L'approximation de Born-Oppenheimer consiste à traiter de manière semi-classique l'équation de Schrödinger associée à une molécule en utilisant la petitesse du rapport de masse entre électrons et noyaux. Nous montrons que pour un type générique de presque croisement de codimension 1 de deux surfaces d'énergie électroniques, la propagation d'un paquet d'ondes nucléaire gaussien associé à l'une des surfaces est gouvernée par une formule du type Landau-Zener. Par ailleurs, dans le cadre de l'équation de Schrödinger stationnaire unidimensionnelle et en situation de croisement générique de deux courbes d'énergie, nous construisons des quasimodes par intégration d'un paquet d'ondes gaussien propagé le long d'une trajectoire classique périodique associée à l'une des deux courbes d'énergie.

Cette thèse est consacrée à l'étude des interactions rovibroniques au sein de complexes octaédriques pour lesquels l'approximation de Born-Oppenheimer n'est plus valide. Pour la première fois, un modèle rovibronique tensoriel effectif complet a été développé à partir des travaux portant sur les toupies sphériques dans un état électronique non dégénéré. Ce modèle inclut le cas de systèmes moléculaires possédant un nombre pair ou impair d'électrons et sa validité a pu être testée sur deux molécules, toutes deux octaédriques : V(CO)6 et ReF6. Pour ces deux systèmes, nous avons alors considéré quatre sous-niveaux vibroniques en interaction. Dans les deux cas, la comparaison entre les profils simulés et observés à basse résolution est satisfaisante. En parallèle, nous avons mis en place, par une approche de type algébrique, un modèle permettant le traitement d'un état électronique doublet, triplet ou quadruplet. L'effet Jahn-Teller a pu alors être rééxaminé au moyen de ce type d'approche.

La thèse consiste en l’étude spectrale d’opérateurs partiellement semi-classiques. Quand la géométrie du problème suggère une localisation anisotrope des fonctions propres associées aux basses énergies (bord du domaine, lieu d’annulation du champs magnétique), le développement local de l’opérateur amène naturellement à une structure à double échelle. Il s'agit, via un schéma de réduction "à la Born-Oppenheimer", utilisant le formalisme du calcul pseudodifférentiel pour des symboles à valeur opérateur, de montrer l’existence d’un opérateur effectif à symbole scalaire. On en déduit ensuite des formules de Weyl pour le comptage des basses valeurs propres. Cette stratégie est appliquée : au Laplacien de Robin sur un domaine borné, en dimension quelconque et au Laplacien magnétique dans R², dans le cas où le champ magnétique s’annule sur une courbe fermée. / The thesis consists in the spectral study of partially semiclassical operators. When the geometry of the problem suggests an anisotropic localization of the eigenfunctions associated to low energies (boundary of the domain, vanishing magnetic field), the local expansion of the operator naturally brings to a doublescale structure. Via a reduction scheme "à la Born-Oppenheimer", using the formalism of pseudodifferential calculus for operator-valued symbols, we can show the existence of an effective operator, with scalar symbol. Then, we deduce Weyl formulae for the number of low-lying eigenvalues. This strategy is applied : to the Robin Laplacian on a bounded domain, in any dimension and to the magnetic Laplacian in R², in the case where the magnetic field vanishes on a closed curve.

Une connaissance précise des propriétés de collision entre atomes froids est essentielle pour l'étude de la condensation de Bose-Einstein ou la formation de molécules froides. Dans ces expériences, les phénomènes importants ont lieu principalement à des distances interatomiques grandes, c'est-à-dire dans la zone asymptotique. Nous avons développé une méthode purement asymptotique qui nous permet de décrire les propriétés collisionnelles des atomes alcalins froids sans avoir recours à la partie interne des potentiels moléculaires, qui est connue avec une précision moindre. Le point clé de la méthode est l'utilisation des lignes de noeuds, qui sont des lignes joignant les noeuds des fonctions d'onde radiales successives proches du seuil de dissociation du fondamental. Dans le cadre de l'approximation de Born-Oppenheimer, l'utilisation de ces lignes de noeuds, obtenues par intégration de l'équation de Schrödinger radiale dans la zone asymptotique uniquement, fournit un moyen simple pour déterminer des longueurs de diffusion à partir des positions expérimentales de niveaux liés. La méthode a ensuite été étendue au cas des potentiels couplés. Elle apparaît comme une véritable méthode paramétrique dans laquelle quelques paramètres décrivant des lignes de noeuds bien choisies remplacent la partie interne des potentiels. Ces paramètres sont ajustés sur des résultats expérimentaux. Une fois ces paramètres connus, toutes les propriétés de collision telles que les longueurs de diffusion, les décalage en fréquence des horloges atomiques ou encore les résonnances de Feshbach induites par un champ magnétique, peuvent en principe être déduites. Cette méthode a été utilisée pour obtenir les propriétés de collision des atomes de sodium et de césium ultrafroids.

Ce texte constitue le document de synthèse de l'habilitation à diriger des recherches de l'auteur. Il constitue une présentation des résultats obtenus par l'auteur au cours de son activité de recherche. La liste des articles, dans lesquels ces résultats ont été démontrés, est fournie dans ce texte. Les thèmes de recherche de l'auteur relèvent de la physique mathématique. Ils concernent essentiellement la théorie semi-classique des collisions moléculaires.