Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension.

On étudie le comportement semi-classique d'hamiltoniens quantiques dont le symbole de Weyl est invariant par un groupe de symétries. La réduction quantique consiste à restreindre le hamiltonien aux sous-espaces de symétrie de L^2(R^n) donnés par la décomposition de Peter-Weyl. Les opérateurs restreints sont appelés hamiltoniens quantiques réduits. Pour un groupe fini, on donne une formule de Gutzwiller pour le hamiltonien réduit qui fait intervenir la symétrie d'orbites périodiques classiques du niveau d'énergie étudié. On l'interprète dans l'espace de phase réduit lorsque le groupe agit librement. Pour un groupe de Lie compact, on donne une asymptotique de Weyl de la fonction de comptage des valeurs propres du hamiltonien réduit. On interprète géométriquement le premier terme. On obtient ici aussi une formule de type Gutzwiller impliquant des orbites périodiques de l'espace de phase réduit qui correspondent à des orbites quasi-périodiques de l'espace euclidien.

On decrit un procede de regularisation de la theorie de Birman-Krein pour des perturbations a longue portee du Laplacien. Si les coefficients de la perturbation ne sont plus integrables, en particulier L^2, on etend un resultat du a Koplienko qui prouve l'existence d'une phase de diffusion qui regularise la phase de diffusion usuelle de Birman-Krein. On donnne diverses asymptotiques semi-classiques de cette phase regularisees ainsi que des liens avec les matrices de diffusions et des determinants de Fredholm. Puis, on applique ces resultats a la demonstration d'une formule de trace du type "formule de Levinson".

Dans un premier temps, on considère un hamiltonien complètement intégrable régulier sur une variété symplectique et on cherche à caractériser les perturbations de ce hamiltonien qui sont des déformations, i.e qui restent complètement intégrables après l'ajout de la perturbation. Après avoir explicité la classe d'hamiltoniens non-dégénérés considérée et conjecturé la forme générale des déformations régulières, on donne les conditions formelles dans le paramètre de perturbation pour que le hamiltonien reste complètement intégrable régulier ou singulier. Dans un deuxième temps, on considère un système complètement intégrable semi-classique décrit par un opérateur pseudo-différentiel sur le tore et on étudie le spectre d'une perturbation de cet opérateur. On utilise pour cela une méthode de forme normale qui met l'opérateur sous une forme simple près de chaque résonance. Cette forme normale est ensuite utilisée pour construire des quasimodes de l'opérateur perturbé

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes différentiels dépendant d'un paramètre ε et étu- dions l'asymptotique des solutions lorsque ce paramètre tend vers 0. Le premier problème est lié à l'équation de Helmholtz haute-fréquence. On construit un potentiel non captif ne satisfaisant pas l'hypothèse de refocalisation des rayons introduite par F. Castella. On montre que l'ensemble des tra jectoires hamiltoniennes (associées au potentiel construit) issues de l'origine et qui reviennent en 0 forme une sous-variété de dimension d − 1, où d est la dimension de l'espace. On montre alors que la solution de l'équation de Helmholtz converge vers une perturbation de la solution de Helmholtz avec condition de radiation à l'infini et coefficients figés en 0. Dans un second temps, nous étudions une équation de Navier-Stokes forcée par une source po- larisée fortement oscillante. On exhibe une famille de solutions exactes. On étudie alors la stabilité de cette famille lorsqu'on la perturbe à l'instant initial. On construit une solution approchée du pro- blème à l'aide d'une couche limite à l'instant initial (t=0). Ce développement montre en particulier que des interactions d'ondes, se propageant à des échelles différentes, peuvent se traduire au niveau macroscopique par une augmentation de la viscosité. Enfin, on justifie la convergence de la solution approchée vers la solution exacte à l'aide de méthodes d'énergie.

