Aujourd'hui, une large communauté de scientifiques travaille en vue de la réalisation d'un ordinateur quantique, une machine dont il est montré qu'elle peut offrir, au moins en théorie, et en particulier pour les problèmes dont la complexité croît exponentiellement avec la taille du système, des performances inaccessibles à ses homologues classiques. Cette thèse s'intéresse à la possibilité de réaliser une approche semi-classique de l'information quantique dans deux domaines d'intérêt : celui du clonage approché d'un qubit, et celui de l'amplification de spins dans des chaînes de spins. Dans la première partie de cette thèse est étudié le rôle de l'interférence dans les cloneurs quantiques. Nous étudions en particulier le cas de cloneurs sans interférence (au sens définit dans la thèse) qui se révèle être un cas intermédiaire (que l'on peut qualifier de semi-classique) entre les cloneurs purement quantiques (qui propagent cohérences et probabilités des matrices densités) et les cloneurs classiques (qui ne propagent que les probabilités). Dans la seconde partie, on s'intéresse au phénomène d'amplification de spin qui permet d'amplifier l'état d'un spin unique comme état de polarisation de la chaîne toute entière, problème pour lequel l'approche semi-classique (valable en raison du grand nombre de spins) est utilisée pour montrer l'importance inattendue jouée par les effets de bords dans de tels systèmes.

Spectroscopy and quantum transport constitute powerful ways to study the physics of matter and to access the electronic and atomic structure. Excitations, in turn determined by the electronic and atomic structure, lie at the origin of spectroscopy and quantum transport. Ab initio calculation of excited states requires to go beyond ground-state density-functional theory (DFT). In this work we review three theoretical frameworks beyond DFT: the first is time-dependent density-functional theory to describe neutral excitations and to address energy-loss and optical spectroscopies. We introduce the theory and the fundamental approximations, i.e. the RPA and the adiabatic LDA, together with the results one can get with them at the example of bulk silicon and graphite. We then describe the developments we contributed to the theory beyond TDLDA to better describe optical spectroscopy, in particular the long-range contribution-only and the Nanoquanta exchange-correlation kernel approximations. The second framework is many-body quantum field theory (or Green's function theory) in the GW approximation and beyond, well suited to describe photoemission spectroscopy. After a review of the theory and its main success on the prediction of the band gap, we present two applications on unconventional systems: 2D graphene and strongly correlated vanadium dioxide. We discuss the next frontiers of GW, closing with perspectives beyond GW and MBQFT. The last part presents non-equilibrium Green's function theory suited to address quantum transport. We show how it reduces to the state-of-the-art Landauer principal layers framework when neglecting correlations. We present a calculation of the conductance on a very simple system, a gold monoatomic chain, showing the effect of electron-electron scattering effects. Finally we present theoretical developments toward a new workbench beyond the principal layers, which led us to the introduction of new generalized Meir and Wingreen and Fisher-Lee formulas. This work compares the theoretical and practical aspects of both Green's function and density based approaches, each one benefiting insights from the other, and presents an overview of accomplishments and perspectives.

Cette these presente l''etude de la dynamique de modeles, dans le cadre de la transition vitreuse dont une comprehension complete echappe encore a la physique moderne. Nous avons donc, a l'aide de modeles jouets, etudie certaines de ses proprietes caracteristiques. Par exemple, lorsque l'on s'approche de la transition, la dynamique de relaxation du systeme va dramatiquement ralentir. Pour etudier ces systemes intrinsequement hors-equilibre, le principal paradigme utilise dans cette these, est celui des milieux desordonnes. Sous certaines conditions, il va exister une analogie entre le modele desordonne et le systeme reel, qui possede une vraie transition vitreuse structurelle. Si les interactions sont a courte portee, la dynamique de relaxation peut etre reliee a la constante de diffusion du milieu. Si celle-ci s'annule, on passe alors d'un regime de diffusion dit normal, a un regime dit anormal. Cette transition dynamique est alors analogue a la transition vitreuse. Dans cette optique, nous nous sommes interesses a la diffusion de dipoles dans un champ electrique. Le desordre se presente alors sous la forme d'un potentiel electrique aleatoire, le choix le plus naturel est de prendre une statistique Gaussienne. Dans une limite adiabatique, ou les dipoles s'adaptent instantanement aux variations locales du champ, ce modele se reduit a une particule diffusant dans un potentiel effectif aleatoire Gaussien, au carre. Nous montrons alors, exactement en une dimension, et par un calcul de groupe de renormalisation en dimension superieure, que la constante de diffusion du systeme va s'annuler pour une temperature critique non nulle, en dessous de laquelle, le systeme devient sous-diffusif. La dynamique se gele alors, a la maniere d'une transition vitreuse. Nous montrons enfin que, au-dela de l'approximation adiabatique, la transition survit a la meme temperature critique en dimension une.

