Le spectre d'absorption optique des nanotubes de carbone semiconducteurs est analysé par une approche mathématique rigoureuse. Un modèle quantique décrivant le nanotube est suggéré et est étudié à l'aide de la théorie de perturbation. En utilisant la petitesse du rayon du tube, le problème est d'abord réduit à une dimension. La théorie de la réponse linéaire permet ensuite d'exprimer le spectre d'absorption en fonction des états propres de l'Hamiltonien unidimensionel associé au tube. <br />Plusieurs arguments physiques ainsi que l'utilisation intensive de la théorie de perturbation amènent l'étude de l'Hamiltonien unidimensionel, à grand nombre de particules, à être réduite à celle de l'Hamiltonien de l'exciton, système composé de deux particules de charges opposées. Des expressions quasi-analytiques pour les états propres de ce système, dépendantes du rayon du tube, sont obtenues perturbativement. Les pics d'absorption de lumière correspondant à des énergies dans la lacune entre bande de valence et bande de conduction du nanotube semiconducteur sont alors reliés à la présence d'excitons et la localisation des pics est donnée en fonction du rayon du tube par une expression approchée avec un terme d'erreur contrôlé.

Ce texte constitue le document de synthèse de l'habilitation à diriger des recherches de l'auteur. Il constitue une présentation des résultats obtenus par l'auteur au cours de son activité de recherche. La liste des articles, dans lesquels ces résultats ont été démontrés, est fournie dans ce texte. Les thèmes de recherche de l'auteur relèvent de la physique mathématique. Ils concernent essentiellement la théorie semi-classique des collisions moléculaires.

Cette thèse s'inscrit dans la mouvance entourant les matériaux nanostructurés pour la photonique. Ces nouveaux composants, structurés à l'échelle de la longueur d'onde, offrent la possibilité de confiner le champ électromagnétique à une échelle très petite, ouvrant ainsi la voie à des composants optiques compacts. En outre, ces matériaux offrent également la possibilité de contrôler l'émission spontanée d'atomes émetteurs, et donc de concevoir des lasers à très bas seuil par exemple. Bien que les premières étapes visant à leur réalisation aient déjà été franchies, de nombreux problèmes subsistent. D'une part, ces matériaux étant structurés à l'échelle de la longueur d'onde, il est nécessaire pour les modéliser de résoudre les équations de Maxwell sans approximation. D'autre part, pour que ces composants puissent être utilisés en pratique, il faut parvenir à les connecter à d'autres composants optiques plus classiques. Malheureusement, le confinement du champ étant très différent entre ces deux types de composants, il survient immédiatement des pertes d'insertion élevées qui sont pressenties comme un verrou à lever pour les applications futures. C'est précisément sur ces deux problèmes que porte ma thèse. Dans la première partie, nous présentons une méthode originale de calcul de structures diffractives en optique guidée dérivée de la méthode modale de Fourier (RCWA). Cette nouvelle approche permet, en périodisant numériquement la structure que nous voulons étudier, d'appliquer des codes numériques développés à l'origine pour l'étude des réseaux de diffraction. Nous étendons ainsi de façon importante le champ d'application de la RCWA, lui permettant par exemple de calculer les caractéristiques de miroirs de Bragg ou de cavités intégrées. Dans la seconde partie, nous nous attaquons au problème des pertes d'insertion en développant des convertisseurs modaux efficaces pour des miroirs de Bragg intégrés courts. Pour ce faire, nous déformons progressivement le mode de Bloch fondamental du miroir en imposant au convertisseur un gradient d'indice complexe. Nos calculs numériques montrent que ces convertisseurs modaux peuvent être très courts, ouvrant ainsi la voie à la réalisation pratique de cavités courtes et à faibles pertes. Cette approche est validée pour des cavités fabriquées dans un substrat de silicium sur isolant.

