Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

La propagation des états cohérents est un sujet actif de la recherche de ces dernières décennies. Un état cohérent est la modélisation quantique d'une particule classique. La trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique fort, i.e. qui ne s'annule pas, est donnée par le mouvement centre guide : il s'agit d'oscillations rapides autour d'un centre virtuel dont la dynamique plus lente suit les lignes de champ magnétique. Le sujet de ma thèse est d'étudier le pendant magnétique de ce résultat. Il est connu que pour des temps courts, c'est à dire bornés en le paramètre semi-classique h, la dynamique d'un état cohérent est donnée par la dynamique classique de la particule associée. Le problème est alors l'étude de la dynamique en temps longs de tels états. Pour des états cohérents de basses énergies, en utilisant des résultats de forme normale et de régularité elliptique magnétique, on prouve le résultat suivant de propagation magnétique en temps longs. Un état cohérent sous un champs magnétique se propage pour des temps de l'ordre de l'inverse de h en une somme d'états cohérents évoluant sur une même trajectoire, mais à des vitesses différentes. / The propagation of coherent states was extensively studied over past decades. A coherent state is the quantum version of a classical particle. The trajectory of a charged particle under strong magnetic field, that is a non-vanishing field, is given by the center guide motion : it is high speeds oscillations around a virtual center that moves slowly along the field lines of the magnetic field. The aim of this thesis is the study of the quantum translation of this. It is well-known that for short times, i.e. bounded times with respect to the semiclassical parameter h, the dynamics of such a state is given by the classical trajectory of the associated particle. The thing is to study the dynamics of coherent states for long times, that are times going to infinite as h goes to 0. For low energy coherent states, using normal form and magnetic elliptical regularity results, we prove the following long time magnetic propagation result. A coherent state under strong magnetic field is propagated as a sum of coherent states following the same dynamics, but with different speeds.

On étudie le comportement semi-classique d'hamiltoniens quantiques dont le symbole de Weyl est invariant par un groupe de symétries. La réduction quantique consiste à restreindre le hamiltonien aux sous-espaces de symétrie de L^2(R^n) donnés par la décomposition de Peter-Weyl. Les opérateurs restreints sont appelés hamiltoniens quantiques réduits. Pour un groupe fini, on donne une formule de Gutzwiller pour le hamiltonien réduit qui fait intervenir la symétrie d'orbites périodiques classiques du niveau d'énergie étudié. On l'interprète dans l'espace de phase réduit lorsque le groupe agit librement. Pour un groupe de Lie compact, on donne une asymptotique de Weyl de la fonction de comptage des valeurs propres du hamiltonien réduit. On interprète géométriquement le premier terme. On obtient ici aussi une formule de type Gutzwiller impliquant des orbites périodiques de l'espace de phase réduit qui correspondent à des orbites quasi-périodiques de l'espace euclidien.

Le travail proposé est une réflexion sur la sécurité de certains protocoles de distribution de clefs quantiques. Nous avons choisi d'utiliser la phase d'états cohérents à faible énergie pour porter notre information. Deux principaux axes sont mis en valeurs. Le premier est une étude sur l'apport d'un mode différentiel sur un protocole à modulation de phase utilisant des compteurs de photons, et le deuxième correspond à une réflexion sur l'apport d'un double seuil dans les mesures à détection homodyne. Dans la partie dévolue à l'étude de la sécurité en mode différentiel nous nous sommes attachés tout d'abord à comparer quantitativement la sécurité pour un système à référence de phase absolue et un système fonctionnant en mode différentiel. Nous avons montré un gain dans le système différentiel, car la sécurité se répartit à la fois individuellement et collectivement sur les qubits. Ensuite nous avons développé une étude sur l'introduction d'un double seuil dans un système de cryptographie quantique à détection homodyne. L'intérêt de cette technique est de pouvoir prendre du recul sur les mesures des qubits, et pouvoir prendre une décision au vu de la fiabilité du résultat d'une mesure. Nous avons ensuite étudié l'impact de différentes attaques courantes sur ce système à homodynage à double seuil.

