La thèse est consacrée à étudier les relations entre les Équations aux Derivées Partielles Stochastiques et l'operateur de Kolmogorov associé dans des espaces de fonctions continues.<br />Dans la première partie, la théorie de la convergence faibles des fonctions est mis au point afin de donner des résultats généraux sur les semi-groupes des Markov et leur générateur.<br />Dans la deuxième partie, des modèles de semi-groups de Markov associés à des équations aux dérivées partielles stochastiques sont étudiés. En particulier, Ornstein-Uhlenbeck, réaction-diffusion et équations de Burgers ont été envisagées. Pour chaque cas, le semi-groupe de transition et son générateur infinitésimal ont été étudiées dans un espace de fonctions continues.<br />Les résultats principaux montrent que l'ensemble des fonctions exponentielles fournit un Core pour l'opérateur de Kolmogorov. En conséquence, on prouve l'unicité de l'équation de Kolmogorov de mesures (autrement dit de Fokker-Planck).

La modélisation d'expériences de fusion par confinement inertiel fait intervenir des équations cinétiques dont la discrétisation peut être très coûteuse. La recherche de modèles simplifiés permet de réduire la taille et donc la complexité de ces systèmes. La justification mathématique de ces modèles simplifiés devient alors un enjeu central. Dans ce travail nous étudions plusieurs modèles réduits pour l'équation du transfert radiatif dans différents contextes, tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. En particulier nous étudions l'équation du transfert radiatif relativiste dans le régime de diffusion hors équilibre, et nous montrons la convergence de la solution de cette équation vers la solution d'une équation de drift diffusion, dans laquelle les effets Doppler sont modélisés par un terme de transport en fréquence. Cette équation de transport est discrétisée par une nouvelle classe de schémas "bien équilibrés" (well-balanced), pour lesquels nous montrons que ces nouveaux schémas sont consistants lorsque la vitesse d'onde tends vers zero, par opposition aux schémas de type Greenberg-Leroux. Nous étudions également de nouveaux modèles réduits pour le scattering Compton (collision inélastique photon-électron). Une hiérarchie d'équations cinétiques non linéaires généralisant l'équation de Kompaneets pour des distributions anisotropes sont dérivées et leurs propriétés étudiées. Les modèles aux moments de type P_1 et M_1 sont dérivés à partir de l'une de ces équations, et nous montrons que la prise en compte de l'anisotropie du rayonnement peut modifier le phénomène de condensation de Bose expliqué par Caflisch et Levermore. Ce manuscrit se termine avec les comptes rendus de deux projets. Le premier est une preuve technique de la convergence uniforme du schéma de Gosse-Toscani sur maillages non structurés. Ce schéma est "asymptotic preserving", au sens ou il préserve au niveau discret la limite de diffusion pour l'équation de la chaleur hyperbolique, et cette preuve de convergence uniforme sur maillage non structurés en 2D est originale. Le second concerne la dérivation d'un modèle cinétique pour le Bremsstrahlung électron-ion qui préserve la limite thermique. / The modeling of inertial confinement experiments involves kinetic equations whose discretization can become very costly. The research of reduced models allows to decrease the size and the complexity of these systems. The mathematical justification of such reduced models becomes an important issue. In this work we study several reduced models for the transfer equation in several contexts, from the theoretical and numerical point of view. In particular we study the relativistic transfer equation in the non-equilibrium diffusion regime, and we prove the convergence of the solution of this equation to the solution of a drift diffusion equation, in which the Doppler effects are modeled by a frequency transport term. This transport equation is discretized by a new class of well-balanced schemes, and we show that these schemes are consistant as the wave velocity tends to zero, by opposition to the Greenberg-Leroux type schemes. We also study several original reduced models for the Compton scattering (inelastic electron-photon collision). A hierarchy of nonlinear kinetic equations generalizing the Kompaneets equation for anisotropic distributions are derived and their properties are studied. The M_1 and P_1 angular moments models are derived from one of these equations, and we show that the anisotropic part of a radiation beam can modify the Bose condensation phenomena observed by caflisch and Levermore. This work ends with the reports of two side projects. The first one is a technical proof of the uniform convergence of the Gosse-Toscani scheme on unstructured meshes. This scheme is asymptotic preserving, since it preserves at the discrete level the diffusion limit of the hyperbolic heat equation, and this proof on unstructured meshes in 2D is original. The second one is devoted to the derivation of a kinetic model for the electron-ion Bremsstrahlung that preserves the thermal limit.

