Cette thèse est consacrée à l'étude de différents modèles de fluides quantiques, en particulier des modèles cinétiques, et aux liens entre ces modèles. La première partie est dédiée aux gaz de bosons. Nous nous intéressons d'abord à un fluide de bosons ayant une partie condensée, modélisé par deux équations couplées : une équation de Boltzmann quantique pour la partie normale, et une équation de Gross-Pitaevskii pour la partie condensée. Nous étudions formellement la limite hydrodynamique de ce système dans le scaling hyperbolique, couplée avec une limite semi-classique, et obtenons un système du type Euler compressible à deux fluides. Nous étudions le système limite dans l'approximation isentropique : hyperbolicité, solutions faibles, chocs, simulation numérique des chocs. Nous nous intéressons dans un deuxième temps à un modèle de type Boltzmann pour les bosons unidimensionnel et homogène en espace. Après avoir prouvé l'existence de solutions, nous montrons qu'elles convergent dans la limite des collisions rasantes (et dans un sens très faible) vers des solutions d'une équation de Fokker-Planck quantique. La deuxième partie est centrée sur l'équation de Boltzmann pour les fermions. Nous montrons un résultat d'existence de solutions vérifiant la conservation locale de la masse, du moment et de l'énergie cinétique dans un domaine à bord. Nous prouvons ensuite un résultat rigoureux de limite hydrodynamique dans le scaling Euler incompressible à l'aide de la méthode de l'entropie relative couplée à des techniques de filtrage des ondes acoustiques.

Ce travail est consacré à l'étude d'un problème issu de la physique des plasmas: le transfert thermique des électrons dans un plasma proche de l'équilibre maxwellien. Dans un premier temps, le régime asymptotique de Spitzer-Harm est étudié. Un modèle proposé par Schurtz et Nicolai est analysé et situé dans le cadre des modeles hydrodynamiques en dehors de la limite strictement asymptotique. Le lien avec les modèles non-locaux de Luciani et Mora est établi, ainsi que les propriétés mathématiques tels que le principe du maximum et la dissipation entropique. Ensuite, une dérivation formelle à partir des équations de Vlasov est proposée. Une hiérarchie de modèles intermédiaires entre les équations cinétiques et la limite hydrodynamique est décrite. En particulier, un nouveau système hydrodynamique, de nature intégro-différentielle, est proposé. Le système Schurtz et Nicolai apparaît comme une simplification du modèle issu de la diversion. L'existence et l'unicité de la solution du système non-stationnaire sont établies dans un cadre simplifié. La dernière partie est consacrée à la mise en œuvre d'un schéma numérique spécifique pour la résolution de ces modèles. Nous proposons une approche par volumes finis efficace sur des maillages non-structurés. La précision de ce schéma permet de capturer des effets spécifiques aux modèles cinéiques, qui ne peut être reproduit par le modèle asymptotique de Spitzer-Harm. La consistance de ce schéma avec celui de l'équation Spitzer-Harm est mise en evidence, ouvrant la voie à une stratégie de couplage entre les deux modèles.

Dans cette thèse, nous développons des méthodes analytiques et numériques pour capturer les dynamiques asymptotiques de problèmes issus de la physique des plasmas et de la modélisation des mouvements collectifs dans les populations animales. Dans une première partie, nous présentons une méthode numérique Particle-In-Cell (PIC) pour le système Vlasov-Poisson préservant l'asymptotique quasi-neutre. Dans une seconde partie, nous étudions la limite macroscopique d'un modèle de Vicsek décrivant des interactions d'alignement entre deux populations, une population à l'arrêt et une population en mouvement. Nous sélectionnons ensuite un schéma numérique pour capturer les solutions du modèle macroscopique de Vicsek correspondant à la dynamique particulaire sous-jacente. La troisième partie est dédiée à l'étude des transitions compressible-incompressible apparaissant sous l'effet d'une contrainte de congestion dans un modèle macroscopique de déplacement collectif. Des schémas numériques préservant l'asymptotique de congestion sont ensuite mis au point pour le système d'Euler avec une contrainte de densité maximale.

Le glioblastome est une tumeur cérébrale maligne particulièrement agressive et le pronostic vital des patients atteints par cette tumeur est très mauvais. La médiane de survie est de l'ordre de 12 mois même lorsqu'une stratégie thérapeutique a pu être mise en place. Un des facteurs qui pourrait expliquer la dificulté à traiter ces tumeurs par voie chirurgicale est l'invasion des cellules tumorales dans le tissu sain environnant. De plus, les mécanismes à l'origine de ce phénomène sont, en partie, méconnus. L'objectif que nous nous étions fixé pour mon travail de thèse était de s'intéresser à ces mécanismes d'invasion en étudiant la migration in vitro de cellules tumorales issues de glioblastomes. Pour cela, nous avons créé un modèle de migration microscopique, basé sur un automate cellulaire, reproduisant la migration de cellules tumorales sur deux substrats différents : substrat de collagène et monocouche d'astrocytes. Les cellules migrent selon des règles prédéfinies et dépendant des interactions (de contact ou à plus longue portée) introduites. La confrontation des simulations avec les expériences a permis de valider le modèle et de mettre en évidence deux phénomènes : une communication par contact entre cellules tumorales et entre cellules tumorales et astrocytes (cette dernière favoriserait l'invasion des cellules tumorales) et la sécrétion à partir de la masse tumorale d'une substance chimio-répulsive favorisant sur la migration des cellules. Afin de décrire l'évolution d'une masse tumorale plus réaliste, nous avons construit et validé un modèle macroscopique (équation de diffusion non linéaire) à partir de l'automate, en tenant compte des interactions entre cellules tumorales.

