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1	Théorèmes asymptotiques pour les équations de Boltzmann et de Landau Carrapatoso, Kléber 09 December 2013 (has links) (PDF) Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau. [MATH:MATH_PR] Mathematics/Probability Théorie cinétique Systèmes de particules Équation de Landau Équation de Boltzmann Processus à sauts Chaos Chaos entropique Fisher chaos Propagation du chaos Entropie Théorème central limite Retour à l'équilibre Convergence exponentielle Trou spectral Hypodissipativité Molécules maxwelliennes Potentiels durs Collisions rasantes
2	Stabilité pour des modèles de réseaux de neurones et de chimiotaxie / Stability for the models of neuronal network and chemotaxis Weng, Qilong 29 September 2017 (has links) Cette thèse vise à étudier certains modèles biologiques dans le réseau neuronal et dans la chimiotaxie avec la méthode d’analyse spectrale. Afin de traiter les principaux problèmes, tels que l’existence et l’unicité des solutions et des états stationnaires ainsi que les comportements asymptotiques, le modèle linéaire ou linéarisé associé est considéré par l’aspect du spectre et des semi-groupes dans les espaces appropriés, puis la stabilité de modèle non linéaire suit. Plus précisément, nous commençons par une équation de courses-et-chutes linéaire dans la dimension d≥1 pour établir l’existence d’un état stationnaire unique, positif et normalisé et la stabilité exponentielle asymptotique dans l’espace L¹ pondéré basé sur la théorie de Kerin-Rutman avec quelques estimations du moment de la théorie cinétique. Ensuite, nous considérons le modèle du temps écoulé sous les hypothèses générales sur le taux de tir et nous prouvons l’unicité de l’état stationnaire et sa stabilité exponentielle non linéaire en cas sans ou avec délai au régime de connectivité faible de la théorie de l’analyse spectrale pour les semi-groupes. Enfin, nous étudions le modèle sous une hypothèse de régularité plus faible sur le taux de tir et l’existence de la solution ainsi que la même stabilité exponentielle sont généralement établies n’importe la prise en compte du délai ou non, au régime de connectivité faible ou forte. / This thesis is aimed to study some biological models in neuronal network and chemotaxis with the spectral analysis method. In order to deal with the main concerning problems, such as the existence and uniqueness of the solutions and steady states as well as the asymptotic behaviors, the associated linear or linearized model is considered from the aspect of spectrum and semigroups in appropriate spaces then the nonlinear stability follows. More precisely, we start with a linear runs-and-tumbles equation in dimension d≥1 to establish the existence of a unique positive and normalized steady state and the exponential asymptotic stability in weighted L¹ space based on the Krein-Rutman theory together with some moment estimates from kinetic theory. Then, we consider time elapsed model under general assumptions on the firing rate and prove the uniqueness of the steady state and its nonlinear exponential stability in case without or with delay in the weak connectivity regime from the spectral analysis theory for semigroups. Finally, we study the model under weaker regularity assumption on the firing rate and the existence of the solution as well as the same exponential stability are established generally no matter taking delay into account or not and no matter in weak or strong connectivity regime. Théorie de l’analyse spectrale Modèle de courses-Et-Chutes Équations cinétiques Processus de vitesse-Saut Chimiotaxie État stationnaire Stabilité asymptotique Hypocoercivité Réseau de neurones Dynamique du temps écoulé Connectivité faible Connectivité forte Hypodissipativité Convergence exponentielle Spectral analysis theory Runs-And-Tumbles model Kinetic equations Velocity-Jump processes Chemotaxis Stationary state Asymptotic stability Hypocoercivity Neuron network Time elapsed dynamics Weak connectivity Strong connectivity Hypodissipativity Exponential convergence 515
3	Théorèmes asymptotiques pour les équations de Boltzmann et de Landau / Asymptotic theorems for Boltzmann and Landau equations Carrapatoso, Kléber 09 December 2013 (has links) Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau. / This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation. Théorie cinétique Systèmes de particules Équation de Landau Équation de Boltzmann Processus à sauts Chaos Chaos entropique Fisher chaos Propagation du chaos Entropie Théorème central limite Retour à l'équilibre Convergence exponentielle Trou spectral Hypodissipativité Molécules maxwelliennes Potentiels durs Collisions rasantes Kinetic theory Many-particle system Landau equation Boltzmann equation Jump process Mean field limit Chaos Entropic chaos Fisher chaos Propagation of chaos Entropy Central limit theorem Relaxation to equilibrium Exponential convergence Spectral gap Hypodissipativity Maxwellian molecules Hard potentials Grazing collisions 510
4	Existence et stabilité de solutions fortes en théorie cinétique des gaz / Existence and stability of strong solutions in kinetic theory Tristani, Isabelle 22 June 2015 (has links) Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes. / The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one. Théorie cinétique Équation de Boltzmann Collisions inélastiques Équation de Boltzmann sans cut-Off Équation de Landau Potentiels durs Potentiels faiblement mous Équation de Fokker-Planck Diffusion fractionnaire Retour à l’équilibre Convergence exponentielle Trou spectral Décroissance du semi-Groupe Hypodissipativité Kinetic theory Boltzmann equation Inelastic collisions Boltzmann equation without cut-Off Landau equation Hard potentials Moderately soft potentials Fokker-Planck equation Fractional diffusion Trend to equilibrium Exponential convergence Spectral gap Semigroup decay Hypodissipativity 515

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