La gyrocinétique est un modèle clef pour la microturbulence en physique des plasmas, couramment utilisé pour les plasmas de fusion ou pour la turbulence plasma de petite échelle en astrophysique, par exemple. Ce modèle présente encore plusieurs difficultés, qui pourraient amener à reconsidérer ses équations. Le présent rapport de thèse clarifie trois d'entre elles. Tout d'abord, l'une de des coordonnées était source d'interrogations, tant d'un point de vue physique que d'un point de vue mathématique ; une coordonnée adéquate a été introduite, qui dissipe les difficultés et explique les structures intrinsèques sous-jacentes. Ensuite, le changement de coordonnées perturbatif de la gyrocinétique n'était implémenté qu'aux ordres les plus bas ; des relations de récurrence explicites ont été obtenues pour aller à tous les ordres dans le développement. Enfin, le couplage entre le plasma et le champ électromagnétique n'était pas introduit de manière complètement satisfaisante ; en utilisant la structure hamiltonienne de la dynamique, il a été implémenté d'un façon plus adaptée, avec d'importantes conséquences sur les équations gyrocinétiques, en particulier concernant leur structure hamiltonienne. Pour aborder ces trois principaux points, plusieurs autres résultats sont obtenus, par exemple sur l'origine de l'invariant adiabatique centre-guide, sur une transformation centre-guide minimale très efficace, ou sur un modèle hamiltonien intermédiaire entre Vlasov-Maxwell et la gyrocinétique, dont les caractéristiques de la densité de Vlasov contiennent à la fois la dynamique lente centre-guide et la dynamique rapide du gyro-angle. D'autre part, diverses méthodes de réduction sont utilisées, développées ou introduites, par exemple une transformée des équations du mouvement, une méthode de relèvement pour transférer les réductions de la dynamique des particules à la dynamique des champs correspondante, ou une méthode de troncature reliée à la fois à la théorie des contraintes de Dirac et à une projection sur une sous-algèbre. Outre la gyrocinétique, cela permet de clarifier d'autres réductions hamiltoniennes en physique des plasmas, par exemple pour une dynamique incompressible ou électrostatique, pour la magnétohydrodynamique, ou pour des fermetures fluides incluant des moments de la densité de Vlasov d'ordre deux.

Cette thèse présente différents résultats sur deux thèmes relatifs à l'information quantique. Le premier de ces thèmes concerne l'interférence présente dans les algorithmes quantiques, en se basant sur une mesure récemment introduite dans la littérature. Pour ce faire, deux types de modèles statistiques d'algorithmes quantiques ont été utilisés : l'un issu de la théorie des matrices aléatoires (l'ensemble circulaire unitaire CUE), le second étant un ensemble de circuits quantiques construits comme des séquences aléatoires de portes quantiques. Les résultats analytiques et numériques obtenus dans cette thèse montrent qu'en moyenne tout algorithme quantique contient une grande quantité d'interférence. L'influence de la décohérence engendrée par un bain thermique sur le comportement statistique de l'interférence a aussi était étudiée, entre autre grâce à l'utilisation de méthodes mathématiques d'intégrations sur le groupe unitaire U(N). Le deuxième thème étudié concerne la possibilité d'utiliser des algorithmes quantiques pour créer efficacement des ensembles de matrices aléatoires distribuer selon CUE. Pendant les travaux sur l'interférence, une équivalence entre CUE et le modèle de circuits quantiques aléatoires fût observée. Les résultats numériques de cette thèse montrent que certaines quantités statistiques propres à CUE sont bien reproduites par le modèle de séquences aléatoires, ceci de manière efficace, dans le sens où les séquences sont constituées d'un nombre de portes qui augmente comme le logarithme de la taille des matrices produites. Ces résultats sont en parfait accord avec des travaux analytiques récemment publiés.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Dans ce travail, on considère des molécules diatomiques dans la limite de Born-Oppenheimer (i.e. lorsque le rapport masse électronique/masse nucléique tend vers 0) et on considère une approximation adiabatique qui prend en compte plusieurs niveaux électroniques. On suppose l'absence de croisement de ces niveaux. Dans ce cadre, on établit une estimation semi-classique de résolvante et on en déduit l'asymptotique semi-classique de sections efficaces totales.

