension d’une méthode de ce type basée sur la dérivée totale dJ/dX de la grandeur aérodynamique d’intérêt, J, par rapport aux coordonnées du maillage volumique, X. Les trois méthodes usuelles de calcul de gradient discret – la méthode de différentiation directe, la méthode adjointe-"paramètres" et la méthode adjointe-"maillage" évaluant dJ/dX – ont tout d’abord été étudiées et codées dans le logiciel elsA de l’ONERA pour des maillages non-structurés, pour des écoulements compressibles de fluide parfait et des écoulements laminaires. La seconde étape du travail a consisté à créer un senseur local θ basé sur dJ/dX qui identifie les zones du maillage volumique où la position des nœuds a une forte incidence sur l’évaluation de la fonction J. Ce senseur sert d’indicateur pour l’adaptation de différents maillages, pour différents régimes d’écoulement (subsonique, transsonique, supersonique), pour des configurations d’aérodynamique interne (aube et tuyère) et externe (profil d’aile). La méthode proposée est comparée à une méthode de raffinement ciblée très populaire (Venditti et Darmofal, 2001) et à une méthode de raffinement basée sur les caractéristiques de l’écoulement (ou, en anglais, « feature-based ») ; elle conduit à des résultats très satisfaisants. / Mesh adaptation is a powerful tool to obtain accurate aerodynamic simulations with limited cost. In the specific case of computation of aerodynamic functions (forces, moments, efficiency ...), goal-oriented methods based on the adjoint vector have been proposed. The aim of the thesis is the extension of a method of this type based on the total derivative dJ/dX of the aerodynamic output of interest, J, with respect to the volume mesh coordinates, X. The three common methods for calculating discrete gradient – the direct differentiation method, the parameter-adjoint method and mesh-adjoint method evaluating dJ/dX – have been studied first and coded in the elsA ONERA software for unstructured grids, for compressible inviscid and laminar flows. The second part of this work was has been to define a local sensor θ based on dJ/dX in order to identify zones where the volume mesh nodes position has a strong impact on the evaluation of the function J. This sensor is the selected indicator for different mesh adaptations for different flow regimes (subsonic, transonic, supersonic) for internal (blade and nozzle) and external (wing profile) aerodynamic configurations. The proposed method is compared to a well-known goal-oriented method (Darmofal and Venditti, 2001) and to a feature-based method ; it leads to very consistent results. very consistent results.