Parmi les systèmes complexes étudiés en mécanique statistique, les systèmes possédant un comportement critique à l'équilibre thermodynamique jouissent d'un statut particulier. En effet, pour les systèmes à deux dimensions, les techniques de l'invariance conforme ont permis de les caractériser en grand détail. Cette thèse présente l'étude d'un des tous premiers exemples de systèmes statistiques hors équilibre à pouvoir être traité par des méthodes similaires. Le modèle des piles de sable, considéré dans cet ouvrage, est un modèle dynamique introduit fin des années 80 comme prototype de « criticalité auto-organisée ». On entend par ce terme, des systèmes évoluant spontanément vers un état hautement corrélé qui exhibent des propriétés d'échelle similaires à celles du point critique de systèmes statistiques à l'équilibre. L'outil principal permettant de caractériser l'état stationnaire du modèle sur réseau est la correspondance univoque entre les configurations de hauteur du modèle et certains types de graphes appelés « arbres couvrants ». Cette correspondance a été utilisée pour identifier les opérateurs d'échelle correspondant aux observables de hauteur. Il s'avère que ces opérateurs s'organisent en termes de représentations de l'algèbre conforme de charge centrale c = −2 dont la réalisation naturelle est donnée par une théorie quantique de champs fermioniques libres. Bien que les opérateurs d'échelle des observables locales s'expriment en termes de champs de cette réalisation, il a été montré que les observables de hauteur non locales engendrent une nouvelle réalisation inéquivalente de l'algèbre conforme. Le rapprochement entre ces deux domaines de la physique permet non seulement de fournir un cadre nouveau pour l'étude du modèle des piles de sable et accéder ainsi à des propriétés jusque là impossibles à obtenir par la méthode traditionnelle, mais fournit aussi un outil supplémentaire pour l'étude des théories conformes dites logarithmiques qui sont encore mal comprises à ce jour.

La physique des très hautes énergies nécessite une description cohérente des quatre forces fondamentales. La géométrie non commutative représente un cadre mathématique prometteur qui a déjà permis d'unifier la relativité générale et le modèle standard, au niveau classique, grâce au principe de l'action spectrale. L'étude des théories quantiques de champs sur des espaces non commutatifs est une première étape vers la quantification de ce modèle. Celles-ci ne sont pas simplement obtenues en récrivant les théories commutatives sur des espaces non commutatifs. En effet, ces tentatives ont révélé un nouveau type de divergences, appelé mélange ultraviolet/infrarouge, qui rend ces modèles non renormalisables. H. Grosse et R. Wulkenhaar ont montré, sur un exemple, qu'une modification du propagateur restaure la renormalisabilité. L'étude de la généralisation de cette méthode est le cadre de cette thèse. Nous avons ainsi étudié deux modèles sur espace de Moyal qui ont permis de préciser certains aspects des théories non commutatives. En espace x, la principale difficulté technique est due aux oscillations de l'interaction. Nous avons donc généralisé les résultats de T. Filk afin d'exploiter au mieux ces oscillations. Nous avons pu ainsi distinguer deux types de mélange, renormalisable ou pas. Nous avons aussi mis en lumière la notion d'orientabilité : le modèle de Gross-Neveu non commutatif orientable est renormalisable sans modification du propagateur. L'adaptation de l'analyse multi-échelles à la base matricielle a souligné l'importance du graphe dual et représente un premier pas vers une formulation des théories de champs indépendante de l'espace sous-jacent.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans la première partie, on s'intéresse à la multi-diffusion d'une onde acoustique avec une matrice homogène 2D contenant N inclusions. Dans le cas particulier de deux inclusions, on met alors en évidence l'importance du contraste matrice/inclusion dans les termes d'interactions entre inclusions. Le cas général de la multi-diffusion, pour distribution aléatoire de N inclusions, est ensuite développé dans l'esprit de Foldy-Lax basé sur des moyennes d'ensembles. Ainsi on cherche à déterminer le nombre d'onde effectif de l'onde effective, définie comme la moyenne du champ total, dans le cas d'une onde incidente émise par un point source. La deuxième partie est consacrée au cloaking actif dans une plaque. On détermine ainsi les amplitudes modales des sources multipolaires afin d'éteindre une onde plane ou émise par un point source, dans une région donnée. En outre, cette méthode peut s'appliquer pour éteindre l'onde diffractée par un défaut. Enfin dans la dernière partie, on se propose d'étudier la propagation d'onde au sein d'un milieu comportant des dislocations. On utilise la géométrie de Riemann-Cartan afin de modéliser ce milieu continu. Afin d'illustrer les différences que peuvent induire deux définitions possibles de la déformation (spatiale et matérielle), nous étudions la propagation d'ondes 3D dans l'exemple simple d'un milieu continu avec une densité uniforme et stationnaire de défauts. L'anisotropie et