Les travaux présentés relèvent d'une branche des probabilités que l'on appelle la mécanique statistique.<br />L'idée générale est que l'on étudie des systèmes infinis de particules en essayant d'établir le lien entre les propriétés microscopiques (par exemple l'interaction entre des particules proches) et les propriétés macroscopiques (par exemple<br />les caractéristiques à grande échelle des mesures d'équilibre.)<br /><br />Ce mémoire se divise en trois parties:<br />- Mesures de Gibbs et champs gaussiens<br />- Percolation et mesures de Gibbs<br />- Percolation de premier passage et compétition<br /><br />La première partie<br />traite des mesure de Gibbs gaussiennes, classiques et quantiques.<br />On y étudie finement la structure de l'ensemble des mesures de Gibbs<br />classiques (\resp quantiques) dont le support est raisonnable ainsi que les dynamiques stochastiques de gradient canoniquement associées. Une attention particulière est accordée à l'influence de la transition de phase.<br /><br />La deuxième partie traite de problèmes associant percolation et mesure de<br />Gibbs, à savoir l'existence de transition de percolation dans des modèles issus<br />de perturbations d'interactions quadratiques et des théorèmes de limite centrale pour la répartition des phases dans les modèles d'Ising et de Potts.<br /><br />La troisième partie étudie des modèles de percolation de premier passage et<br />des problèmes de compétion associés. On montre en particulier des théorèmes<br />de forme asymptotique et de grandes déviations pour la percolation de premier<br />passage sur l'amas de percolation Bernoulli et l'on étudie des problèmes<br />de coexistence/non-coexistence entre des espèces qui se propagent de manière analogue à ce qui se passe en percolation de premier passage.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux modèles de feux de forêts définis sur Z. On étudie le modèle des feux de forêts sur Z avec propagation non instantanée dans le chapitre 2. Dans ce modèle, chaque site a trois états possibles : vide, occupé ou en feu. Un site vide devient occupé avec taux 1. Sur chaque site, des allumettes tombent avec taux λ. Si le site est occupé, il brûle pendant un temps exponentiel de paramètre π avant de se propager à ses deux voisins. S’ils sont eux-mêmes occupés, ils brûlent, sinon le feu s’éteint. On étudie l’asymptotique des feux rares c’est à dire la limite du processus lorsque λ → 0 et π → ∞. On montre qu’il y a trois catégories possibles de limites d’échelles, selon le régime dans lequel λ tend vers 0 et π vers l’infini. On étudie formellement et brièvement dans le chapitre 3 le modèle des feux de forêts sur Z en environnement aléatoire. Dans ce modèle, chaque site n’a que deux états possibles : vide ou occupé. On se donne un paramètre λ > 0, une loi ν sur (0 ,∞) et une suite (κi)i∈Z de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées selon ν. Un site vide i devient occupé avec taux κi. Sur chaque site, des allumettes tombent avec taux λ et détruisent immédiatement la composante de sites occupés correspondante. On étudie l’asymptotique des feux rares. Sous une hypothèse raisonnable sur ν, on espère que le processus converge, avec une renormalisation correcte, vers un modèle limite. On s’attend à distinguer trois processus limites différents / The aim of this work is to study two differents forest-fire processes defined on Z. In Chapter 2, we study the so-called one dimensional forest-fire process with non instantaeous propagation. In this model, each site has three possible states: ’vacant’, ’occupied’ or ’burning’. Vacant sites become occupied at rate 1. At each site, ignition (by lightning) occurs at rate λ. When a site is ignited, a fire starts and propagates to neighbors at rate π. We study the asymptotic behavior of this process as λ → 0 and π → ∞. We show that there are three possible classes of scaling limits, according to the regime in which λ → 0 and π → ∞. In Chapter 3, we study formally and briefly the so-called one dimensional forest-fire processes in random media. Here, each site has only two possible states: ’vacant’ or occupied’. Consider a parameter λ > 0, a probability distribution ν on (0 ,∞) as well as (κi)i∈Z an i.i.d. sequence of random variables with law ν. A vacant site i becomes occupied at rate κi. At each site, ignition (by lightning) occurs at rate λ. When a site is ignited, the fire destroys the corresponding component of occupied sites. We study the asymptotic behavior of this process as λ → 0. Under some quite reasonable assumptions on the law ν, we hope that the process converges, with a correct normalization, to a limit forest fire model. We expect that there are three possible classes of scaling limits