Dans cette thèse, on étudie les ensembles de niveau de champs gaussiens lisses, ou fonctions lisses aléatoires. On explore plusieurs directions, certaines liées à la géométrie spectrale, d’autres à la mécanique statistique.L’attention est d’abord portée sur une famille de champs gaussiens sur des variétés riemanniennes compactes définis comme des combinaisons linéaires de fonctions propres du laplacien avec des points gaussiens indépendants. Dans certains cas particuliers, cette famille donne l’ensemble à bande limitée qui a été très étudié ces dernières années, mais elle donne aussi le champ libre gaussien coupé en fréquence, qui est la projection du champ libre gaussien sur les premiers espaces propres du laplacien. On étudie la fonction de covariance de ces champs, l’espérance du nombre de composantes connexes de leur lieu d’annulation et, dans le cas du champ libre gaussien, on en déduit une estimation précise des grandes déviation de l’événement que le champ est positif sur un ensemble fixé quand la limite de fréquence tend vers l’infini.Puis on étudie la percolation des sur-niveaux de champs stationnaires sur le plan en utilisant des techniques de percolation de Bernoulli. On prouve d’abord un résultat de mélange sur la topologie des ensembles nodaux pour des champs gaussiens planaires. Puis on prouve un résultat de transition de phase pour le champ de Bargmann-Fock. / In this thesis, we study the level sets of smooth Gaussian fields, or random smooth functions. Several directions are explored, some linked to spectral theory, some to statistical mechanics.The first object of focus is a family of Gaussian fields on compact Riemannian manifolds defined as linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian with independent Gaussian weights. In special cases, this family specializes to the band-limited ensemble which has received a lot of attention in recent years, but also to the cut-off Gaussian Free Field, which is the projection of the Gaussian Free Field on the first eigenspaces of the Laplacian. We study the covariance function of these fields, the expected number of connected components of their zero set, and, in the case of the cut-off Gaussian Free Field, derive a precise large deviation estimate on the event that the field is positive on a fixed set when the energy cut-off tends to infinity.Next, we study percolation of excursion sets of stationary fields on the plane using techniques from Bernoulli precolation. We first derive a mixing bound for the topology of nodal sets of planar Gaussian fields. Then, we prove a sharp phase transition result for the Bargmann-Fock random field.

Cette thèse traite de plusieurs problèmes de théorie de la diffusion dans la limite semi-classique, c’est à dire des propriétés des fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger à haute fréquence. Les fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger sur l’espace euclidien, pour un potentiel lisse à support compact, peuvent toujours se décomposer comme la somme d’une partie entrante et d’une partie sortante, plus un terme négligeable à l’infini. La matrice de diffusion relie alors la partie entrante et la partie sortante de la fonction propre. Une première partie de ce travail concerne le spectre de la matrice de diffusion. On montre un résultat d’équidistribution des valeurs propres de la matrice de diffusion, sous l’hypothèse sans doute générique que les ensembles de points fixes de certaines applications définies à partir de la dynamique classique sont de mesure de Lebesgue nulle. Ce résultat était connu précédemment, sous l’hypothèse additionnelle que la dynamique classique est sans ensemble capté.Une seconde partie du travail concerne les ondes planes tordues, qui sont une famille particulière de fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger, pouvant s'écrire comme la somme d'une onde plane et d'une partie purement sortante. Nous faisons l’hypothèse que la dynamique classique sous-jacente possède un ensemble capté hyperbolique, et qu’une certaine pression topologique est négative. Sous ces hypothèses, on obtient dans la limite semi-classique une description précise des ondes planes tordues comme une somme convergente d’états lagrangiens. On peut en particulier en déduire la mesure semi-classique associée aux ondes planes tordues. Si la variété est de courbure négative, et que le potentiel est nul, ces états lagrangiens sont associés à des lagrangiennes se projetant sans caustiques sur la variété de base. On peut alors en déduire des résultats sur les normes C^l et les ensembles nodaux des ondes planes tordues. Nous obtenons aussiune borne inférieure sur le nombre de domaine nodaux de la somme de deux ondes planes tordues de directions incidentes proches, pour une petite perturbation générique d’une métrique de courbure négative vérifiant la condition de pression topologique. / This thesis deals with several problems of scattering theory in the semi-classical limit, that is to say, with properties of the generalised eigenfunctions of a Schrödinger operator at high frequencies. The generalised eigenfunctions of a Schrödinger operator on the Euclidean space, with a compactly supported smooth potential, may always be written as the sum of an incoming wave and an outgoing wave, plus a term which is negligible at infinity. The scattering matrix relates the incoming part with the outgoing part. The first part of this work deals with the spectrum of the scattering matrix. We show an equidistribution result for the eigenvalues of the scattering matrix, under the hypothesis that the sets of fixed points of some maps defined from the classical dynamics has measure zero. This result was previously known under the additional assumption that the classical dynamics has an empty trapped set.A second part of this work deals with the distorted plane waves, which are a particular family of generalized eigenfunctions of a Schrödinger operator, which can be written as the sum of a plane wave and a purely outgoing part. We make the hypothesis that the underlying classical dynamics has a hyperbolic trapped set, and that a certain topological pressure is negative. Under these assumptions, we obtain in the semiclassical limit a precise description of distorted plane waves as a convergent sum of Lagrangian states. In particular, we can deduce from this the semiclassical measure associated to distorted plane waves. If we furthermore assume that the manifold has non-positive curvature, and that the potential is zero, these Lagrangian states project on the base manifold without caustics. We deduce from this results on the C^l norms and on the nodal sets of distorted plane waves. We also obtain a lower bound on the number of nodal domains of the sum of two distorted plane waves with close enough incoming directions , for a small generic perturbation of a metric of negative curvature satisfying the topological pressure assumption.