l'atténuation sont présentes dans les deux modèles mais sous forme différente. Enfin la déformation matérielle induit des modes de respiration et, en régime haute fréquence, des ondes transverses qui suivent l'escalier en spirale de Cartan. / In the first part, we investigate the multiple scattering of an acoustic wave within an homogeneous matrix containing N obstacles. In the particular case with 2 obstacles, we show the importance of the contrast matrix /obstacle in the coupling terms between inclusions. The general case of multiple scattering by N obstacles randomly distributed is then developed following the Foldy-Lax theory based on ensemble averaging. We aim to evaluate the effective wavenumber of the effective wave, defined as the average of the total field, in the case where the incoming wave is emitted by a point-like source. The second part is dedicated to the active cloaking in a thin plate. Hence we determine the modal amplitudes of the sources in order to extinct an incoming wave in a given region. This method can be applied to extinct the wave scattered by an obstacle. Finally, in the last part, the Riemann-Cartan geometry is used to model continuum with dislocations. In order to illustrate the differences induced by two possible definitions for the strain (spatial or material) in this framework, propagation of 3D waves is studied for a simple example of infinite continuum with uniform and stationary defects density. Anisotropy and attenuation are caught by both models even if these effects are quite different. Furthermore the material strain uniform breathing modes and, in the high frequency regime, transverse waves which follow the Cartan's spiral staircase.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2010-2011 / Une description des états Virasoro dans les modules irréductibles de plus haut poids des modèles minimaux M (p, p') en théorie des champs conformes est fournie par les chemins RSOS. Ces chemins sont issus des configurations des hauteurs sur une rangée du réseau des modèles statistiques exactement résolubles RSOS lors de l'évaluation de la probabilité locale d'une hauteur dans le régime III. Une seconde catégorie de chemins, définis sur un réseau demi-entier, a été proposée et élevée au rang de conjecture comme une description alternative des états Virasoro pour les modèles M (p, 2p + 1). L'avantage de cette seconde catégorie de chemins réside dans la formulation du poids qui ne dépend plus de la hauteur. L'analyse combinatoire de ces derniers est suffisamment simple pour permettre d'obtenir leurs fonctions génératrices qui sont, en vertu de la conjecture, équivalentes aux formules de caractères pour ces modèles minimaux. En nous intéressant davantage à ces chemins sur réseau demi-entier, nous avons découvert qu'il est également possible de les utiliser pour décrire les états Virasoro des modèles M (p + 1.2p+ 1). Nous présentons l'analyse combinatoire pour cette nouvelle classe ainsi que la dérivation des fonctions génératrices. Nous montrons également comment relier les chemins sur réseau demi-entier aux chemins RSOS au moyen d'une bijection qui préserve le poids. Par conséquent, nous validons la conjecture sur l'équivalence des chemins sur réseau demi-entier et des états Virasoro pour tous les modèles minimaux M(p + e, 2p-rl), e = 0,1.

Dans cette thèse nous avons étudié de nombreux aspects de la théorie des systèmes désordonnés. En particulier, nous avons étudié les systèmes vitreux. La description détaillée des systèmes désordonnés et vitreux est un problème ouvert en physique de la matière condensée. Dans le cadre de la théorie de champ moyen pour les verres structuraux nous avons étudié la théorie des fluctuations proche de la transition vitreuse dynamique. L’étude des fluctuations peut etre fait avec le formalisme statique de la théorie de répliques. Nous avons fait cela en introduisant une théorie des champs pour la transition vitreuse à partir du potentiel microscopique entre les particules. Nous avons étudié dans ce cadre les fluctuations au niveau gaussien et nous avons évalués les exposants critiques dans ces approximations. Nous avons aussi étudié la région de validité de la prédiction gaussienne avec l’introduction d’un critère de Ginzburg pour la transition vitreuse. Les résultats que nous avons obtenues ne sont valides que dans la région β. Pour obtenir des resultats dans la région α nous avons étudié la pseudodynamique de Boltzmann que a été introduit par Franz and Parisi. Nous sommes parti des équations de Ornstein-Zernike et nous avons obtenu un ensemble d’équations dynamiques. En utilisant l’approximation Hypernetted Chain nous avons obtenu un ensemble complet d’équations qui sont très similaires aux équations de la théorie de mode-coupling. La troisième partie de la thèse porte sur l’étude des états amorphes des sphères dures en hautes dimensions. Pour obtenir les exposants dynamique dans ce cas, nous avons étudié la stabilité du diagramme de phase 1RSB (one-step-replica-symmetry-breaking). Nous avons découvert que ce diagramme de phase possède une région où la solution 1RSB est instable. La région où la solution 1RSB est instable est connectée