The primary goal of the thesis is to study localization of Laplacian eigenfunctions in bounded domains when an eigenfunction is mainly supported by a small region of the domain and vanishing outside this region. The high-frequency and low-frequency localization in simple and irregular domains has been investigated for both Dirichlet and Neumann boundary conditions. Three types of high-frequency localization (whispering gallery, bouncing ball, and focusing eigemodes) have been revisited in circular, spherical and elliptical domains by deriving explicit inequalities on the norm of eigenfunctions. In turn, no localization has been found in most rectangular domains that led to formulating an open problem of characterization of domains that admit high-frequency localization. Using the Maslov-type differential inequalities, the exponential decay of low-frequency Dirichlet eigenfunctions has been extensively studied in various domains with branches of variable cross-sectional profiles. Under an explicit condition, the L2-norm of an eigenfunction has been shown to exponentially decay along the branch with an explicitly computed decay rate. This rigorous upper bound, which is applicable in any dimension and for both finite and infinite branches, presents a new achievement in the theory of classical and quantum waveguides, with potential applications in microelectronics, optics and acoustics. For bounded quantum waveguides with constant cross-sectional profiles, a sufficient condition on the branch lengths has been derived for getting a localized eigenfunction. The existence of trapped modes in typical finite quantum waveguides (e.g L-shape, bent strip and cross of two strips) has been proven provided that their branches are long enough, with an accurate estimate on the required minimal length. The high sensitivity of the localization character of eigenmodes to the length of branches and to the shape of the waveguide may potentially be used for switching devices in microelectronics and optics. The properties of localized eigenmodes in a class of planar spectral graphs have been analyzed. An efficient divide-and-conquer algorithm for solving the eigenproblem of the Laplacian matrix of undirected weighted graphs has been proposed and shown to run faster than traditional algorithms. A spectral approach has been developed to investigate the survival probability of reflected Brownian motion in reactive media. The survival probabilities have been represented in the form of a spectral decomposition over Laplacian eigenfunctions. The role of the geometrical structure of reactive regions and its influence on the overall reaction rate in the long-time regime has been studied. This approach presents a mathematical basis for designing optimal geometrical shapes of efficient catalysts or diffusive exchangers.

La thèse porte sur l'étude de deux classes d'oxyde par spectroscopie d'absorption X, en mode diffraction résonante pour la magnétite et en mode absorption pour les pérovskites. La structure électronique de Fe3O4 a été étudiée au seuil K du Fe pour confirmer/réfuter le modèle d'ordre de charge à basse température. La méthode développée a permis d'obtenir une information quantitative en utilisant un grand nombre de réflexions et de confirmer la présence de l'ordre de charge (Fe2.5±δ δmax=0.12, δmin=0.04). Les pérovskites (PbZrO3 et BaZrO3) ont été étudiés pour mieux comprendre la nature géométrique de leur transition de phase. L'analyse de spectres XANES au seuil K du Zr pour PbZrO3 a infirmé le modèle "déplacement" à basse température mais il a indiqué la conservation des distorsions locales dans sa phase cubique. Une interprétation de la transition structurale ferroélectrique est proposée en terme de changement d'environnement local du Zirconium dans le cadre du modèle "sphérique".