L'opérateur de Pauli décrit l'énergie d'un électron soumis à un champ magnétique et à un potentiel électrique externe. La présence d'un champ magnétique induit naturellement l'existence d'une quantité: le courant. D'une manière formelle, cette quantité peut être considérer comme étant la dérivée de l'énergie par rapport au potentiel magnétique. Dans cette thèse, nous établissons une asymptotique du courant en présence d'un champ magnétique variable de grande intensité. Dans ce calcul nous utilisons une identité de commutateur qui nous conduits à l'estimation de la somme des valeurs propres négatives d'un opérateur de Pauli modifié. La technique utilisée s'appuie sur la construction des états cohérents (pour approcher les fonctions propres) et des inégalités de Lieb-Thirring pour contrôler les termes d'erreurs.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Ce manuscrit de thèse rassemble quelques résultats concernant des problèmes de quantification. Il est divisé en deux parties : la quantification de champs invariants conforme sur l'espace-temps de de Sitter et deux quantifications par états cohérents. • La première partie s'inscrit dans un programme de quantification systématique et rigoureux, proche de l'axiomatique de Wightman, des champs sur l'espace-temps de de Sitter. Plus particulièrement, nous avons étudié les champs admettant une extension (naturelle) au groupe conforme. Après avoir clarifié les notions d'invariance sous les transformations de Weyl et sous le groupe conforme SO0(2, d) nous avons établi un point de vue géométrique reliant/déformant les champs sur l'espace-temps de (anti-)de Sitter à ceux sur l'espace-temps de Minkowski, tout en gardant transparente l'action du groupe conforme. Cette méthode nous a permis d'obtenir le propagateur du champ vectoriel invariant conforme, qui adopte alors une forme particulièrement simple et compacte. Enfin, notre approche se généralise aux champs tensoriels de rang plus élevé invariants conformes sur l'espace-temps de de Sitter. • La seconde partie de ce travail concerne l'utilisation des états cohérents dans les problèmes de quantification. Suivant la géométrie ou la topologie de l'espace des phases, nombres d'observables ne peuvent être quantifiées en suivant les règles de quantification canonique. En un certain sens la quantification par états cohérents, et leurs généralisations, permet de contourner ces difficultés, ou, du moins, fournit des idées quant à la façon de les contourner. Par exemple, la particule dans un puits infini de potentiel est un modèle pour la quantification par états cohérents comme l'opérateur impulsion, en dépit d'être symétrique, n'est pas auto-adjoint et, ainsi, ne peut vérifier les relations de commutation canonique (théorème de Pauli). Grâce à une nouvelle famille d'états cohérents vectoriels nous avons pu quantifier, de manière cohérente, la particule dans le puits infini de potentiel. Enfin, nous avons abordé la fuzzyfication de l'hyperboloïde, c'est-à-dire la quantification de l'espace-temps de de Sitter lui-même, grâce à une nouvelle base d'états cohérents vectoriels.

Dans cette thèse nous allons présenter nos résultats sur les différentes solutions pour le gaz d'électrons dans une bicouche de graphène sous fort champ magnétique en fonction de la différence de potentiel entre les deux couches et du facteur de remplissage entier de v = -3 à v = 3. Nos résultats seront comparés aux résultats expérimentaux pour expliquer, entre autres, l'apparition de sous plateau dans la conductivité pour les états de N = O. Nos états fondamentaux furent calculés à partir de l'approximation Hartree-Fock pour prendre en compte l'interaction coulombienne. Nous avons obtenu différentes solutions que l'on peut classifier comme les phases cohérentes : inter-couche simple, inter-couche double, inter-spin simple, inter-spin double et orbitale. Le reste des solutions que nous avons trouvées sont des phases sans cohérence. Ces phases peuvent être décrites comme des ferro-aimants de pseudo-spin de Hall. Pour chacune de ces phases, nous avons calculé les modes collectifs et l'absorption électromagnétique à l'aide de la théorie "Generalized Random-Phase Approximation" (GRPA) et le gap d'excitation du système. Nous avons porté une attention particulière aux modes collectifs dans la phase orbitale qui montrent une instabilité et à montrer que cette instabilité peut être décrite par une interaction de type Dzyaloshinskii-Moriya (DM) dans un hamiltonien effectif de spin pour décrire les modes collectifs. Nous avons aussi calculé des effets magnéto-électriques en calculant le changement de polarisation de spin qui se produit en appliquant un champ électrique dans le plan des couches aux facteurs de remplissage v = ±1, ±2.