Dans cette thèse, on étudie un système de particules en interaction qui généralise un processus de contact, évoluant en environnement aléatoire. Le processus de contact peut être interprété comme un modèle de propagation d'une population ou d'une infection. La motivation de ce modèle provient de la biologie évolutive et de l'écologie comportementale via la technique du mâle stérile, il s'agit de contrôler une population d'insectes en y introduisant des individus stérilisés de la même espèce: la progéniture d'une femelle et d'un individu stérile n'atteignant pas de maturité sexuelle, la population se voit réduite jusqu'à potentiellement s'éteindre. Pour comprendre ce phénomène, on construit un modèle stochastique spatial sur un réseau dans lequel la population suit un processus de contact dont le taux de croissance est ralenti en présence d'individus stériles, qui forment un environnement aléatoire dynamique. Une première partie de ce document explore la construction et les propriétés du processus sur le réseau Z^d. On obtient des conditions de monotonie afin d'étudier la survie ou la mort du processus. On exhibe l'existence et l'unicité d'une transition de phase en fonction du taux d'introduction des individus stériles. D'autre part, lorsque d=1 et cette fois en fixant l'environnement aléatoire initialement, on exhibe de nouvelles conditions de survie et de mort du processus qui permettent d'expliciter des bornes numériques pour la transition de phase. Une seconde partie concerne le comportement macroscopique du processus en étudiant sa limite hydrodynamique lorsque l'évolution microscopique est plus complexe. On ajoute aux naissances et aux morts des déplacements de particules. Dans un premier temps sur le tore de dimension d, on obtient à la limite un système d'équations de réaction-diffusion. Dans un second temps, on étudie le système en volume infini sur Z^d, et en volume fini, dans un cylindre dont le bord est en contact avec des réservoirs stochastiques de densités différentes. Ceci modélise des phénomènes migratoires avec l'extérieur du domaine que l'on superpose à l'évolution. À la limite on obtient un système d'équations de réaction-diffusion, auquel s'ajoutent des conditions de Dirichlet aux bords en présence de réservoirs. / In this thesis, we study an interacting particle system that generalizes a contact process, evolving in a random environment. The contact process can be interpreted as a spread of a population or an infection. The motivation of this model arises from behavioural ecology and evolutionary biology via the sterile insect technique ; its aim is to control a population by releasing sterile individuals of the same species: the progeny of a female and a sterile male does not reach sexual maturity, so that the population is reduced or potentially dies out. To understand this phenomenon, we construct a stochastic spatial model on a lattice in which the evolution of the population is governed by a contact process whose growth rate is slowed down in presence of sterile individuals, shaping a dynamic random environment. A first part of this document investigates the construction and the properties of the process on the lattice Z^d. One obtains monotonicity conditions in order to study the survival or the extinction of the process. We exhibit the existence and uniqueness of a phase transition with respect to the release rate. On the other hand, when d=1 and now fixing initially the random environment, we get further survival and extinction conditions which yield explicit numerical bounds on the phase transition. A second part concerns the macroscopic behaviour of the process by studying its hydrodynamic limit when the microscopic evolution is more intricate. We add movements of particles to births and deaths. First on the d-dimensional torus, we derive a system of reaction-diffusion equations as a limit. Then, we study the system in infinite volume in Z^d, and in a bounded cylinder whose boundaries are in contact with stochastic reservoirs at different densities. As a limit, we obtain a non-linear system, with additionally Dirichlet boundary conditions in bounded domain.