Cette thèse traite des processus morphogénétiques au cours de l’embryogenèse pré-coce des vertébrés par le biais d’une étude mathématique et physique des lignagescellulaires spatio-temporels reconstruits à partir d’imagerie 3D+temps in vivo. Notreméthodologie repose sur une représentation de type système complexe de l’embryonavec ses différents niveaux d’organisation en interaction et l’analyse formelle des dé-placements cellulaires dans l’espace et dans le temps. Nous avons conçu et mis enœuvre une méthodologie originale pour identifier dans les lignages cellulaires la for-mation de compartiments en cohérence avec les repères anatomiques et l’organisationdes organes présomptifs. En outre, nous proposons une stratégie pour inférer les forcesbiomécaniques sous-jacentes. Nous délivrons également une interface informatique er-gonomique, d’abord déployée pour mettre en œuvre notre méthodologie, mais aussiconçue pour être extensible et versatile. Ces outils visent à construire une représenta-tion commune pour les biologistes, les mathématiciens, les physiciens et les informati-ciens explorant les processus de la morphogenèse des organismes vivants. / This thesis approaches morphogenetic processes in the early embryogenesis of verte-brates through the mathematical and physical study of spatio-temporal cell lineagesreconstructed from in vivo 3D+time images. Our methodology is based on a complexsystems representation of the embryo, with the interaction between levels of organiza-tion and the formal analysis of cell displacements in space and time. We designed andimplemented an original methodology to identify in cell lineages the formation of com-partments in consistency with anatomical landmarks and the organization of presump-tive organs. In addition, we proposed a strategy to infer the underlying biomechanicalforces. We also delivered a user-friendly computer interface, first deployed for usingour methodology but also designed to be extensible and versatile, which aims to bea common ground for biologists, mathematicians, physicists and computer scientistsinvestigating morphogenetic processes in living systems.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la mécanique statistique d’une classe d’écoulements “quasi-bidimensionnels”. Nous nous penchons plus particulièrement sur le cas des écoulements tri-dimensionnels axisymétriques, bidimensionnels stratifiés et bidimensionnels magnéto hydrodynamiques. La dynamique de ces écoulements est génériquement décrite par les équations d’évolution d’un champ de vitesses incompressible bidimensionnel,couplées à une équation d’évolution d’un champ scalaire. Ce dernier représente tantôt une température, tantôt un courant électrique, tantôt un mouvement tourbillonnaire transverse. Ces écoulements ont un intérêt géophysique ou astrophysique : ils peuvent être utilisés pour modéliser grossièrement les ouragans, les courants océaniques à l’échelle planétaire, les taches solaires, etc. Ils ont aussi un intérêt plus fondamental.Malgré leur géométrie bidimensionnelle intrinsèque, les écoulements “2D3C” peuvent être en effet tri-dimensionnellement connotés. Dans les cas que l’on regarde, la vorticité n’est pas seulement transportée : elle est aussi étirée. Il n’est ainsi pas évident de savoir si la tendance naturelle des écoulements 2D3C est de s’organiser en structures cohérentes énergétiques à grande échelle comme en deux dimensions, ou plutôt de répartir leur énergie sur les petites échelles comme en trois dimensions. Il n’est a priori pas clair nonplus de savoir si une forme d’énergie (cinétique ou magnétique/tourbillonnaire) y est privilégiée aux dépends de l’autre.Pour répondre à ces questions de manière très générale, nous étudions et décrivons la mécanique statistique d’équilibre des écoulements 2D3C sus-mentionnés, en nous plaçant d’abord dans le cadre des “ensembles d’équilibre absolu” considérés par Robert Kraichnan à la fin des années 1960, puis dans le cadre plus moderne des “mesures microcanoniques stationnaires” introduites par Raoul Robert, Jonathan Miller et Joël Sommeria pour les fluides bidimensionnels au début des années 1990. Les équilibres 2D3C sont décrits dans la première partie de ce manuscript. La seconde partie du manuscript est plus pratique, et également plus spéculative. Nous nous servons d’ outils de la mécanique statistique d’équilibre pour interpréter des données turbulentes expérimentales provenant d’expériences de type Von Kármán . Nous utilisons ensuite des résultats récents de théorie de probabilité pour montrer que des régimes de turbulence quasi-bidimensionnelle (turbulence tri-dimensionnelle avec rotation,turbulence dans des couches savonneuses) ont des propriétés d’invariance conforme statistique, analogues à celles observées dans des systèmes de spins ferromagnétiques au point critique. / The present manuscript deals with the statistical mechanics of some inviscid fluidmodels which are possibly relevant in the context of geophysics and astrophysics. Weinvestigate the case of axially symmetric flows, two-dimensional Boussinesq flows, andtwo-dimensional magneto-hydro fluids. Those flows can be loosely referred to as twodimensionalflows with three components (“2D3C”). In addition to the two-dimensionalvelocity field, they describe the evolution of an additional field variable, which representseither a magnetic current, a salinity, a temperature or a swirl depending on the situation.In common with the dynamics of strictly two-dimensional hydrodynamical flows, thenon-linear dynamics of 2D3C flows is constrained by the presence of an infinite numberof Casimir invariants, which emerge as dynamical invariants in the limit of a vanishingforcing and a vanishing dissipation . In common with three-dimensional flows, the vorticityis not only mixed but also stretched by the dynamics. The additional field may actas a source or a sink of kinetic energy. It is commonly believed that such flows have thepropensity to develop large scale coherent structures. Whether those long lived structuresare equilibrium or metastable structures is however not so clear, nor are the exactconditions of their emergence. The role of the Casimir invariants in constraining those isnot so obvious either.