La Théorie de la Fonctionnelle de la Densité dépendant du temps constitue un outil de choix pour l'étude des mécanismes élémentaires d'irradiation moléculaire. Mais les approximations qui lui sont inhérentes n'éliminent pas un effet non physique appelé auto-interaction, ce qui fausse complètement les propriétés d'irradiation. La voie la plus prometteuse permettant de supprimer l'auto-interaction sans introduire aucun paramètre libre supplémentaire est d'utiliser des fonctionnelles "orbitales dépendantes" (méthodes SIC). Seulement, le formalisme usuel qui en découle n'est pas hermitique, faussant dramatiquement les prédictions physiques dans le cas dynamique, et les tentatives visant à rétablir l'hermiticité connaissent toutes des pathologies indésirables. Ainsi, la question, dans le cas dépendent du temps, d'un formalisme SIC exact (TDSIC), satisfaisant les lois de conservation et numériquement manipulable reste une question ouverte. Nous proposons une nouvelle formulation purement variationnelle, contraignant l'orthonormalité et utilisant le degré de liberté de transformation unitaire. Cela permet d'écrire les équations TDSIC exactes sous une forme hermitique (dans le sous espace occupé), satisfaisant toutes les lois de conservation et menant à un schéma numérique de propagation clair. Le prix à payer est que le hamiltonien résultant est explicitement non local, ce qui est plus gourmand numériquement parlant. Cela nous a conduit à proposer, dans un deuxième temps, une approximation locale particulièrement intéressante, que nous avons baptisée "Generalized SIC-Slater". Enfin, nous proposons un ensemble de résultats numériques sur des systèmes moléculaires variés afin de soumettre les formalismes développés au verdict de la nature et les comparer aux formalismes SIC usuels.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur des problèmes d'équations ou de systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDPs) elliptiques non linéaires. Ils apparaissent comme des équations d'Euler-Lagrange de problèmes de minimisation sous contrainte avec perte de compacité à l'infini. Ces problèmes sont de plus tous liés à des modèles de physique : strucure électronique des solides et (hyper)-élasticité non linéaire (chapitres 1,2 et 3 d'une part, et condensats de Bose-Einstein (chapitre 4) d'autre part.<br /><br />La base de travail des chapitres 1, 2 et 3 est le modèle de Thomas-Fermi-von Weizsäcker (TFW), ou certaines de ses extensions. Dans ce modèle, un système moléculaire est décrit par N noyaux, qui sont des particules classiques ponctuelles, et N électrons, qui sont des particules quantiques définies par leur densité collective. L'énergie TFW, qui dépend des positions des noyaux et de la densité électronique, est minimisée par rapport à cette dernière. Ce modèle est défini au départ pour un nombre fini de noyaux et d'électrons, et sa définition pour une infinité de particules est un problème non trivial. Ce problème, dit de limite thermodynamique, consiste à faire tendre conjointement le nombre de noyaux et d'électrons vers l'infini, en imposant une certaine géométrie (typiquement la périodicité) aux noyaux, et à obtenir la convergence de la densité d'électrons, ainsi que de l'énergie moyenne du système. Ce problème a été résolu dans le cas périodique par I. Catto, C. Le Bris et P.-L. Lions.<br /><br />Le chapitre 1 aborde le problème de la justification de la périodicité supposée dans l'ouvrage de Catto, Le Bris et Lions. Dans la section 1.3, on considère l'énergie TFW d'un cristal comme une fonction du réseau périodique définissant la position des noyaux, et on étudie l'existence d'un minimiseur. Un préliminaire à ce travail, présenté dans la section 1.2, est l'étude des cas dégénérés de réseaux périodiques, à savoir le cas où les noyaux sont répartis périodiquement sur un plan d'une part, et celui où les noyaux sont répartis périodiquement sur une droite d'autre part.<br /><br />Les sections 1.4 et 1.5 abordent le problème sans supposer la périodicité : on minimise l'énergie TFW par rapport à la densité électronque et par rapport à la position des noyaux, à N fixé, et on démontre alors que quand N tend vers l'infini, la configuration minimisante devient périodique. Ce problème est traité théoriquement pour le cas 1D (section 1.4), puis une étude numérique est faite sur le cas 2D (section 1.5), indiquant que le résultat est aussi vrai dans ce cas.<br /><br />Bien que la périodicité soit une bonne approximation pour les cristaux simples, il arrive souvent (dans le cas des polycristaux, des solides amorphes ou de solides cristallins présentant des dislocations par exemple) que cette hypothèse ne soit pas valable. C'est pourquoi on étudie dans le chapitre 2 les problèmes de définition du modèle TFW, pour des solides dont les positions de noyaux ne sont pas périodiques. Un cas déterministe est présenté dans la section 2.1.1, où l'on construit le cadre fonctionnel nécessaire à la définition du modèle, puis on résout le problème de limite thermodynamique associé. La section 2.1.2 présente un cas où les positions des noyaux sont stochastiques. Là aussi, on commence par construire un cadre stochastique (stationnaire ergodique) nécessaire, puis on résout le problème de limite thermodynamique correspondant.<br /><br />Outre ces problèmes de limite thermodynamique, qui font le lien entre un modèle moléculaire et le modèle de théorie des solides correspondant, on étudie dans la section 2.2 des modèles (dits "orbital-free'') plus élaborés utilisés dans certains codes de chimie, sans chercher à les justifier par limite thermodynamique. Cette étude montre que le problème variationnel est mal posé, et que le "minimum'' calculé est un minimum local vraisemblablement dépendant de la discrétisation utilisée et du point de départ de l'algorithme de minimisation.<br /><br />Le modèle TFW est un modèle microscopique. Il est cependant naturel, après l'avoir défini pour des solides (cristallins ou non), d'étudier le lien de ce modèle avec des modèles d'élasticité non linéaire. Ce problème est évoqué dans le chapitre 3, où on considère l'énergie d'un système atomique déformé par un diffémorphisme u, et on passe à la limite quand la distance inter-atomique tend vers 0. On obtient ainsi une énergie hyperélastique qui a la forme de celles utilisées en mécanique. La section 3.1 présente ce travail dans un cadre déterministe, la section 3.2 le même type de résultat dans le cas où les positions des noyaux sont stochastiques.<br /><br />La section 3.3 présente une étude similaire, mais dans le cas d'un joint collé, c'est-à-dire d'une interface d'épaisseur nulle au niveau macroscopique (mais infinie au niveau microscopique). Ce cas est particulier car il doit autoriser un saut de la déformation à travers l'interface, ce qui lui impose une régularité moindre que précédemment.<br /><br />Dans le même esprit, la section 3.4 présente l'analyse du couplage entre un modèle de mécanique des milieux continus et le modèle discret correspondant. L'idée est ici d'étudier la déformation d'un solide qui est régulière dans une partie du solide, mais présente des singularités. Là où la déformation est régulière, on utilise un modèle d'élasticité standard, et là où la déformation est singulière, on revient au modèle discret mettant en jeu les atomes et leurs interactions. Comme à notre connaissance aucune étude théorique n'existait sur ce type de théorie, nous avons étudié un cas très simple de dimension 1, et obtenu des résultats qui laissent penser que le modèle est "bon'' dans le cas convexe (i.e si le potentiel d'interaction des atomes est convexe), mais beaucoup plus douteux dans le cas contraire.<br /><br />Le chapitre 4 présente des travaux sur les condensats de Bose-Einstein. La première section porte sur l'écoulement d'un condensat autour d'un obstacle (physiquement, un laser). Nous établissons l'existence d'une solution sans vortex si la vitesse de translation de l'obstacle est suffisamment faible. Ce résultat avait déjà été établi pour un modèle de dimension 2, et nous l'avons étendu au cas plus réaliste de dimension 3, en étudiant en particulier la zone du bord du condensat où le modèle 2D n'est pas valable (contrairement au coeur du condensat).<br /><br />La section 4.3 concerne l'étude de condensats en rotation, et en particulier des vortex nucléés par cette rotation. Les résultats présentés portent sur la rotation rapide : si Omega est la vitesse de rotation, le système n'a de minimum d'énergie que si Omega < 1. La rotation rapide correspond à la limite Omega tend vers 1. Dans ce régime, la fonction d'onde peut être approximée avec une bonne précision par une fonction analytique multipliée par une gaussienne. Les vortex sont alors les zéros de cette fonction. Nous établissons une borne supérieure de l'énergie en utilisant une fonction test dont les zéros forment un réseau distordu sur les bords du condensat. Ceci est en accord avec les observations expérimentales et numériques.