Cette thèse est consacrée à l’étude des modèles microscopiques pour la dérivation de la conduction de la chaleur. Démontrer rigoureusement une équation diffusive macroscopique à partir d’une description microscopique du système est à aujourd’hui encore un problème ouvert. On étudie un système décrit par l’équation de Schrödinger linéaire discrète (DLS) en dim 1, perturbé par une dynamique stochastique conservative. On peut montrer que le système a une limite hydrodynamique donnée par la solution de l’équation de la chaleur. Quand le système est rattaché aux bords à deux réservoirs de Langevin à deux différents potentiels chimiques, on peut montrer que l’état stationnaire, dans la limite vers l'infinie, satisfait la loi de Fourier. On étudie une chaine des oscillateurs anharmonique immergée en un réservoir de chaleur avec un gradient de température. On exerce une tension, variable dans le temps, à une des deux extrémités de la chaine, et l’autre reste fixe. On montre que sous un changement d’échelle diffusive dans l’espace et dans le temps, la distribution d’étirement de la chaine évolue selon un équation diffusive non-linéaire. On développe des estimations qui reposent sur l’hypocoercitivité entropique. La limite macroscopique peut être utilisée pour modéliser les transformations thermodynamique isothermiques entre états stationnaire de non-équilibre. / The object of research of this thesis is the derivation of heat equation from the underlying microscopic dynamics of the system. Two main models have been studied: a microscopic system described by the discrete Schrödinger equation and an anharmonic chain of oscillators in presence of a gradient of temperature. The first model considered is the one-dimensional discrete linear Schrödinger (DLS) equation perturbed by a conservative stochastic dynamics, that changes the phase of each particles, conserving the total norm (or number of particles). The resulting total dynamics is a degenerate hypoelliptic diffusion with a smooth stationary state. It has been shown that the system has a hydrodynamical limit given by the solution of the heat equation. When it is coupled at the boundaries to two Langevin thermostats at two different chemical potentials, it has been proven that the stationary state, in the limit to infinity, satisfies the Fourier’s law. The second model considered is a chain of anharmonic oscillators immersed in a heat bath with a temperature gradient and a time varying tension applied to one end of the chain while the other side is fixed to a point. We prove that under diffusive space-time rescaling the volume strain distribution of the chain evolves following a non-linear diffusive equation. The stationary states of the dynamics are of non-equilibrium and have a positive entropy production, so the classical relative entropy methods cannot be used. We develop new estimates based on entropic hypocoercivity, that allows to control the distribution of the positions configurations of the chain. The macroscopic limit can be used to model isothermal thermodynamic transformations between non-equilibrium stationary states. CEMRACS project on simulating Rayleigh- Taylor and Richtmyer-Meshkov turbulent mixing zones with a probability density function method at last.

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L'étude des dynamiques collectives, observables chez de nombreuses espèces animales, a motivé dans les dernières décennies un champ de recherche actif et transdisciplinaire. De tels comportements sont souvent modélisés par de la matière active, c'est-à-dire par des modèles dans lesquels chaque individu est caractérisé par une vitesse propre qui tend à s'aligner avec celle de ses voisins.Dans un modèle fondateur proposé par Vicsek et al., ainsi que dans de nombreux modèles de matière active liés à ce dernier, une transition de phase entre un comportement chaotique à forte température, et un comportement global et cohérent à faible température, a été observée. De nombreuses preuves numériques de telles transitions de phase ont été obtenues dans le cadre des dynamiques collectives. D'un point de vue mathématique, toutefois, ces systèmes actifs sont encore mal compris. Plusieurs résultats ont été obtenus récemment sous une approximation de champ moyen, mais il n'y a encore à ce jour que peu d'études mathématiques de modèles actifs faisant intervenir des interactions purement microscopiques.Dans ce manuscrit, nous décrivons un système de particules actives sur réseau interagissant localement pour aligner leurs vitesses. L'objet de cette thèse est l'obtention rigoureuse, à l'aide du formalisme des limites hydrodynamiques pour les gaz sur réseau, de la limite macroscopique de ce système hors-équilibre, qui pose de nombreuses difficultés techniques et théoriques. / Collective dynamics can be observed among many animal species, and have given rise in the last decades to an active and interdisciplinary field of study. Such behaviors are usually modeled by active matter, in which each individual is self-driven and tends to align its velocity with that of its neighbors.In a classical model introduced by Vicsek & al., as well as in numerous related active matter models, a phase transition between chaotic behavior at high temperature and global order at low temperature can be observed. Even though ample evidence of these phase transitions has been obtained for collective dynamics, from a mathematical standpoint, such active systems are not fully understood yet. Some progress has been achieved in the recent years under an assumption of mean-field interactions, however to this day, few rigorous results have been obtained for models involving purely local interactions.In this manuscript, we describe a lattice active particle system interacting locally to align their velocities. This thesis aims at rigorously obtaining, using the formalism developed for hydrodynamic limits of lattice gases, the scaling limit of this out-of-equilibrium system, for which numerous technical and theoretical difficulties arise.

Ce travail étudie l'influence des propriétés de surface sur l'écoulement limite de liquides<br />simples aux parois solides, à l'aide d'expériences de nanorhéologie réalisées avec<br />une machine à forces de surfaces dynamique. Nous mettons d'abord en évidence l'influence<br />du mouillage sur la condition limite hydrodynamique intrinsèque s'appliquant sur<br />des surfaces lisses à l'échelle nanométrique. Nous montrons en revanche que le glissement<br />interfacial ne dépend pas de la viscosité du liquide. Nous étudions ensuite l'écoulement<br />limite et la friction sur des interfaces complexes d'intérêt biologique solide/bicouche de<br />phospholipides/eau. Enfin nous étudions l'écoulement de mélanges eau-glycérol sur des<br />surfaces texturées et superhydrophobes. Nous mesurons à distance les propriétés élastiques<br />de ces surfaces dues aux poches de gaz piégées. Nous montrons que contrairement<br />à une idée répandue, ces poches de gaz ne sont pas toujours lubrifiantes et peuvent<br />augmenter significativement la friction interfaciale.

Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.