Dans le cadre des recherches de la qualité des ressources en eau, l'étude du processus de transfert de masse du sol vers la nappe phréatique constitue un élément primordial pour la compréhension de la pollution de cette dernière. En effet, les éléments polluants solubles à la surface (produits liés aux activités humaines tels engrais, pesticides...) peuvent transiter vers la nappe à travers le milieu poreux qu'est le sol. Ce scénario de transfert de pollution repose sur deux phénomènes : la pluie qui génère la masse d'eau à la surface et la dispersion de celle-ci à travers le milieu poreux. La dispersion de masse dans un milieu poreux naturel comme le sol forme un sujet de recherche vaste et difficile aussi bien au plan expérimental que théorique. Sa modélisation constitue une préoccupation du laboratoire EMMAH, en particulier dans le cadre du projet Sol Virtuel dans lequel un modèle de transfert (modèle PASTIS) a été développé. Le couplage de ce modèle de transfert avec en entrée un modèle décrivant la dynamique aléatoire de la pluie est un des objectifs de la présente thèse. Ce travail de thèse aborde cet objectif en s'appuyant d'une part sur des résultats d'observations expérimentaux et d'autre part sur de la modélisation inspirée par l'analyse des données d'observation. La première partie du travail est consacrée à l'élaboration d'un modèle stochastique de pluie. Le choix et la nature du modèle sont basés sur les caractéristiques obtenus à partir de l'analyse de données de hauteur de pluie recueillies sur 40 ans (1968-2008) sur le Centre de Recherche de l'INRA d'Avignon. Pour cela, la représentation cumulée des précipitations sera assimilée à une marche aléatoire dans laquelle les sauts et les temps d'attente entre les sauts sont respectivement les amplitudes et les durées aléatoires entre deux occurrences d'événements de pluie. Ainsi, la loi de probabilité des sauts (loi log-normale) et celle des temps d'attente entre les sauts (loi alpha-stable) sont obtenus en analysant les lois de probabilité des amplitudes et des occurrences des événements de pluie. Nous montrons alors que ce modèle de marche aléatoire tend vers un mouvement brownien géométrique subordonné en temps (quand les pas d'espace et de temps de la marche tendent simultanément vers zéro tout en gardant un rapport constant) dont la loi de densité de probabilité est régie par une équation de Fokker Planck fractionnaire (FFPE). Deux approches sont ensuite utilisées pour la mise en œuvre du modèle. La première approche est de type stochastique et repose sur le lien existant entre le processus stochastique issu de l'équation différentielle d'Itô et la FFPE. La deuxième approche utilise une résolution numérique directe par discrétisation de la FFPE. Conformément à l'objectif principal de la thèse, la seconde partie du travail est consacrée à l'analyse de la contribution de la pluie aux fluctuations de la nappe phréatique. Cette analyse est faite sur la base de deux relevés simultanées d'observations de hauteurs de pluie et de la nappe phréatique sur 14 mois (février 2005-mars 2006). Une étude statistique des liens entre les signaux de pluie et de fluctuations de la nappe est menée comme suit : Les données de variations de hauteur de nappe sont analysées et traitées pour isoler les fluctuations cohérentes avec les événements de pluie. Par ailleurs, afin de tenir compte de la dispersion de masse dans le sol, le transport de la masse d'eau pluviale dans le sol sera modélisé par un code de calcul de transfert (modèle PASTIS) auquel nous appliquons en entrée les données de hauteurs de pluie mesurées. Les résultats du modèle permettent entre autre d'estimer l'état hydrique du sol à une profondeur donnée (ici fixée à 1.6m). Une étude de la corrélation entre cet état hydrique et les fluctuations de la nappe sera ensuite effectuée en complément à celle décrite ci-dessus pour illustrer la possibilité de modéliser l'impact de la pluie sur les fluctuations de la nappe

