This work is about convergence to equilibrium problems for equations coming from kinetic theory. The bulk of the work is about Hypocoercivity. Hypocoercivity is the phenomenon when a semigroup shows exponentially relaxation towards equilibrium without the corresponding coercivity (dissipativity) inequality on the Dirichlet form in the natural space, i.e. a lack of contractivity. In this work we look at showing hypocoercivity in weak measure distances, and using probabilistic techniques. First we review the history of convergence to equilibrium for kinetic equations, particularly for spatially inhomogeneous kinetic theory (Boltzmann and Fokker-Planck equations) which motivates hypocoercivity. We also review the existing work on showing hypocoercivity using probabilistic techniques. We then present three different ways of showing hypocoercivity using stochastic tools. First we study the kinetic Fokker-Planck equation on the torus. We give two different coupling strategies to show convergence in Wasserstein distance, $W_2$. The first relies on explicitly solving the stochastic differential equation. In the second we couple the driving Brownian motions of two solutions with different initial data, in a well chosen way, to show convergence. Next we look at a classical tool to show convergence to equilibrium for Markov processes, Harris's theorem. We use this to show quantitative convergence to equilibrium for three Markov jump processes coming from kinetic theory: the linear relaxation/BGK equation, the linear Boltzmann equation, and a jump process which is similar to the kinetic Fokker-Planck equation. We show convergence to equilibrium for these equations in total variation or weighted total variation norms. Lastly, we revisit a version of Harris's theorem in Wasserstein distance due to Hairer and Mattingly and use this to show quantitative hypocoercivity for the kinetic Fokker-Planck equation with a confining potential via Malliavin calculus. We also look at showing hypocoercivity in relative entropy. In his seminal work work on hypocoercivity Villani obtained results on hypocoercivity in relative entropy for the kinetic Fokker-Planck equation. We review this and subsequent work on hypocoercivity in relative entropy which is restricted to diffusions. We show entropic hypocoercivity for the linear relaxation Boltzmann equation on the torus which is a non-local collision equation. Here we can work around issues arising from the fact that the equation is not in the H\"{o}rmander sum of squares form used by Villani, by carefully modulating the entropy with hydrodynamical quantities. We also briefly review the work of others to show a similar result for a close to quadratic confining potential and then show hypocoercivity for the linear Boltzmann equation with close to quadratic confining potential using similar techniques. We also look at convergence to equilibrium for Kac's model coupled to a non-equilibrium thermostat. Here the equation is directly coercive rather than hypocoercive. We show existence and uniqueness of a steady state for this model. We then show that the solution will converge exponentially fast towards this steady state both in the GTW metric (a weak measure distance based on Fourier transforms) and in $W_2$. We study how these metrics behave with the dimension of the state space in order to get rates of convergence for the first marginal which are uniform in the number of particles.

Cette thèse est consacrée à l’étude des modèles microscopiques pour la dérivation de la conduction de la chaleur. Démontrer rigoureusement une équation diffusive macroscopique à partir d’une description microscopique du système est à aujourd’hui encore un problème ouvert. On étudie un système décrit par l’équation de Schrödinger linéaire discrète (DLS) en dim 1, perturbé par une dynamique stochastique conservative. On peut montrer que le système a une limite hydrodynamique donnée par la solution de l’équation de la chaleur. Quand le système est rattaché aux bords à deux réservoirs de Langevin à deux différents potentiels chimiques, on peut montrer que l’état stationnaire, dans la limite vers l'infinie, satisfait la loi de Fourier. On étudie une chaine des oscillateurs anharmonique immergée en un réservoir de chaleur avec un gradient de température. On exerce une tension, variable dans le temps, à une des deux extrémités de la chaine, et l’autre reste fixe. On montre que sous un changement d’échelle diffusive dans l’espace et dans le temps, la distribution d’étirement de la chaine évolue selon un équation diffusive non-linéaire. On développe des estimations qui reposent sur l’hypocoercitivité entropique. La limite macroscopique peut être utilisée pour modéliser les transformations thermodynamique isothermiques entre états stationnaire de non-équilibre. / The object of research of this thesis is the derivation of heat equation from the underlying microscopic dynamics of the system. Two main models have been studied: a microscopic system described by the discrete Schrödinger equation and an anharmonic chain of oscillators in presence of a gradient of temperature. The first model considered is the one-dimensional discrete linear Schrödinger (DLS) equation perturbed by a conservative stochastic dynamics, that changes the phase of each particles, conserving the total norm (or number of particles). The resulting total dynamics is a degenerate hypoelliptic diffusion with a smooth stationary state. It has been shown that the system has a hydrodynamical limit given by the solution of the heat equation. When it is coupled at the boundaries to two Langevin thermostats at two different chemical potentials, it has been proven that the stationary state, in the limit to infinity, satisfies the Fourier’s law. The second model considered is a chain of anharmonic oscillators immersed in a heat bath with a temperature gradient and a time varying tension applied to one end of the chain while the other side is fixed to a point. We prove that under diffusive space-time rescaling the volume strain distribution of the chain evolves following a non-linear diffusive equation. The stationary states of the dynamics are of non-equilibrium and have a positive entropy production, so the classical relative entropy methods cannot be used. We develop new estimates based on entropic hypocoercivity, that allows to control the distribution of the positions configurations of the chain. The macroscopic limit can be used to model isothermal thermodynamic transformations between non-equilibrium stationary states. CEMRACS project on simulating Rayleigh- Taylor and Richtmyer-Meshkov turbulent mixing zones with a probability density function method at last.