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois modèles non linéaires issus de la mécanique quantique. Dans la première partie, nous démontrons l'existence d'un minimum et d'états excités approchés pour les modèles multi-configurations décrivant la structure électronique des molécules. Ces points critiques peuvent être calculés grâce à un nouvel algorithme. Des résultats numériques sont présentés pour le premier état excité de systèmes à deux électrons. Dans la seconde partie, nous étudions un lemme du col modélisant des réactions chimiques avec le modèle de Schrödinger indépendant du temps. Nous prouvons l'existence d'un point selle, sous l'hypothèse que les molécules à l'infini sont chargées ou polarisées. La dernière partie est consacrée à l'étude de la polarisation du vide grâce au modèle Bogoliubov-Dirac-Fock, une théorie relativiste de champ moyen issue de l'électrodynamique quantique. Nous montrons que l'énergie étudiée possède un minimum qui est le vide polarisé.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'identités qu'on observe à l'interface entre le domaine des modèles intégrables en physique statistique et la combinatoire. L'histoire a commencé quand Mills, Robbins et Rumsey étudiaient des Matrices à Signes Alternants (ASM). En 1982, ils proposèrent une formule d'énumération. Pendant qu'ils cherchaient une preuve de cette formule ils découvrirent l'existence d'autres objets comptés par la même formule : les Partitions Planes Totalement Symétriques Auto-Complémentaires (TSSCPP). C'est seulement quelques années plus tard que Zeilberger fut capable de prouver cette égalité, prouvant que les deux objets sont comptés par la même formule. La même année, Kuperberg utilise l'intégrabilité quantique (notion venue de la physique statistique) pour donner une preuve plus simple. En 2001, Razumov et Stroganov conjecturèrent une intrigante relation entre les ASM et l'état fondamental du modèle de spins XXZ (pour Delta=-1/2), lui aussi intégrable. Cette conjecture a été démontrée en 2010 par Cantini et Sportiello. L'objectif principal de ce manuscrit est de comprendre le rôle de l'intégrabilité dans cette histoire, notamment le rôle joué par l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov quantique. Grâce à cette équation nous avons été capables de démontrer plusieurs conjectures combinatoires, dont une version raffinée de l'équalité entre le nombre des TSSCPP et des ASM proposée en 1986 par Mills, Robbins et Rumsey et certains propriétés des composantes du vecteur fondamental du modèle XXZ. Est présentée aussi une série de nouvelles conjectures concernant l'état fondamental.

L'imagerie de résonance magnétique de diffusion (IRMD) est une technique d'imagerie non-invasive qui donne l'accès aux caractéristiques de diffusion de l'eau dans des tissus biologiques, notamment, dans le cerveau. Les restrictions que la structure cellulaire microscopique impose à la diffusion des molécules d'eau, sont agrégées statistiquement dans un mesurable signal d'IRMD macroscopique. L'inférence de la structure microscopique du tissu à partir du signal d'IRMD permet de détecter des régions pathologiques et d'observer les propriétés fonctionnelles du cerveau. A cet effet, il est important de mieux comprendre la relation entre la microstructure du tissu et le signal d'IRMD ce qui nécessite des nouvelles outils numériques capable de faire les calculs dans des géométries complexes modèles des tissus. Nous proposons une telle méthode numérique basée sur les éléments finis linéaires ce qui permet de décrire précisément des géométries complexes. La discrétisation par des éléments finis est couplée à la méthode adaptative des pas de temps de Runge-Kutta Chebyshev. Cette méthode qui assure la convergence du second ordre à la fois en temps et en espace, est implémentée sous la plateforme FeniCS C++. Nous utilisons aussi le générateur de maillage Salome pour travailler de manière efficace avec des géométries périodiques à plusieurs compartiments. Nous considérons quatre applications de la méthode pour étudier la diffusion dans des modèles à plusieurs compartiments. Dans la première application, nous étudions le comportement au temps long et démontrons la convergence d'un coefficient de diffusion apparent vers un tenseur de diffusion effectif obtenu par l'homogénéisation. La deuxième application vise à vérifier numériquement qu'un modèle à deux compartiments permet d'approximer le modèle à trois compartiments dans lequel le compartiment cellulaire et le compartiment extra-cellulaire sont complétés par un compartiment membranaire. La troisième application consiste à valider le modèle de Karger du signal d'IMRD macroscopique qui prend en compte l'échange entre compartiments. La dernière application se focalise sur le signal d'IMRD issu des neurones isoles. Nous proposons un modèle efficace unidimensionnel pour calculer le signal d'IRMD de manière précise dans un réseau des neurites de rayons variés. Nous testons la validité d'une expression semi-analytique du signal d'IRMD issu des réseaux de neurites.