Montréal Trigonix inc. 2018

L'information quantique est un nouveau domaine de la physique, qui consiste à employer les systèmes quantiques dans le calcul et la transmission de l'information. Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects théoriques de l'information quantique. Les ordinateurs quantiques utilisent les lois de la mécanique quantique pour exécuter des calculs d'une manière bien plus efficace que les ordinateurs existants. Les ordinateurs quantiques envisageables dans la pratique seraient influencés par des perturbations diverses. Parmi ces sources de perturbations, les interactions résiduelles statiques (indépendantes du temps) à l'intérieur de l'ordinateur sont connues pour être les plus dangereuses dans le sens où elles peuvent s'ajouter de façon cohérente, tandis que les autres perturbations ont la forme d'un bruit aléatoire avec une moyenne égale à zéro. Nous étudions, dans les cas de deux calculs quantiques très différents, l'efficacité des ordinateurs quantiques en présence d'imperfections statiques. Nous trouvons le domaine des paramètres dans lequel l'ordinateur quantique est robuste en présence des imperfections. Une des raisons fondamentales de l'efficacité extraordinaire de l'ordinateur quantique et de l'existence d'autres applications de l'information quantique est l'effet de l'intrication quantique. L'intrication consiste dans l'impossibilité de considérer un état pur générique d'un système quantique composé comme le simple produit des états purs de ses sous-systèmes. Dans cette thèse nous étudions certaines propriétés importantes d'une certaine mesure quantitative d'intrication largement utilisée. Nous considérons également l'entropie informationnelle moyenne des états quantiques, puis nous trouvons une expression explicite pour cette quantité et étudions ses propriétés les plus importantes.