Nous étudions les propriétés des états stationnaires et de dynamiques hors-équilibre, d’un point de vue théorique et numérique. Ces dynamiques sont obtenues en perturbant la dynamique d’équilibre par forçage mécanique et/ou thermique. Dans l’approche théorique, le système considéré évolue selon une dynamique de Langevin à laquelle on ajoute une force extérieure. Nous étudions la convergence de la loi de la dynamique vers la mesure stationnaire, en donnant des estimations quantitatives du taux, dans les régimes Hamiltonien et sur amorties. Dans l’approche numérique, nous considérons une chaîne de rotateurs soumise aux deux forçages et une chaîne d’oscillateurs de Toda soumise à un forçage thermique et à une perturbation stochastique. Nous étudions les caractéristiques de l’état stationnaire et les propriétés de transport. Dans le cas de la chaîne de rotateurs nous observons en particulier que le courant d’énergie moyen est dans certains cas accru par un gradient de température opposé. / We study the properties of stationary states associated with nonequilibrium dynamics from a theoretical and a numerical point of view. These dynamics are obtained by perturbing equilibrium dynamics with mechanical and / or thermal forcings. In the theoretical approach, the system considered evolves according to a Langevin dynamics perturbed by a torque. In this framework, we study the convergence of the law of dynamics to the stationary measure, giving quantitative estimates of the exponential rate, both in the Hamiltonian and `` overdamped '' regimes.By a numerical approach, we consider a chain of rotors subjected to both forcings and a chain of Toda oscillators subject to a thermal forcing and a stochastic perturbation. We study the features of the stationary state and analyze its transport properties. In particular, in the case of the rotor chain, contrary to what is naively expected, we observe that the average energy current is in some cases increased by an opposite temperature gradient.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de quelques modèles d'équations aux dérivées partielles issues de la physique des plasmas. On s'intéresse principalement à l'analyse théorique de différents régimes asymptotiques de systèmes d'équations cinétiques de type Vlasov-Poisson-Fokker-Planck. Dans un premier temps, en présence d'un champ magnétique extérieur on se concentre sur l'approximation des électrons sans masse fournissant des modèles réduits lorsque le rapport me{mi entre la masse me d'un électron et la masse mi d'un ion tend vers 0 dans les modèles. Suivant le régime considéré, on montre qu'à la limite les solutions vérifient des modèles hydrodynamiques de type convection-diffusion ou sont données par des densités de type Maxwell-Boltzmann-Gibbs, suivant l'intensité des collisions dans la mise à l'échelle. En utilisant les propriétés hypocoercives et hypoelliptiques des équations, on est capable d'obtenir des taux de convergence en fonction du rapport de masse. Dans un second temps, par des méthodes similaires, on montre la convergence exponentielle en temps long vers l'équilibre des solutions du système de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck sans champ magnétique avec des taux explicites en les paramètres du modèles. Enfin, on conçoit un nouveau type de schéma volumes finis pour des équations de convection-diffusion non-linéaires assurant le bon comportement en temps long des solutions discrètes. Ces propriétés sont vérifiées numériquement sur plusieurs modèles dont l'équation de Fokker-Planck avec champ magnétique / This thesis is devoted to the mathematical study of some models of partial differential equations from plasma physics. We are mainly interested in the theoretical study of various asymptotic regimes of Vlasov-Poisson-Fokker-Planck systems. First, in the presence of an external magnetic field, we focus on the approximation of massless electrons providing reduced models when the ratio me{mi between the mass me of an electron and the mass mi of an ion tends to 0 in the equations. Depending on the scaling, it is shown that, at the limit, solutions satisfy hydrodynamic models of convection-diffusion type or are given by Maxwell-Boltzmann-Gibbs densities depending on the intensity of collisions. Using hypocoercive and hypoelliptic properties of the equations, we are able to obtain convergence rates as a function of the mass ratio. In a second step, by similar methods, we show exponential convergence of solutions of the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system without magnetic field towards the steady state, with explicit rates depending on the parameters of the model. Finally, we design a new type of finite volume scheme for a class of nonlinear convection-diffusion equations ensuring the satisfying long-time behavior of discrete solutions. These properties are verified numerically on several models including the Fokker-Planck equation with magnetic field