On s'intéresse dans cette thèse à l'analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz dans un cadre dissipatif. On commence par chercher des estimations uniformes pour la résolvante de l'opérateur de Schrödinger dissipatif sur le demi-plan supérieur et près d'une énergie vérifiant une hypothèse d'amortissement sur les trajectoires classiques bornées. On généralise pour cela la méthode des commutateurs de Mourre pour des opérateurs dissipatifs. Dans une deuxième partie, on étudie les mesures semi-classiques pour la solution sortante à l'équation lorsque le terme source se concentre sur une sous-variété bornée de l'espace.

Les opérateurs de Berezin--Toeplitz permettent de quantifier des fonctions, ou des symboles, sur des variétés kähleriennes compactes, et sont définies à partir du noyau de Bergman (ou de Szeg\H{o}). Nous étudions le spectre des opérateurs de Toeplitz dans un régime asymptotique qui correspond à une limite semiclassique. Cette étude est motivée par le comportement magnétique atypique observé dans certains cristaux à basse température. Nous étudions la concentration des fonctions propres des opérateurs de Toeplitz, dans des cas où les effets sous-principaux (du même ordre que le paramètre semiclassique) permet de différencier entre plusieurs configurations classiques, un effet connu en physique sous le nom de sélection quantique Nous exhibons un critère général pour la sélection quantique et nous donnons des développements asymptotiques précis de fonctions propres dans le cas Morse et Morse--Bott, ainsi que dans un cas dégénéré. Nous développons également un nouveau cadre pour le traitement du noyau de Bergman et des opérateurs de Toeplitz en régularité analytique. Nous démontrons que le noyau de Bergman admet un développement asymptotique, avec erreur exponentiellement petite, sur des variétés analytiques réelles. Nous obtenons aussi une précision exponentiellement fine dans les compositions et le spectre d'opérateurs à symbole analytique, et la décroissance exponentielle des fonctions propres. / Berezin-Toeplitz operators allow to quantize functions, or symbols, on compact Kähler manifolds, and are defined using the Bergman (or Szeg\H{o}) kernel. We study the spectrum of Toeplitz operators in an asymptotic regime which corresponds to a semiclassical limit. This study is motivated by the atypic magnetic behaviour observed in certain crystals at low temperature. We study the concentration of eigenfunctions of Toeplitz operators in cases where subprincipal effects (of same order as the semiclassical parameter) discriminate between different classical configurations, an effect known in physics as quantum selection . We show a general criterion for quantum selection and we give detailed eigenfunction expansions in the Morse and Morse-Bott case, as well as in a degenerate case. We also develop a new framework in order to treat Bergman kernels and Toeplitz operators with real-analytic regularity. We prove that the Bergman kernel admits an expansion with exponentially small error on real-analytic manifolds. We also obtain exponential accuracy in compositions and spectra of operators with analytic symbols, as well as exponential decay of eigenfunctions.

Dans ce travail, on considère des molécules diatomiques dans la limite de Born-Oppenheimer (i.e. lorsque le rapport masse électronique/masse nucléique tend vers 0) et on considère une approximation adiabatique qui prend en compte plusieurs niveaux électroniques. On suppose l'absence de croisement de ces niveaux. Dans ce cadre, on établit une estimation semi-classique de résolvante et on en déduit l'asymptotique semi-classique de sections efficaces totales.