Les satellites sont vulnérables aux particules de forte énergie piégées dans les ceintures de Van Allen. Afin d’en assurer la protection, il est nécessaire de prédire avec précision la dynamique des électrons au sein de la magnétosphère. Dans un premier temps nous proposons une méthode originale de résolution analytique de l’équation de Fokker-Planck réduite qui modélise le transport et les pertes des électrons de la magnétosphère interne. La résolution repose sur une technique de décomposition spectrale. Si la solution analytique s’avère utile pour mettre en exergue certaines propriétés physiques des ceintures de radiation, elle est également pertinente pour valider le code numérique de résolution de l’équation de Fokker-Planck réduite, développé durant la thèse. Ce dernier nous amène à généraliser l’étude précédente en illustrant l’évolution des flux d’électrons pour diverses énergies et positions. Nous prouvons notamment que la structure des ceintures de radiation ainsi que leur temps d’évolution ne dépendent que de quelques facteurs bien choisis. Dans la perspective de reproduire un événement particulier de retour au calme après un orage magnétique, mesuré par les satellites de la NASA dédiés aux ceintures de radiation, nous sommes en mesure de simuler la précipitation des électrons dans l’atmosphère terrestre causée par les interactions avec les ondes électromagnétiques de la magnétosphère. L’utilisation de conditions bâties sur des données empiriques et spécifiques à la période en question nous permet de corroborer les flux observés. Enfin, l’influence du champ magnétique terrestre sur la dynamique des ceintures de radiation est étudiée sous divers aspects. Nous nous concentrons sur la ceinture externe pour comprendre comment les asymétries du champ magnétique, considérablement façonnées par l’activité solaire, affectent notre manière de concilier théorie et observations. Nous explorons également l’importance de certains processus diffusifs nouveaux et cachés, qui émergent à cause de l’irrégularité naturelle du champ magnétique au plus proche voisinage de la Terre. / Satellites are vulnerable to high-energy particles trapped in the Van Allen belts. To ensure their protection, it is necessary to predict properly the electron dynamics in the magnetosphere. We first propose an original method to find the analytical solution of the reduced Fokker-Planck equation that models the transport and loss of electrons in the inner magnetosphere. The resolution relies on an eigenfunction expansion approach. If the analytical solution is proven to be useful at uncovering some of the physical properties of the radiation belts, it is also relevant to validate the numerical code that solves the reduced Fokker-Planck equation, which has been developed during the PhD. The latter code is used to generalize the previous study in illustrating the evolution of the electron fluxes for various energies and locations. We demonstrate that the structure of the radiation belts as well as their dynamical timescales only depend on a few well-chosen parameters. In the perspective of reproducing a specific storm-recovery event reported by the NASA Van Allen Probes, we are able to simulate the electron scattering in the Earth’s atmosphere due to the interaction with magnetospheric electromagnetic waves. The consideration of data-driven and event-specific conditions enables us to corroborate the observed fluxes. Finally, various influences of the Earth’s magnetic field on the dynamics of the radiation belts are investigated. We focus on the outer belt to see how the magnetic field asymmetries, which are strongly shaped by solar activity, affect the way of conciliating theory and observations. We also explore the importance of new hidden diffusive processes that emerge due to the natural irregularity of the magnetic field in the closest vicinity of the Earth.

Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

Dans le cadre des recherches de la qualité des ressources en eau, l’étude du processus de transfert de masse du sol vers la nappe phréatique constitue un élément primordial pour la compréhension de la pollution de cette dernière. En effet, les éléments polluants solubles à la surface (produits liés aux activités humaines tels engrais, pesticides...) peuvent transiter vers la nappe à travers le milieu poreux qu’est le sol. Ce scénario de transfert de pollution repose sur deux phénomènes : la pluie qui génère la masse d’eau à la surface et la dispersion de celle-ci à travers le milieu poreux. La dispersion de masse dans un milieu poreux naturel comme le sol forme un sujet de recherche vaste et difficile aussi bien au plan expérimental que théorique. Sa modélisation constitue une préoccupation du laboratoire EMMAH, en particulier dans le cadre du projet Sol Virtuel dans lequel un modèle de transfert (modèle PASTIS) a été développé. Le couplage de ce modèle de transfert avec en entrée un modèle décrivant la dynamique aléatoire de la pluie est un des objectifs de la présente thèse. Ce travail de thèse aborde cet objectif en s’appuyant d’une part sur des résultats d’observations expérimentaux et d’autre part sur de la modélisation inspirée par l’analyse des données d’observation. La première partie du travail est consacrée à l’élaboration d’un modèle stochastique de pluie. Le choix et la nature du modèle sont basés sur les caractéristiques obtenus à partir de l’analyse de données de hauteur de pluie recueillies sur 40 ans (1968-2008) sur le Centre de Recherche de l’INRA d’Avignon. Pour cela, la représentation cumulée des précipitations sera assimilée à une marche aléatoire dans laquelle les sauts et les temps d’attente entre les sauts sont respectivement les amplitudes et les durées aléatoires entre deux occurrences d’événements de pluie. Ainsi, la loi de probabilité des sauts (loi log-normale) et celle des temps d’attente entre les sauts (loi alpha-stable) sont obtenus en analysant les lois de probabilité des amplitudes et des occurrences des événements de pluie. Nous montrons alors que ce modèle de marche aléatoire tend vers un mouvement brownien géométrique subordonné en temps (quand les pas d’espace et de temps de la marche tendent simultanément vers zéro tout en gardant un rapport constant) dont la loi de densité de probabilité est régie par une équation de Fokker Planck fractionnaire (FFPE). Deux approches sont ensuite utilisées pour la mise en œuvre du modèle. La première approche est de type stochastique et repose sur le lien existant entre le processus stochastique issu de l’équation différentielle d’Itô et la FFPE. La deuxième approche utilise une résolution numérique directe par discrétisation de la FFPE. Conformément à l’objectif principal de la thèse, la seconde partie du travail est consacrée à l’analyse de la contribution de la pluie aux fluctuations de la nappe phréatique. Cette analyse est faite sur la base de deux relevés simultanées d’observations de hauteurs de pluie et de la nappe phréatique sur 14 mois (février 2005-mars 2006). Une étude statistique des liens entre les signaux de pluie et de fluctuations de la nappe est menée comme suit : Les données de variations de hauteur de nappe sont analysées et traitées pour isoler les fluctuations cohérentes avec les événements de pluie. Par ailleurs, afin de tenir compte de la dispersion de masse dans le sol, le transport de la masse d’eau pluviale dans le sol sera modélisé par un code de calcul de transfert (modèle PASTIS) auquel nous appliquons en entrée les données de hauteurs de pluie mesurées. Les résultats du modèle permettent entre autre d’estimer l’état hydrique du sol à une profondeur donnée (ici fixée à 1.6m). Une étude de la corrélation entre cet état hydrique et les fluctuations de la nappe sera ensuite effectuée en complément à celle décrite ci-dessus pour illustrer la possibilité de modéliser l’impact de la pluie sur les fluctuations de la nappe / Within the research quality of water resources, the study of the process of mass transfer from soil to groundwater is a key element for understanding the pollution of the latter. Indeed, soluble contaminants to the surface (related to human activities such fertilizers, pesticides products ...) can transit to the web through the porous medium that is the ground. This scenario transfer pollution based on two phenomena: the rain that generates the body of water to the dispersion and the surface thereof through the porous medium. The dispersion of mass in a natural porous medium such as soil forms a subject of extensive research and difficult both experimental and theoretical grounds. Its modeling is a concern EMMAH laboratory, particularly in the context of Virtual Sol project in which a transfer model (PASTIS model) was developed. The coupling of this transfer model with input a model describing the dynamics of random rain is one of the objectives of this thesis. This thesis addresses this goal by relying in part on the results of experimental observations and also on modeling inspired by the analysis of observational data. The first part of the work is devoted to the development of a stochastic model of rain. The choice and nature of the model are based on the features obtained from the analysis of data collected rainfall