This thesis consists of three parts: The first and second parts focus on long-time asymptotics of macroscopic and kinetic models respectively, while in the third part we connect these regimes using different scaling approaches. (1) Keller–Segel-type aggregation-diffusion equations: We study a Keller–Segel-type model with non-linear power-law diffusion and non-local particle interaction: Does the system admit equilibria? If yes, are they unique? Which solutions converge to them? Can we determine an explicit rate of convergence? To answer these questions, we make use of the special gradient flow structure of the equation and its associated free energy functional for which the overall convexity properties are not known. Special cases of this family of models have been investigated in previous works, and this part of the thesis represents a contribution towards a complete characterisation of the asymptotic behaviour of solutions. (2) Hypocoercivity techniques for a fibre lay-down model: We show existence and uniqueness of a stationary state for a kinetic Fokker-Planck equation modelling the fibre lay-down process in non-woven textile production. Further, we prove convergence to equilibrium with an explicit rate. This part of the thesis is an extension of previous work which considered the case of a stationary conveyor belt. Adding the movement of the belt, the global equilibrium state is not known explicitly and a more general hypocoercivity estimate is needed. Although we focus here on a particular application, this approach can be used for any equation with a similar structure as long as it can be understood as a certain perturbation of a system for which the global Gibbs state is known. (3) Scaling approaches for collective animal behaviour models: We study the multi-scale aspects of self-organised biological aggregations using various scaling techniques. Not many previous studies investigate how the dynamics of the initial models are preserved via these scalings. Firstly, we consider two scaling approaches (parabolic and grazing collision limits) that can be used to reduce a class of non-local kinetic 1D and 2D models to simpler models existing in the literature. Secondly, we investigate how some of the kinetic spatio-temporal patterns are preserved via these scalings using asymptotic preserving numerical methods.

Ma thèse de doctorat se concentre principalement sur le comportement en temps long des processus de Markov, les inégalités fonctionnelles et les techniques relatives. Plus spécifiquement, Je vais présenter les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Markov dans deux approches : la méthode Meyn-Tweedie et l’hypocoercivité (faible). Le document se divise en trois parties. Dans la première partie, Je vais présenter quelques résultats importants et des connaissances connexes. D’abord, un aperçu de mon domaine de recherche sera donné. La convergence exponentielle (ou sous-exponentielle) des chaînes de Markov et des processus de Markov (à temps continu) est un sujet d’actualité dans la théorie des probabilité. La méthode traditionnelle développée et popularisée par Meyn-Tweedie est largement utilisée pour ce problème. Dans la plupart des résultats, le taux de convergence n’est pas explicite, et certains d’entre eux seront brièvement présentés. De plus, la fonction de Lyapunov est cruciale dans l’approche Meyn-Tweedie, et elle est aussi liée à certaines inégalités fonctionnelles (par exemple, inégalité de Poincaré). Cette relation entre fonction de Lyapounov et inégalités fonctionnelles sera donnée avec les résultats au sens L2. En outre, pour l’exemple de l’équation cinétique de Fokker-Planck, un résultat de convergence exponentielle explicite de la solution sera introduite à la manière de Villani : l’hypocoercivité. Ces contenus sont les fondements de mon travail, et mon but est d’étudier la décroissance sous-exponentielle. La deuxième partie, fait l’objet d’un article écrit en coopération avec d’autres sur les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Markov à temps continu. Comme nous le savons, les résultats sur les taux de convergence explicites ont été donnés pour le cas exponentiel. Nous les étendons au cas sous-exponentielle par l’approche Meyn-Tweedie. La clé de la preuve est l’estimation du temps de passage dans un ensemble ”petite”, obtenue par Douc, Fort et Guillin, mais pour laquelle nous donnons une preuve plus simple. Nous utilisons aussi la construction du couplage et donnons une ergodicité sous exponentielle explicite. Enfin, nous donnons quelques applications numériques. Dans la dernière partie, mon second article traite de l’équation cinétique de Fokker-Planck. Je prolonge l’hypocoercivité à l’hypocoercivité faible qui correspond à inégalité de Poincaré faible. Grâce à cette extension, on peut obtenir le taux de convergence explicite de la solution, dans des cas sous-exponentiels. La convergence est au sens H1 et au sens L2. A la fin de ce document, j’étudie le cas de l’entropie relative comme Villani, et j’obtiens la convergence au sens de l’entropie. Enfin, Je donne deux exemples pour les potentiels qui impliquent l’inégalité de Poincaré faible ou l’inégalité de Sobolev logarithmique faible pour la mesure invariante. / My Ph.D dissertation mainly focuses on long time behavior of Markov