1°) Utilisation d'inégalités fonctionnelles de Bobkov pour l'établissement de principes de grandes déviations quasi-gaussiens. <br /><br />2°) Etude de l'inégalité de Sobolev logarithmique en théorie de l'information. <br /><br />3°) Etablissement d'inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmiques pour certaines dynamiques de Kawasaki et Glauber pour un modèle à spins continus en mécanique statistique.

Le sujet global de cette thèse est l'étude d'automates cellulaires probabilistes. Elle est divisée en deux grandes parties.<br /><br />Au cours de la première, nous définissons la notion de chaîne partiellement ordonnée qui généralise celle d'automate cellulaire probabiliste. Cette définition se fait par l'intermédiaire de spécification partiellement ordonnée de la même façon que les mesures de Gibbs sont définies à l'aide de spécifications. Nous obtenons des résultats analogues sur l'espace des phases : caractérisation des mesures extrêmes, construction/reconstruction en partant des noyaux sur un seul site, critères d'unicité. Les résultats sont appliqués tout au long du texte à des automates déjà connus.<br /><br />La deuxième partie est essentiellement vouée à l'étude d'automates cellulaires unidimensionnels à deux voisins et deux états. Nous donnons deux décompositions des configurations spatio-temporelles en flot d'information. Ces flots ont une signification géométrique. De cela nous tirons deux critères d'unicité.<br /><br />En annexe, nous donnons une démonstration de transition de phase d'un automate cellulaire défini par A. Toom, le modèle NEC. Tout au long du texte, des simulations sont présentées.

Le modèle de dimères est un système de mécanique statistique qui modélise l'adsorption de molécules diatomiques sur la surface d'un cristal, représenté par un réseau périodique plan biparti. On attribue à chaque type d'arête une énergie. Pour une telle distribution d'énergie, il existe une famille à deux paramètres de mesures de Gibbs, dont les comportements sont classifiés en trois phases : gazeuse, liquide, solide.<br /><br />Dans la première partie, on étudie le comportement d'un tel système près de la transition liquide-solide. En examinant le cas du réseau hexagonal, nous exhibons deux types de comportements limites. Le premier est une collection de chemins aléatoires conditionnés à s'éviter. Le deuxième, le modèle du collier de perles, est un processus ponctuel sur ZxR. Ces deux modèles limites ont pour marginales le processus déterminantal sur R avec noyau sinus, décrivant aussi les valeurs propres des grandes matrices aléatoires de l'ensemble GUE. Le modèle du collier de perles est universel : on montre qu'il est la limite de tout modèle de dimères sur un graphe planaire biparti périodique.<br /><br />Dans une deuxième partie, on étudie la statistique des motifs dessinés par des dimères. Les fluctuations de densité d'un motif convergent à la limite d'échelle vers un champ gaussien. Dans le cas liquide, l'objet limite est la somme d'une dérivée du champ libre et d'un bruit blanc indépendant. Pour une mesure gazeuse, la limite est juste un bruit blanc.<br /><br />Enfin, on aborde un problème de dénombrement de chemins sur le graphe-échelle, lié à l'étude du noyau de la chaleur sur le groupe de l'allumeur de réverbères, ainsi qu'à celle des opérateurs de Schrödinger aléatoires.

Le développement de nouvelles méthodes de perturbation, d'intégration thermodynamique et de potentiel de forces moyennes nous a permis de caractériser thermodynamiquement (delta r G, delta r H, delta r S) des processus d'association entre un macrocycle et différents types de cations en solution aqueuse. Différentes méthodologies ont été développées en fonction de la nature des interactions non-covalentes mises en jeu entre le macrocycle et le cation (interaction-pi, électrostatique, van des Waals). Lorsque les grandeurs d'association calculées étaient en accord avec l'expérience, l'aspect description moléculaire des complexes et des phénomènes associés a permis le couplage entre le microscopique et le macroscopique complétant ainsi l'analyse des grandeurs thermodynamiques.