avec la description théorique de la physique de jamming des sphères dures et nous avons montré que l’instabilité 1RSB est responsable d’une transition de phase en haute densité. Cette transition s’appelle la transition de Gardner. Nous avons cherché une solution 2RSB et nous avons vu qu’il existait un point en densité après lequel on peut avoir une solution 2RSB (et aussi fullRSB). Nous avons étudié le diagramme de phase 2RSB dans la limite de jamming où la pression devient infini. Après la solution 2RSB nous avons cherché à décrire la solution fullRSB. Nous avons écrit les équations fullRSB et nous avons découvert qu’elles sont identiques aux equations que l’on a dans le cas de un modèle de verres de spins qui s’appelle modèle de Sherrington et Kirkpatrick. Nous avons aussi étudié la solution numerique des équations fullRSB dans la limite de jamming. Cette solution montre beaucoup des choses intéressantes. La plus importante est le comportement du mean square displacement dans la limite de jamming. Si l’on regard les résultats numériques et éxperimentaux, il semble que le plateau de le mean square displacement s’approche a zero comme la pression à un exposant proche de −3/2. Nous avons vu que la solution numérique des équations fullRSB est en mesure de reproduire ce comportement. La quatrième partie de la thése a porté sur la dynamique de mode-coupling dans le régime où la transition vitreuse devient continue. / In this thesis we have studied many aspects of the physics of disordered and glassy systems. The first part of the work is about the theory of dynamical fluctuations in the beta regime. When a system undergoes a dynamical arrest, it can be studied by introducing an appropriate dynamical correlation function that plays the role of the order parameter of the transition. To understand the collective effects underlying the glass transition we have studied the fluctuations of the order parameter on a time scale where the system is relaxed in a typical metastable glassy state. To do this we have seen that coming from the glass phase the system develops critical fluctuations with a diverging correlation length at the mean field level. We have thus derived an effective field theory by focusing only on them. This field theory can be used firstly to derive the mode-coupling exponent parameter that controls the relaxation of the dynamical correlation function when the system relaxes in a metastable glassy state. Moreover we can give a Ginzburg Criterion that can be used to determine the region of validity of the Gaussian approximation. These considerations are valid in the beta regime. To clarify what happens in the alpha regime we have studied a quasi-equilibrium construction, called Boltzmann-Pseudodynamics, recently introduced in order to describe with static techniques the long time regime of glassy dynamics. We have extended this formalism to structural glasses by producing a new set of dynamical equations. We have done this in the simplest approximation scheme that is called Hypernetted Chain. Two results have been obtained : firstly, we have computed the mode-coupling exponent parameter and we have shown that it coincides with the one obtained with the formalism of the first part of the thesis ; secondly we have studied the aging regime and we have derived that the condition that determines the fluctuation-dissipation ratio is a marginal stability one. In the third part of the thesis we have studied the theory of amorphous states of hard spheres in high dimensions. Hard spheres provide simple models of glasses and they are extensively studied for the jamming transition. In our framework jammed states can be thought as infinite pressure limit of metastable glassy states. During the last years it has been derived a mean field theory of hard spheres based on the 1RSB assumption on the structure of the free energy landscape. However it has been realized that this construction is inconsistent for what concerns the property of the packings at jamming. In the present work we have firstly investigated the possibility of an instability of the 1RSB solution and we have actually found that the 1RSB solution is unstable in the jamming part of the phase diagram. At the same time we have been able to compute the mode-coupling exponent parameter for this system. In order to go beyond the 1RSB solution we have first tried a 2RSB ansatz and then a fullRSB solution. We have derived a set of variational equations that are very close to the ones that have been derived in the Sherrington-Kirkpatrick model. We have solved numerically the equations and we have shown that the fullRSB solution seems to predict that the plateau value of the mean square displacement scale as the pressure to a power close to 3/2 as it seems to be predicted by scaling arguments and in contrast with the 1RSB predictions that show a scaling with the inverse of the pressure. The last chapter of the thesis is on the mode-coupling theory when the glass transition is becoming continuous. We have been able to show that in such a situation a detailed characterization of the solution of the equations can be obtained in the long time regime.