over 40 years (1968-2008) on the Research Centre INRA Avignon. For this, the cumulative rainfall representation will be treated as a random walk in which the jumps and waiting times between jumps are the amplitudes and durations between two random occurrences of rain events. Thus, the probability jumps (log-normal distribution) and that of waiting between jumps (Law alpha-stable) time is obtained by analyzing the laws of probability amplitudes and occurrences of rain events. We show that the random walk model tends towards a subordinate in time geometric Brownian motion (when space step and time step walking simultaneously tend to zero while maintaining a constant ratio), the law of probability density is governed by a Fokker Planck fractional (FFPE). Two approaches are then used to implement the model. The first approach is based on stochastic type and the relationship between the stochastic process derived from the differential equation of Itô and FFPE. The second approach uses a direct numerical solution by discretization of the FFPE. Accordance with the main objective of the thesis, the second part of the work is devoted to the analysis of the contribution of rain to fluctuations in groundwater. We approach this analysis on the basis of two simultaneous records of observations of rainfall amounts and groundwater over 14 months (February 2005-March 2006). A statistical study of the relationship between the signals of rain and fluctuating water will be conducted. Data sheet height variations are analyzed and processed to isolate coherent fluctuations with rain events. In addition, to take account of the mass dispersion in the soil, the mass transport of storm water in the soil layer is modeled by a calculation code transfer (PASTIS model) which we apply input data measured heights of rain. The model results allow between another estimate soil water status at a given depth (here set at 1.6m). A study of the correlation between the water status and fluctuating water will then be performed in addition to that described above to illustrate the ability to model the impact of rain on the water table fluctuations

Prévoir et estimer le risque de canicule est un enjeu politique majeur. Évaluer la probabilité d'apparition des canicules et leurs sévérités serait possible en connaissant la température en temps continu. Cependant, les extrêmes journaliers (maxima et minima) sont parfois les seules données disponibles. Pour modéliser la dynamique des températures, il est courant d'utiliser un processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Une estimation des paramètres de ce processus n'utilisant que les suprema journaliers observés est proposée. Cette nouvelle approche se base sur une minimisation des moindres carrés faisant intervenir la fonction de répartition du supremum. Les mesures de risque liées aux canicules sont ensuite obtenues numériquement. Pour exprimer explicitement ces mesures de risque, il peut être utile d'avoir la loi jointe du processus d'Ornstein-Uhlenbeck et de son supremum. L'étude se limite tout d'abord à la fonction de répartition / densité jointe du point final du processus et de son supremum. Cette probabilité admet une densité, solution de l'équation de Fokker-Planck, obtenue explicitement et utilisant les fonctions spéciales paraboliques cylindriques. La preuve de l'expression de la densité repose sur une décomposition sur une base hilbertienne de l'espace via une méthode spectrale. On étudie également le processus d'Ornstein-Uhlenbeck oscillant, dont le paramètre de drift est constant par morceaux selon le signe du processus. La transformée de Laplace du temps d'atteinte de ce processus est déterminée et la probabilité que le processus soit positif en un temps donné est calculée. / Forecasting and assessing the risk of heat waves is a crucial public policy stake. Evaluate the probability of heat waves and their severity can be possible by knowing the temperature in continuous time. However, daily extremes (maxima and minima) might be the only available data. The Ornstein-Uhlenbeck process is commonly used to model temperature dynamic. An estimation of the process parameters using only daily observed suprema of temperatures is proposed here. This new approach is based on a least square minimization using the cumulative distribution function of the supremum. Risk measures related to heat waves are then obtained numerically. In order to calculate explicitly those risk measures, it can be useful to have the joint law of the Ornstein-Uhlenbeck process and its supremum. The study is _rst limited to the joint density / distribution of the endpoint and supremum of the Ornstein-Uhlenbeck process. This probability admits a density, solution of the Fokker-Planck equation and explicitly obtained as an expansion involving parabolic cylinder functions. The proof of the density expression relies on a decomposition on a Hilbert basis of the space via a spectral method. We also study the oscillating Ornstein-Uhlenbeck process, which drift parameter is piecewise constant depending on the sign of the process. The Laplace transform of this process hitting time is determined and we also calculate the probability for the process to be positive on a fixed time.

Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes. / The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one.