Partie I: Modèles de spin collectif On utilise le formalisme des états cohérents de spin pour étudier des modèles de spin collectif, qui ont plusieurs champs d'application en physique. Le modèle de Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) a en particulier été analysé à la limite thermodynamique. La méthode développée au cours de ce travail peut être utilisée, en principe, pour des Hamiltoniens plus généraux, s'écrivant en fonction des générateurs de l'algèbre su(2). Nous avons pu dériver exactement la densité d'états intégrée du modèle. La nature des singularités de la densité d'états a été mise en évidence. Les premières corrections de taille finie ont également été calculées. Les valeurs moyennes d'observables ont été étudiées. Près des singularités, la quantification de Bohr-Sommerfeld, adaptée aux spins, n'est pas valable. Pour traiter ces cas, nous avons développé une nouvelle approche, permettant alors de décrire le spectre au voisinage des points critiques. Partie II : Calcul quantique adiabatique Nous avons construit un modèle simple permettant de mettre en évidence la relation entre les transitions de phase quantiques et le calcul (quantique) adiabatique. Ce modèle met en évidence l'importance du choix du Hamiltonien initial et du chemin adiabatique considéré dans l'espace des paramètres, et peut servir comme un cas d'école pour des modèles plus réalistes. Nous avons enfin étudié la dynamique des populations des états à travers une transition de phase, pour le cas du modèle LMG abordé dans la première partie. Une analyse numérique nous a montré que ces changements de population sont très sensibles à la présence des points exceptionnels dans le spectre, ce qu'un modèle simplifié de l'évolution quantique permettait de suggérer.

La distribution quantique de clé permet la transmission d'une clé de cryptage secrète entre deux interlocuteurs distants. Les lois de la physique quantique garantissent la sécurité inconditionnelle du transfert.<br />L'utilisation de variables continues dans le domaine de l'information quantique, récemment apparue, permet de concevoir des systèmes de distribution quantique de clé qui ne nécessitent que des composants standards de l'industrie des télécommunications. Ces composants ouvrent la voie vers les hauts débits caractéristiques des liaisons en fibres optiques.<br />Nous avons réalisé un système complet de distribution quantique de clé qui utilise l'amplitude et la phase d'états cohérents pulsés de la lumière modulées selon une distribution gaussienne. Notre système est exclusivement réalisé avec des fibres optiques, et atteint un taux de répétition de 1 MHz. Nous avons caractérisé l'information secrète transmise par ce dispositif. Nous avons validé cette caractérisation en réalisant des attaques quantiques originales qui couvrent l'ensemble des perturbations qui peuvent être envisagées sur la transmission.<br />Nous avons ensuite adapté des algorithmes de correction d'erreur et d'amplification de secret qui produisent une clé secrète à partir des données expérimentales. Enfin, nous avons conçu un ensemble logiciel autonome qui intègre la gestion de l'expérience aux algorithmes de correction d'erreur.<br />Ces travaux nous ont permis de distribuer une clé secrète sur une fibre de 25 km avec un taux finalde 1 kb/s. Le système que nous avons réalisé sera intégré dans un réseau de distribution quantique de clé faisant intervenir plusieurs collaborateurs européens.