Ce mémoire d'habilitation à diriger des recherches est constitué des deux parties: - la première partie revient sur les idées et les concepts de la géométrie non commutative. Le point central de cet exposé est de rappeler les résultats qui motivent les recherches en géométrie non commutative, au sens où ces résultats donnent un sens à la démarche promue par la géométrie non commutative. Ces résultats sont bien connus désormais, et ils s'articulent autour de constructions pouvant prendre sens à la fois dans un cadre topologique et/ou géométrique et dans un cadre plus algébrique. Ainsi on trouvera le théorème de Gelfand-Naïmark sur les C*-algèbres commutatives, des rappels sur la K-théorie, d'abord pour les espaces topologiques, puis pour les C*-algèbres, une introduction à la cohomologie cyclique en insistant sur ses liens avec les structures différentiables, finalement un exposé sur l'objet "magique" qui connecte entre eux tous ces domaines, à la fois dans le cadre purement topologique, dans le cadre de la géométrie différentielle, et enfin dans le cadre algébriques : le caractère de Chern. - la seconde partie est une revue qui fait le point sur l'état des recherches sur la géométrie non commutative de l'algèbre des endomorphismes d'un fibré vectoriel de groupe de structure SU(n), en donnant si possible toutes les définitions utiles, de façon à faire un texte relativement autonome. Plus encore, il s'agit de montrer en quoi cette géométrie étend de façon naturelle la géométrie ordinaire du fibré principal sous-jacent, et en quoi les résultats obtenus sur les liens entre les connexions ordinaires et les connexions non commutatives dans ce contexte sont une excellente généralisation de la notion ordinaire de connexion. C'est pourquoi, dans cet exposé, sont rappelés les concepts usuels des théories de jauge ordinaires, et sont décrits très précisément où et comment la nouvelle géométrie se greffe à ces concepts. En particulier, il est insisté sur le fait que la notion de connexion prend un sens dans un niveau "intermédiaire", entre sa définition comme forme globale sur le fibré principal et sa définition comme familles de formes locales sur la variété de base satisfaisant à des recollements non homogènes. Le niveau intermédiaire utilise la géométrie de nature non commutative de l'algèbre des endomorphismes, et correspond à un regard nouveau sur les concepts usuels manipulés dans le cadre des théories de jauge.

Cette thèse étudie la classification des théories conformes à 2d à l'aide de symétries quantiques de diagrammes. Les fonctions de partition d'un système conforme - l'invariante modulaire ou celles provenant de l'introduction de lignes de défauts - s'expriment en fonction d'un ensemble de coefficients qui forment des nimreps de certaines algèbres. Ces coefficients définissent les diverses structures d'une classe d'algèbres de Hopf, dites faibles, et peuvent être codés par un ensemble de graphes. Le chapitre 1 présente les connaissances actuelles sur ce sujet. Dans le chapitre 2 sont introduites l'algèbre de Hopf faible et ses structures, notamment l'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu, qui joue un rôle important dans l'étude des systèmes conformes à 2d. Nous analysons en détails ces structures pour le diagramme A3 du modèle affin su(2). Le chapitre 3 est dédié à la présentation d'une réalisation de l'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu, construite comme un quotient du carré tensoriel de l'algèbre d'un graphe G (de type ADE pour le modèle affin su(2)). Cette réalisation permet d'obtenir un algorithme simple permettant le calcul des fonctions de partition du modèle conforme associé. Notre construction se prête naturellement à une généralisation aux cas affins su(n), pour n > 2, pour lesquels peu de résultats étaient connus. Dans le chapitre 4, nous traitons explicitement tous les cas du type su(2) ainsi que trois exemples choisis du type su(3).

Dans la première partie, on s'intéresse à la multi-diffusion d'une onde acoustique avec une matrice homogène 2D contenant N inclusions. Dans le cas particulier de deux inclusions, on met alors en évidence l'importance du contraste matrice/inclusion dans les termes d'interactions entre inclusions. Le cas général de la multi-diffusion, pour distribution aléatoire de N inclusions, est ensuite développé dans l'esprit de Foldy-Lax basé sur des moyennes d'ensembles. Ainsi on cherche à déterminer le nombre d'onde effectif de l'onde effective, définie comme la moyenne du champ total, dans le cas d'une onde incidente émise par un point source. La deuxième partie est consacrée au cloaking actif dans une plaque. On détermine ainsi les amplitudes modales des sources multipolaires afin d'éteindre une onde plane ou émise par un point source, dans une région donnée. En outre, cette méthode peut s'appliquer pour éteindre l'onde diffractée par un défaut. Enfin dans la dernière partie, on se propose d'étudier la propagation d'onde au sein d'un milieu comportant des dislocations. On utilise la géométrie de Riemann-Cartan afin de modéliser ce milieu continu. Afin d'illustrer les différences que peuvent induire deux définitions possibles de la déformation (spatiale et matérielle), nous étudions la propagation d'ondes 3D dans l'exemple simple d'un milieu continu avec une densité uniforme et stationnaire de défauts. L'anisotropie et l'atténuation sont présentes dans les deux modèles mais sous forme différente. Enfin la déformation matérielle induit des modes de respiration et, en régime haute fréquence, des ondes transverses qui suivent l'escalier en spirale de Cartan.