processes, functional inequalities and related techniques. More specifically, I will present the computable sub-exponential convergence rate of the Markov process in two approaches : Meyn-Tweedie’s method and (weak) hypocoercivity. The paper consists of three parts. In the first part, I will introduce some important results and related knowledge. Firstly, overviews of my research field are given. Exponential (or subexponential) convergence of Markov chains and (continuous time) Markov processes is a hot issue in probability. The traditional method - Meyn-Tweedie’s approach is widely applied for this problem. Most of the results about convergence rate is not explicit, and some of them will be introduced briefly. In addition,Lyapunov function is crucial in Meyn-Tweendie’s aproach, and it is also related to some functional inequalities (for example, Poincar´e inequality). The relationship of them will be given with results in L2 sense. Furthermore, as a example of kinetic Fokker-Planck equation, a computable result of exponential convergence of the solution of it will be introduced in Villani’ way - hypocoercivity. These contents are foundations of my work, and my destination is to study the sub-exponential decay. In the second part, it is my article cooperated with others about subexponential convergence rate of continuous time Markov processes. As we all know, the explicit results of convergence rate is about the exponential case. We extend them to sub-exponential case in Meyn-Tweedie’s approach. The key of the proof is the estimation of the hitting time to small set which was got by Douc, Fort and Guillin, for which we also propose an alternative simpler proof. We also use coupling construction as others and give a quantitative sub-exponential ergodicity. At last, we give some calculations for examples. In the last part, my second article deal with the kinetic Fokker-Planck equation. I extend the hypocoercivity to weak hypocoercivity which correspond to weak Poincar´e inequality. Through the extension, one can get the computable rate of convergence of the solution, which is also sub-exponential case. The convergence is in H1 sense and in L2 sense. In the end of this paper, I study the relative entropy case as C.Villani, and get convergence in entropy. Finally, I give two examples for potentials that implies weak Poincar´e inequality or weak logarithmic Sobolve inequality for invarient measure.

Cette thèse vise à étudier certains modèles biologiques dans le réseau neuronal et dans la chimiotaxie avec la méthode d’analyse spectrale. Afin de traiter les principaux problèmes, tels que l’existence et l’unicité des solutions et des états stationnaires ainsi que les comportements asymptotiques, le modèle linéaire ou linéarisé associé est considéré par l’aspect du spectre et des semi-groupes dans les espaces appropriés, puis la stabilité de modèle non linéaire suit. Plus précisément, nous commençons par une équation de courses-et-chutes linéaire dans la dimension d≥1 pour établir l’existence d’un état stationnaire unique, positif et normalisé et la stabilité exponentielle asymptotique dans l’espace L¹ pondéré basé sur la théorie de Kerin-Rutman avec quelques estimations du moment de la théorie cinétique. Ensuite, nous considérons le modèle du temps écoulé sous les hypothèses générales sur le taux de tir et nous prouvons l’unicité de l’état stationnaire et sa stabilité exponentielle non linéaire en cas sans ou avec délai au régime de connectivité faible de la théorie de l’analyse spectrale pour les semi-groupes. Enfin, nous étudions le modèle sous une hypothèse de régularité plus faible sur le taux de tir et l’existence de la solution ainsi que la même stabilité exponentielle sont généralement établies n’importe la prise en compte du délai ou non, au régime de connectivité faible ou forte. / This thesis is aimed to study some biological models in neuronal network and chemotaxis with the spectral analysis method. In order to deal with the main concerning problems, such as the existence and uniqueness of the solutions and steady states as well as the asymptotic behaviors, the associated linear or linearized model is considered from the aspect of spectrum and semigroups in appropriate spaces then the nonlinear stability follows. More precisely, we start with a linear runs-and-tumbles equation in dimension d≥1 to establish the existence of a unique positive and normalized steady state and the exponential asymptotic stability in weighted L¹ space based on the Krein-Rutman theory together with some moment estimates from kinetic theory. Then, we consider time elapsed model under general assumptions on the firing rate and prove the uniqueness of the steady state and its nonlinear exponential stability in case without or with delay in the weak connectivity regime from the spectral analysis theory for semigroups. Finally, we study the model under weaker regularity assumption on the firing rate and the existence of the solution as well as the same exponential stability are established generally no matter taking delay into account or not and no matter in weak or strong connectivity regime.