Cette thèse traite de la détection d’exoplanètes et des propriétés statistiques de leurs orbites. Nous présentons d'abord de nouveaux développements dans la technique de microlentille gravitationnelle. Nous étudions les potentialités de découverte de systèmes inhabituels, comme des planètes flottantes, par des satellites en orbite autour de la Terre. Nous proposons ensuite deux nouvelles approches à la reconstruction d’images, ce qui pourrait mener à un gain de temps important dans l’interprétation des données d’observation. Nous redécouvrons d’abord le résultat peu connu de Asada (2002), en démontrant que l’équation bidimensionnelle des lentilles peut être réécrite en termes de systèmes triangulaires grâce au théorème de Labatie. Cela permet de résoudre une seule équation polynomiale réelle, au lieu de l’équation complexe habituelle. Nous proposons ensuite une nouvelle technique de reconstruction d’images basée sur la résolution d’un système d’équations différentielles ordinaires. Dans la deuxième partie de la thèse, nous faisons un premier pas vers une théorie statistique des architectures planétaires. Nous montrons que l’ensemble microcanonique de la dynamique séculaire dans le système solaire permet d’estimer assez précisément la densité de probabilité des paramètres orbitaux des planètes. Comme la dynamique future de nos planètes ne diffère pas essentiellement de l’excitation gravitationnelle à la quelle sont sujettes les exoplanètes dans la dernière phase de leur formation, un tel résultat constitue un indice préliminaire mais précieux de l’efficacité d’une approche statistique aux architectures planétaires. / This thesis deals with exoplanet detection and the statistical properties of planetary systems. In the first part of the dissertation, we present new developments in the technique of gravitational microlensing. We explore the potentialities of geosynchronous and low Earth orbit satellites to discover unusual systems, such as rogue planets and miniature planetary systems around low-mass brown dwarfs. We then propose two new approaches to image reconstruction, which could result in a precious speed-up when interpreting observational data. We first rediscover the not-well-known result of Asada (2002), demonstrating that the two-dimensional lens equation can be rewritten in terms of triangular systems via Labatie’s theorem. That allows to solve basically a single real polynomial equation, instead of the usual complex one. We then propose a technique of image reconstruction based on the resolution of a system of ordinary differential equations. This turns out to have a number of advantages, among them a straightforward application to the general case of N point-mass lenses. In the second part of the thesis, we take a first step towards a statistical theory of planetary architectures. We show that the microcanonical ensemble of secular dynamics in the solar system provides a very good guess of the probability density of the planet orbital elements over Gyr timescales. Since the future dynamics of our planets is essentially analogue to the gravitational excitation undergone by exoplanets during the final, gas-free phase of their formation, such a result constitutes a preliminary but valuable hint of the effectiveness of a statistical approach to planetary architectures.

Dans cette thèse, on étudie les ensembles de niveau de champs gaussiens lisses, ou fonctions lisses aléatoires. On explore plusieurs directions, certaines liées à la géométrie spectrale, d’autres à la mécanique statistique.L’attention est d’abord portée sur une famille de champs gaussiens sur des variétés riemanniennes compactes définis comme des combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien avec des points gaussiens indépendants. Dans certains cas particuliers, cette famille donne l’ensemble à bande limitée qui a été très étudié ces dernières années, mais elle donne aussi le champ libre gaussien coupé en fréquence, qui est la projection du champ libre gaussien sur les premiers espaces propres du laplacien. On étudie la fonction de covariance de ces champs, l’espérance du nombre de composantes connexes de leur lieu d’annulation et, dans le cas du champ libre gaussien, on en déduit une estimation précise des grandes déviation de l’événement que le champ est positif sur un ensemble fixé quand la limite de fréquence tend vers l’infini.Puis on étudie la percolation des sur-niveaux de champs stationnaires sur le plan en utilisant des techniques de percolation de Bernoulli. On prouve d’abord un résultat de mélange sur la topologie des ensembles nodaux pour des champs gaussiens planaires. Puis on prouve un résultat de transition de phase pour le champ de Bargmann-Fock. / In this thesis, we study the level sets of smooth Gaussian fields, or random smooth functions. Several directions are explored, some linked to spectral theory, some to statistical mechanics.The first object of focus is a family of Gaussian fields on compact Riemannian manifolds defined as linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian with independent Gaussian weights. In special cases, this family specializes to the band-limited ensemble which has received a lot of attention in recent years, but also to the cut-off Gaussian Free Field, which is the projection of the Gaussian Free Field on the first eigenspaces of the Laplacian. We study the covariance function of these fields, the expected number of connected components of their zero set, and, in the case of the cut-off Gaussian Free Field, derive a precise large deviation estimate on the event that the field is positive on a fixed set when the energy cut-off tends to infinity.Next, we study percolation of excursion sets of stationary fields on the plane using techniques from Bernoulli precolation. We first derive a mixing bound for the topology of nodal sets of planar Gaussian fields. Then, we prove a sharp phase transition result for the Bargmann-Fock random field.